促進(jìn)問(wèn)題意識(shí)發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究

學(xué)貴有疑，有疑才有思，有思才有問(wèn)，有問(wèn)才有悟，這是做學(xué)問(wèn)的真諦.想要提升學(xué)生的解題能力，首要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)．問(wèn)題意識(shí)屬于一種基本認(rèn)知能力，它對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展具有決定性作用，更是促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)發(fā)展的核心要素.充分激發(fā)學(xué)生與生俱來(lái)的好奇心，著重培養(yǎng)其問(wèn)題意識(shí)，不僅能夠推動(dòng)深度學(xué)習(xí)的有效開(kāi)展，更能促進(jìn)核心素養(yǎng)在學(xué)生心中落地生根．同時(shí)，問(wèn)題意識(shí)還是促進(jìn)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，正如愛(ài)因斯坦所言：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.\"1新課標(biāo)也強(qiáng)調(diào)“四能\"的培養(yǎng)，其中發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題就是不可或缺的一部分．為此，本研究以一道數(shù)列題的同課異構(gòu)為例展開(kāi)分析與思考.

原題已知 a₁，a₂，a₃，…，a_n 是一個(gè)各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，且 n≥4 ，公差 d≠0 ，將該數(shù)列中的某一項(xiàng)刪除，在其他順序不變的情況下，新的數(shù)列為一個(gè)等比數(shù)列.

（1）分析 時(shí) 的值是多少；

（2）n可能的值有哪些？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái).

本題適宜在高一學(xué)生完成數(shù)列知識(shí)復(fù)習(xí)后講解，此階段的學(xué)生已積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)．不同教師采用了各異的教學(xué)方法，筆者選取其中兩種，通過(guò)羅列與類(lèi)比分析，探究不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)培養(yǎng)的影響.

教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

1.教師甲的教學(xué)

借助多媒體展示原題，并給予學(xué)生5分鐘的思考時(shí)間，而后與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng).

師：關(guān)于本題，哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的解題思路？

生1：根據(jù)題設(shè)條件可知，當(dāng) n=4 時(shí)， a₁，a₂，a₃，a₄ 是一個(gè)各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，刪掉其中的一項(xiàng)，就要進(jìn)行分類(lèi)討論了.其中刪掉的項(xiàng)為 或a₄ ，剩下的三項(xiàng)要同時(shí)滿(mǎn)足等差與等比的條件，那么公差 d=0 ，顯然與題設(shè)條件不符，因此不可能刪除a或a4剩下的只有 或 可以被刪除，因?yàn)榇嬖趦煞N情況，所以還要繼續(xù)分類(lèi)討論.

師：表達(dá)得非常完整，關(guān)于 ?_a2 或 a₃ 的刪除，該怎樣分析呢？

生2：假設(shè)刪掉的是 ;a₂ ，那么 a₁，a₃ ，a₄ 三項(xiàng)構(gòu)成一組等比數(shù)列，因此 （a₁+ （20 2d）²=a₁（a₁+3d） ，經(jīng)化簡(jiǎn)得 ；如果刪掉的是 a₃ ，那么 a₁，a₂，a₄ 三項(xiàng)構(gòu)成一組等比數(shù)列，因此（a+d）2=a（a+3d） ，經(jīng)化簡(jiǎn)得 綜上來(lái)看， 或 （20

師：思路很清晰，結(jié)論也沒(méi)有問(wèn)題，就是在描述上還缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.

生3：他沒(méi)有檢驗(yàn)當(dāng) 的值為-4或1時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的三項(xiàng)是否能夠組成一個(gè)等比數(shù)列.

師：不錯(cuò)！數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，任何時(shí)候都要注重周密性，來(lái)不得半點(diǎn)馬虎.接下來(lái)，哪位同學(xué)愿意與大家說(shuō)說(shuō)第二問(wèn)的解題思路？

生4：在項(xiàng)數(shù)大于5時(shí)，刪掉其中的任意項(xiàng)，剩下的項(xiàng)都會(huì)出現(xiàn)原數(shù)列中連續(xù)的三個(gè)項(xiàng)，如果剩下的數(shù)列滿(mǎn)足等比條件，那么 d=0 ，而題設(shè)條件明確 d≠0 ，因此項(xiàng)數(shù)大于5的情況與題意不符．所以，本題僅需考慮項(xiàng)數(shù)為5的情況.

