借助幾何直觀 構建深度課堂

幾何直觀是學生發現問題、分析問題和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路，進行邏輯推理的基礎，其在小學數學教學中有著重要的作用。數的運算是小學數學教學的重要組成部分，也是發展學生數學運算能力的關鍵，還是提高學生數學理解能力的重要途徑。運算的含義、方法、規律等比較抽象，學生理解起來比較困難。因此，教學中教師要合理運用幾何直觀，這可以使相關內容變得更加直觀、形象、簡明，這不僅便于學生理解和接受，而且可以激發學生數學學習興趣，提高學生直觀想象、推理意識等素養。下面，筆者結合教學實踐談談幾何直觀在理解運算含義、算理算法、運算規律等方面的應用。

一、理解運算含義

在小學數學教學中，受傳統講授式教學模式的影響，學生對知識的理解停留于淺層的識記和套用上，影響了學生的長遠發展。在運算教學中，為了讓學生理解運算含義，教師可以借助幾何直觀，讓學生通過觀察、操作等環節理解運算的含義，從而打破“死記硬背\"\"生搬硬套”等方式的束縛，使“淺層學習\"走向“深度學習”，培養學生數學核心素養。

案例1：\"3的乘法口訣\"教學片段師：如圖1，小青蛙一次跳幾格？

生（齊聲答）：3格。

師：如果照這樣繼續跳，你們能想到什么？

教學中教師沒有直接讓學生給出答案，而是鼓勵學生動手畫一畫，通過操作和觀察認識到：跳1次是3格，連著跳幾次，就能跳出幾個3格。

師：結合小青蛙連跳的過程想一想，如果小青蛙從0開始，每次跳3格，那么連續跳2次后，它一共跳了幾格？

生1：一共跳了6格。

師：你是如何得到的？

生1：2個3相加就是6。

師：很好！在此基礎上，再連續跳3次，現在小青蛙一共跳了幾格？

（問題給出后，有的學生動手畫，有的學生動手算，課堂氛圍活躍）

生2：15格。

師：你是如何得到的呢？

生2：小青蛙開始連續跳了2次，就是2個3，2個3相加是6，接下小青蛙又連續跳了3次，也就是3個3，3個3相加等于 ^9，6+9=15 。

師：還可以怎么算？

生3：前面連續跳了2次，后面連續跳了3次，一共跳了5次，也就是5個3，5個3相加等于15。

師：如果小青蛙從0開始，向右跳了5次后，又向左跳了1次，此時小青蛙會在哪個格子上呢？

生4：在12那個格子上。小青蛙連續跳5次，就是5個3相加是15；往回跳1次，相當于減去1個3，也就是4個3，4個3相加是12。

教師引導學生經過觀察、探究、交流等過程，有利于學生理解乘法的含義，通過經歷3的乘法口訣的編制過程，為后續其他乘法口訣的學習奠定基礎。

在教學“乘法的認識\"時，如果教師簡單介紹乘法的含義后就給出乘法口訣讓學生熟背應用，這樣學生雖然能背會用，但難以真正理解乘法的意義，更不能將加法、減法運算聯系起來，這樣勢必會影響后續綜合應用的效果。在以上環節的探究中，教師充分利用數軸圖，讓學生通過直觀觀察經歷乘法口訣的抽象過程，不僅讓學生理解乘法就是將幾個數加起來的簡便運算，而且借助幾何直觀讓學生清晰認識加法運算就是在數軸圖中從左向右數;減法是在數軸圖中從右往左數，讓學生充分感悟不同運算之間的內在聯系，從而逐漸建立和完善個體知識體系，促進知識深化。此外，教師借助幾何直觀可以有效調動學生參與課堂的積極性，讓學生充分體驗數學發現的樂趣，獲得更長遠的發展。

二、理解算理算法

掌握算理、探究算法對提高學生數學應用能力，發展學生數學探究意識具有重要意義。在日常教學中，教師要加強算理教學，讓學生真正做到“知其然亦知其所以然”。教學中，如果想讓學生真正理解算理算法，單憑教師的講授還遠遠不夠，此時要借助幾何直觀，讓學生通過操作、觀察、聯想等活動來掌握算理、探究算法，提高學生的運算能力、解決問題能力和推理意識。

案例2：“小數乘小數\"教學片段

師：觀察圖2，誰來說說它是1個怎樣的圖形？

生1：它是長為3.8米、寬為3.2米的長方形。

師：很好，現在我們用圖2中的長方形拼1個大的長方形，如圖3，說說原來的長方形發生了怎樣的變化？

生2：圖3由10個長3.8米、寬為3.2米的長方形拼成，新長方形的寬不變，還是3.2米，而長是原來的10倍，即 3.8×10=38 （米）。

師：面積如何變化呢？生（齊聲答）：面積是原來的10倍。

師：如圖4，在圖3的基礎上繼續拼，此時得到的長方形又有哪些新變化？你們想到了什么呢？

生3：小長方形由10個變成了100個，長方形的長和寬都是原來小長方形的10倍，面積是原來的100倍。

師：非常好，圖4中長方形的寬如何用算式來表示呢？

生（齊聲答）： 3.2×10=32 （米）。

師：你們能用算式表示以上3個長方形的面積嗎？

生4：圖2長方形的面積為 3.2× 3.8；圖4長方形的面積為 3.2×38 ；圖4長方形的面積為 32×38 。

師：結合以上探究過程，請說說4 3.2×3.8 ”與 32×38 ”有什么關系？

生5：結合以上探究過程不難發現，圖4中有100個小長方形，所以大長方形的面積是小長方形面積的100倍，也就是說“ 32×38^′′ 是‘ 3.2× 3.8\"的100倍。

生6：還可以說 3.2×3.8 是 32× 38\"的百分之一。

師：以上兩個算式哪個是我們已經學過的？

生（齊聲答）： 32×38 。

師：已知 32×38=1216 ，你知道3.2×3.8 等于多少嗎？

生（齊聲答）： 12.16_c 師：你們是如何計算的呢？

生7：就是先計算 32×38 的積，然后將計算結果除以100，就可以得到 3.2×3.8 的積。

以上教學環節中，教師從學生的已有知識和經驗入手，借助長方形長和寬的變化讓學生體會小數乘小數與整數乘整數之間的內在聯系，幫助學生更加形象、直觀地理解小數乘小數的算法和算理。

案例3：“有余數的除法\"教學片段

結合教學經驗發現，部分學生在計算有余數的除法時，常常因為不明白“余數一定比除數小\"這一道理而出現計算錯誤。基于此，為了幫助學生消除誤區，讓學生明晰其中的道理，教師從幾何直觀入手，讓學生通過動手做自己歸納出“余數一定要比除數小\"的結論。

師：如果用11個同樣大小的小棒擺三角形，你們會嗎？

生（齊聲答）：會。

師：大家擺一擺，看看能擺幾個三角形？還剩幾根小棒？

學生積極操作，很快得到了結果。

生8：可以擺出3個三角形，還剩下2根小棒。

師：你們能用算式來表達這一實 驗結果嗎？

生 9：11÷3=3 （個）·2（根）。

師：這些小棒可以擺出幾個正方形？幾個五邊形？分別剩幾根小棒呢？

生10：可以擺2個正方形，剩3根，也就是 11÷4=2 （個）··3（根）；可以擺2個五邊形，剩1根，也就是 11÷ 5=2 （個）·1（根）。

師：很好，請同學們以小組為單位，分別用不同的小棒擺三角形、正方形、五邊形，并將實驗結果填寫到表1、表2和表3中，結合表格內容，說說自己的發現。

教師預留充足的時間讓學生想一想、擺一擺、算一算、填一填。學生通過直觀操作易于發現，如果擺三角形，剩余小棒數一定小于3;如果擺正方形，剩余小棒數一定小于4;如果擺五邊形，剩余小棒數一定小于5。至此，學生可以自己總結歸納出“余數一定比除數小\"的結論。

在日常教學中，教師不要急于將結論告知學生，應該提供機會讓學生操作、探索、抽象，讓學生通過經歷知識生成過程，從而深刻地理解知識，明晰蘊含其中的道理，提高自主探究能力。