師：非常好！那么在5項(xiàng)的情況下，該如何分析呢？

生5：關(guān)于數(shù)列 a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ ，假設(shè)刪掉 a₁ 或 a₂ 或 a₄ 或 a₅ ，均存在 d=0 的現(xiàn)象，因此只能考慮刪除 a₃ ，剩下的a₁，a₂，a₄，a₅ 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則 |a₁（a₁+ 4d）=（a₁+3d）（a₁+d） ，解得 d=0 ，顯然與題意不符，由此可確定 n=4

師：很完整，通過(guò)以上解題分析，你們覺(jué)得解決這道題的核心思想是什么？

生6：分類(lèi)討論.

師：不錯(cuò)！值得注意的是 ^?a，b，c 等比”和“ ?b²=ac \"并非等價(jià)關(guān)系，并要明確同時(shí)滿(mǎn)足等差與等比的數(shù)列為常數(shù)列，一旦明確這點(diǎn)，便能為解題提供一些幫助.

評(píng)析教師甲在講授這道題時(shí)，一共用時(shí)15分鐘，學(xué)生配合度高，課堂氛圍活躍．學(xué)生的語(yǔ)言表述較為簡(jiǎn)練、規(guī)范，充分展現(xiàn)了教師良好的教學(xué)水平和學(xué)生扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ).在教學(xué)過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主解題，體現(xiàn)了課堂的“生本”理念，符合課標(biāo)要求．當(dāng)學(xué)生自主獲得 的值為-4或1時(shí)，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生反思．從以上幾點(diǎn)來(lái)看，關(guān)于本題的解題教學(xué)是成功的.

2.教師乙的教學(xué)

師：已知數(shù)列 ^a，b，c 同時(shí)滿(mǎn)足等 差數(shù)列與等比數(shù)列， d 為公差

生（眾）： d=0.

師：看來(lái)大家都非常熟悉這個(gè)結(jié)論，在解題中，這個(gè)小小的結(jié)論有可能會(huì)發(fā)揮大作用哦！請(qǐng)大家來(lái)看這樣一道題（PPT展示原題）．接下來(lái)，我們一起探索這道題.

探究：一個(gè)項(xiàng)數(shù)為4的等差數(shù)列，在 d≠0 的條件下，去除其中的一項(xiàng)，在原順序不變的情況下剩下的項(xiàng)可否為等比數(shù)列？

學(xué)生自主思考，在此基礎(chǔ)上，師生互動(dòng)交流如下.

生7：將等差數(shù)列設(shè)為a，a，a，a，且滿(mǎn)足 d≠0 ，那么去除的項(xiàng)則需分類(lèi)討論：如果去除的項(xiàng)為 a₁ ，那么剩下的 a₂，a₃，a₄ 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，因此a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，d=0 （與題意不符）;如果去除的項(xiàng)為 ，那么 d=0 （與題意也不符）．因此，只能去除 a₂ 或 a₃ 來(lái)分析.

師：不錯(cuò)！關(guān)于去除 a₂ 或 [a₃ ，具體是什么情況呢？

生8：如果去除的是a，那么a，a，a₄ 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，因此 （a₁+2d）²= a₁（a₁+3d） ，經(jīng)化簡(jiǎn)得 ，在這種情況下的數(shù)列是： -4d，-3d，-2d，-d; 如果去除的是 ，那么 a₁，a₂，a₄ 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，因此 （a₁+d）²=a₁（a₁+3d） ，經(jīng)化簡(jiǎn)得 ，數(shù)列為： d，2d，3d，4d. （204號(hào)綜上分析，可知當(dāng) 或1時(shí)，去除其中的一項(xiàng)，所構(gòu)成的數(shù)列在順序不變的情況下屬于等比數(shù)列.

師：非常好！現(xiàn)在大家已經(jīng)具備了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，可否自主提出一個(gè)與探究相似的問(wèn)題，讓我們一起來(lái)研究呢？

生9：還可以探索項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列.