三、探索運算規律

在小學數學教學中，教師引導學生理解并掌握運算規律，可以優化運算過程，提高運算效率。小學生的思維正處于由具體運算向形式運算過渡的階段，在數學學習時離不開具體事物的支撐。在探索運算規律的過程中，教師可以借助幾何直觀開展教學，這樣不僅更易于學生理解和接受，而且可以調動學生參與課堂的積極性，有利于提高學生數學能力與數學素養。

案例4：“乘法分配律\"教學片段

師：請大家畫1個長為6cm、寬為 2cm 的長方形和1個長為 4cm 寬為 2cm 的長方形。如果要求這2個長方形的面積之和，可以怎么做？

生1：可以先分別計算2個長方形的面積，再相加，也就是 6×2+4×2= 20cm².

師：還有其他方法嗎？

生2：這里2個長方形的寬都是2cm ，可以將2個長方形拼在一起，得到1個長為 （6+4）cm ，寬為 2cm 的長方形，它的面積是： （6+4）×2=20（cm²） 。

師：根據以上結果，你們有什么發現？

生 3：6×2+4×2 和 （6+4）×2 的計算結果相等。

師：請借助圖5進一步說說自己的發現。

生4：從圖形中不難看出，左邊長方形的面積是6個2，右邊長方形的面積是4個2，2個長方形所拼出的大長方形的面積是10個2，所以6個2與4個2之和等于10個2，即 6×2+ 4×2 和 （6+4）×2 的計算結果相等。

教學中，教師引導學生通過構造圖形探索蘊含其中的規律，讓學生充分感知幾何直觀的價值和意義，培養學生數形結合意識；同時，借助幾何直觀，使抽象的知識變得形象、生動，有效地提高了學生探究的積極性，加深了對相關數學知識的理解。

案例5：\"混合運算\"教學片段

在混合運算教學中，部分教師直接讓學生熟背“先乘除后加減\"這一運算法則，然后通過大量的練習進行鞏固和強化，這樣不僅難以讓學生明晰蘊含其中的道理，而且容易增加數學的枯燥感，影響學生學習興趣?；诖?，教學中教師可以充分發揮直觀模型的助教作用，讓學生潛移默化地總結運算法則，加深知識理解。

教師用圖片出示商品單價：薯片4元/袋，面包5元/個，餅干7元/袋，然后提出問題：如果要買2袋薯片和1袋餅干，一共需要多少錢？

問題給出后，教師讓學生畫出簡圖，如用“ Δ ”表示薯片，用“ 0 ”表示餅干，然后讓學生在紙上畫出自己的思維路徑，并寫出算式。

師：誰來說說自己想怎么算？

生5：可以先算2袋薯片的總價，然后加上1袋餅干的價格，也就是 2×4=8 （元）， 8+7=15 （元）。

師：還可以怎么算呢？

生6：可以列綜合算式，也就是2×4+7=15 （元）。

師：你們是如何計算的呢？

生7：從左向右計算，先算乘再算加。

師：如果用餅干的總價加上薯片的總價，可以如何列綜合算式？又該如何計算呢？

教師預留時間讓學生思考、計算。受已有經驗影響，部分學生選擇從左向右算，發現兩個算式的計算結果不一致，于是學生利用簡圖重新梳理計算路徑，順利解答。

師：如何求5袋薯片和8袋餅干的總價，你們會求嗎？

教師讓學生先動手畫一畫、擺一擺、圈一圈，以此突破混合運算中“自左向右\"計算的誤區，明晰“先乘后加\"的根本原理。

以上教學中，教師引導學生通過構造圖形表示數量關系，借助已有生活經驗進一步理解“先乘后加減\"這一運算法則，有效提高了學生分析和解決問題的能力。

總之，數的運算是小學數學教學的核心內容，教學中教師要重視引導學生深挖相關內容的幾何內涵，借助圖形讓學生加深對相關知識的理解，充分感知數形結合的獨特魅力，提高學習數學的主動性和積極性，培養幾何直觀、符號意識、推理意識等素養。