師：這是個(gè)不錯(cuò)的想法，具體該怎么思考呢？

生10：設(shè)數(shù)列為 a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ ，與條件相符，發(fā)現(xiàn)刪除 a₁ 或 a₂ 或 a₄ 或 a₅ ，d 值均為0（與題意不符）;若去除的是a₃ ，則 a₁，a₂，a₄，a₅ 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，因此 a₁?a₅=a₂?a₄ ，也就是 a₁（a₁+4d）= （a₁+3d）（a₁+d） ，解得 d=0 （與題意不符），顯然也不能構(gòu)成等比數(shù)列.

師：思路非常清晰！除此之外，還能提出什么問(wèn)題呢？

生11：這就多了，比如研究項(xiàng)數(shù)為6，7，8，的情況.

師：真的可以嗎？

生12：不行，當(dāng)項(xiàng)數(shù)大于5時(shí)，刪掉任何一項(xiàng)都存在 d=0 的情況，因此沒(méi)有研究?jī)r(jià)值.

師：非常好！現(xiàn)在請(qǐng)大家結(jié)合你的發(fā)現(xiàn)自主編擬問(wèn)題.

生13：已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù) Φ_n （204 （n?5） ，除掉其中的一項(xiàng)之后，在排列順序不變的情況下，獲得的新數(shù)列為一個(gè)等比數(shù)列，那么該等差數(shù)列的公差 d= （結(jié)論為0）

生14：已知某等差數(shù)列的公差d≠0 ，除掉該數(shù)列中的一項(xiàng)，在排列順序不變的情況下獲得一個(gè)等比數(shù)列，那么該等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù) ?_n=. （2（結(jié)論為4）

師：優(yōu)秀！生14所提出的問(wèn)題便是我們本來(lái)要探索的問(wèn)題．通過(guò)以上分析，大家可否根據(jù)自己的理解提出一些想法？

生15：是不是可以將問(wèn)題條件中的等差數(shù)列與等比數(shù)列互換？

師：這是個(gè)不錯(cuò)的主意，那我們就從項(xiàng)數(shù) ，公比 的情況著手探索.

學(xué)生獨(dú)立思考并在自己本子上書(shū)寫(xiě)思考過(guò)程，教師邀請(qǐng)一名學(xué)生到講臺(tái)上板演.

生16：設(shè)數(shù)列 a₁，a₂，a₃，a₄ 為等比數(shù)列， q≠1. ，如果去除該數(shù)列中的 a₁ ，那么 a₂，a₃，a₄ 則構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，因此 a₁q+a₁q³=2a₁q² ，解得 q=1 （與題意不符）;如果去除 ，那么 q=1 （與題意不符）．因此，只能考慮去除 a₂ 或 ?_a3. （2

① 如果去除的項(xiàng)為 ，那么 a₁，a₃ a₄ 三項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列， a₁+a₁q³= 2a₁q² 解得 或爾 （與題意不符）；

② 如果去除的項(xiàng)為 a₃ ，那么 a₁，a₂ a₄ 三項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列， a₁+a₁q³= 2a₁q ，解得 或 （與題意不符）.

綜上分析，可確定 q 值分別為

師：如果我們改變項(xiàng)數(shù)，是否存在類(lèi)似的等差數(shù)列？

生17：當(dāng) n?5 時(shí)，去除等比數(shù)列的其中一項(xiàng)，在排列順序不變的情況下獲得一個(gè)等差數(shù)列，則 q=1.

生18：如果某個(gè)等比數(shù)列的公比q≠1 ，去除該數(shù)列中的任意一項(xiàng)，在排列順序不變的情況下獲得一個(gè)等差數(shù)列，那么該等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n= （結(jié)論為4）

評(píng)析教師乙針對(duì)本題的教學(xué)共耗時(shí)半小時(shí)．縱觀整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師從一個(gè)重要的數(shù)學(xué)小結(jié)論切入，有效激發(fā)了學(xué)生的探索欲望．在學(xué)生興趣被充分調(diào)動(dòng)后，教師借助多媒體展示問(wèn)題，這充分彰顯了教學(xué)技巧與智慧．課堂中的探究環(huán)節(jié)由教師精心預(yù)設(shè)，其內(nèi)容與初始的小結(jié)論緊密關(guān)聯(lián)、一脈相承；后續(xù)探討\"既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列為常數(shù)列”這一情況時(shí)，再次靈活運(yùn)用了該小結(jié)論．隨著問(wèn)題的逐步深入，教師積極引導(dǎo)學(xué)生自主提出問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題，這一過(guò)程不僅凸顯了以學(xué)生為主體的課堂理念，也切實(shí)落實(shí)了數(shù)學(xué)“四能\"的培養(yǎng)目標(biāo)，讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

從整體教學(xué)過(guò)程分析，探究活動(dòng)是激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵，也是促使學(xué)生真正掌握不同數(shù)列性質(zhì)的核心環(huán)節(jié)．隨著問(wèn)題的拓展延伸，學(xué)生在教師引導(dǎo)下主動(dòng)提出將等差數(shù)列的研究方法遷移到等比數(shù)列，在師生互動(dòng)、生生交流的熱烈氛圍中，學(xué)生不僅實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，其問(wèn)題意識(shí)也得到了有效培養(yǎng)與發(fā)展.

教學(xué)對(duì)比

兩位教師針對(duì)同一道題的教學(xué)所投人的時(shí)間存在顯著差異.教師甲的課堂節(jié)奏流暢，師生互動(dòng)良好，解題思路清晰連貫.然而，其教學(xué)全程聚焦于題目解答，采用“就題論題”的模式，這種教學(xué)方式局限于單一問(wèn)題的解決，難以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，也不利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的橫向遷移與思維的縱向深化．一旦題目條件發(fā)生變化，部分學(xué)生便難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，無(wú)法做到舉一反三.

教師乙則以解題為基礎(chǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)提出問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生共同探究這些問(wèn)題．這種教學(xué)設(shè)計(jì)真正實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維的發(fā)散，讓學(xué)生在探索過(guò)程中切實(shí)感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，進(jìn)而有效促進(jìn)了學(xué)生“四基”與“四能\"的發(fā)展．盡管該教學(xué)模式所需時(shí)間較長(zhǎng)，但相較于“就題論題\"的方式，其教學(xué)成效有著顯著優(yōu)勢(shì).因此，我們大力倡導(dǎo)教師乙的教學(xué)模式，這是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)、推動(dòng)深度學(xué)習(xí)的重要路徑.

幾點(diǎn)思考

1.開(kāi)放情境是激活問(wèn)題意識(shí)的基礎(chǔ)

1969年，科恩（R.C.Cohn）提出開(kāi)放課堂模型，著重強(qiáng)調(diào)了開(kāi)放式教學(xué)的重要意義．學(xué)習(xí)本質(zhì)上是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)新知的過(guò)程，開(kāi)放式教學(xué)模式包含開(kāi)放式的學(xué)科情境、現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)情境.無(wú)論采用何種情境模式，都必須以激活學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)為前提.學(xué)生在豐富多元的情境中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題，進(jìn)而形成良好的“四能”，這些正是提升學(xué)習(xí)能力的基石.

以本節(jié)課教師乙的教學(xué)為例，其借助開(kāi)放式教學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生在自主解題的基礎(chǔ)上，主動(dòng)挖掘并提出新的問(wèn)題，再深入思考、解決這些問(wèn)題在民主自由的課堂氛圍下，學(xué)生積極思索，不僅提出了高質(zhì)量的問(wèn)題，還有效推動(dòng)了思維的深度發(fā)展，讓課堂充滿(mǎn)靈動(dòng)的智慧.

2.保持好奇心是激發(fā)問(wèn)題意識(shí)的關(guān)鍵

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，課堂教學(xué)應(yīng)始終秉持\"以生為本\"的理念．但在節(jié)奏快、知識(shí)容量大的高中數(shù)學(xué)課堂中，許多教師往往只注重學(xué)生的解題效率，卻忽視了想象力與好奇心對(duì)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用.實(shí)際上，保持好奇心是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要基礎(chǔ)為有效激發(fā)學(xué)生的好奇心，教師可在課堂上為學(xué)生預(yù)留更多思考空間，創(chuàng)造提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)，并及時(shí)肯定、鼓勵(lì)學(xué)生的思維閃光點(diǎn).

綜上所述，要在課堂教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，需要營(yíng)造開(kāi)放、民主的學(xué)習(xí)氛圍，通過(guò)教師的合理引導(dǎo)激活學(xué)生思維，促使學(xué)生主動(dòng)思考與表達(dá)，這也是落實(shí)核心素養(yǎng)的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：

[1］過(guò)大維，錢(qián)軍先．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)及其培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（1）：5-8.