基于“三會\"素養的“學生說題\"教學

在高中數學教學中，教師常常會遇到這樣的困惑：明明有些同類型的題目重點講解并練習過，為什么部分學生獨立求解時還是會出現束手無策或一錯再錯等情形呢？認真分析學生課堂上的表現發現，那些在課堂上積極發表自己意見的學生在遇到類似問題時，其解題思路更加清晰，正確率更高．因此，在實際教學中，教師應創造機會讓學生表達所思、所想、所惑，引導學生主動、自愿地投入學習，使其成為數學知識的發現者、研究者和探索者，學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界．“學生說題”貫徹“以教師為主導，以學生為主體\"的教學理念，重點引導學生積極參與課堂實踐，充分展現其思維過程.在教師的有效啟發和指導下，逐步完善知識結構，積累解題技巧，提升思維品質，增強分析和解決問題的能力.那么，在具體實施過程中，到底讓學生說些什么呢？筆者結合教學實踐談談對“學生說題\"教學的幾點認識，不足之處，請指正.

“說”題設信息

審題是解題的第一步，也是關鍵一步，審題時，教師可以引導學生說出題目中的已知條件，以及其中的隱含條件，以此理清問題的來龍去脈，讓學生順利地找到解題的突破口.

例1函數 f（x） 是定義域為R的偶函數，且 f（x）=f（2-x） ，若 f（x） 在區間[1，2]上是減函數，則 f（x） 在[-2，-1]上是__函數，在[3，4]上是函數.

師：審題后，你獲得了哪些信息？

生1：信息 1：f（x） 是偶函數；信息2：f（x）=f（2-x） ；信息 3：f（x） 在區間[1，2]上是減函數.求解的是判斷函數在某區間內的單調性.

師：結合已知條件，你能獲得哪些隱含條件呢？

生2：由 f（x）=f（2-x） 可知 I（x） 的圖象關于 _x=1 對稱.又 f（x） 為偶函數，且 f（x）=f（2-x） ，所以 f（x） 是周期為2的周期函數．由 f（x） 在區間[1，2]上是減函數，可得圖1所示的函數圖象．根據函數圖象可知，函數 f（x） 在[-2，-1]上是增函數，在[3，4]上是減函數.

N -2-10 2 34x

師：很好！解題的關鍵在于理解已知條件，挖掘隱藏信息，并把握題意．唯有如此，才能將已知條件與待求問題巧妙聯結起來，順利攻克難點.

審題能力不僅關系著學生數學學習效果，也關系著他們對待科學、對待學問的態度[1].在日常教學中，部分教師為提高解題效率，常常代替學生審題，這導致學生自主審題時難以捕捉關鍵信息，難以形成解題思路，從而影響解題成效.因此，在實際教學中，教師應鼓勵學生自主審題，表達和分析題意，以此提升學生的解題能力和數學學習成效.

“說”解題框架

學生通過認真審題理清題意后，教師不要急于呈現解題過程，可以讓學生說出解題的大致思路，以此有效避免因思考不周而出現思路中斷，提升學生解題效率和解題準確率．然而，受題海戰術的影響，學生在面對類似題目時，往往直接套用舊解題思路，導致兩種結果：一是僥幸成功，順利解題；二是思路不匹配，解題中斷，最終放棄.引導學生闡述解題框架，培養預判解題路徑的習慣，能使解題過程更加自然流暢，既提升解題效率，又增強解題信心，進而促進學生思維的發展和解題能力的提升.

例2在△ABC中，cosB=-5 13

（1）求sinA；

（2）若△ABC的面積為33， ，求 BC 的長.

本題的第（1）問較為簡單，幾乎所有學生都能順利解答；相比之下，第（2）問的解題效果卻不盡如人意.在教學過程中，教師邀請給出正確答案的學生分享他們的解題思路.

師：對于第（2）問，誰來說說你的思考過程？

生1：已知△ABC的面積，求BC的長，不難想到將面積公式轉化為兩邊乘積的形式.那么，如何求解其中一條邊的長呢？依據方程思想，我們需要找到另外一個等式，進而通過解方程的方法來解決問題.結合已有的知識和經驗，當已知三角形的三個角，該如何推導兩邊之間的關系呢？此時，我想到了正弦定理，利用該定理求出相應的邊長，問題便得以解決.

師：很好，結合生1的分析過程，大家能給出大致的解題框架嗎？

生2：第一步，根據三角形的面積公式可得S△ABC= ，這是關于BC和AB的一個關系式;第二步，根據正弦定理可得 這是關于BC和AB的另一個關系式；第三步，將兩個關系式聯立形成方程組，由此可以求出BC邊的長.

師：很好，請大家按照這個解題框架把問題徹底解決

（結合解題框架，學生順利地完成了解答.）

師：這道題的難度不大，但是大家的作業效果一般，誰來談談失敗的原因？

生3：我感覺這道題不難，于是草草讀了一遍就直接動筆，結果越算越亂，最后只能放棄.

師：這反映了同學們常見的解題 誤區．因此，解題前務必細致審題， 深入理解題意，構建解題框架后再 作答.

在解題教學中，教師應避免直接展示解題步驟，而應鼓勵學生表達思考過程，展現思維軌跡，這既有助于教師了解學生，也能促使學生自我認知，學會數學表達與思維，從而增強學習信心，提升解題技能.

“說”讀后直覺

直覺又稱“頓悟”，是人們在解決問題中的直觀感覺，它建立在一定的知識經驗和生活經驗基礎上，要求學生具有較強的觀察能力及推理能力.直覺思維是數學思辨活動的關鍵一步，其在解題中有著重要的應用.在日常教學實踐中，教師應當著重培養學生的直覺思維能力，引導學生將直觀感知與理性分析緊密結合起來，以此實現問題的高效解決.

例3已知直線 =1通過點M（cosα，sinα） ，則（ ）

A. a²+b²?1 B. a²+b²?1

C. D.

本題作為選擇題的壓軸題，部分學生因畏難情緒，思考積極性不足，導致該題得分率偏低．在試卷講評環節，教師預留時間讓學生重新思考，并鼓勵學生分享自己的直觀感受

生4：看到 M（cosα，sinα） ，我想到了單位圓，即點M在單位圓 x²+y²=1 上.

師：這是個很棒的發現！大家順著這個思路繼續深入思考，看看還能有什么新的收獲

生5：直線 過點 M（cosα sina），也就是說直線 與圓x²+y²=1 有公共點，即直線與圓相切或相交，所以圓心（0，0）到直線+=1的距離 整理可得 ，所以答案是D.

師：結合已知條件聯想到單位圓，將原問題轉化為直線與圓相切或相交的問題，利用點到直線的距離公式順利地解決了問題.該方法思路清晰，運算過程簡潔，非常棒！

直覺思維是解題的關鍵一步，雖然它具有一定的主觀性，但是需要廣博的知識、敏銳的觀察、豐富的聯想，是學生綜合能力和綜合素養的集中體現．在實際教學中，教師要對數學直覺加以滲透，從而培養學生發現、分析和解決問題的能力.

“說”題目變式

在學生說題教學中，為了開闊學生的視野，激發學生的數學思維，教師應主動引導學生對問題進行深入探究和拓展.在此環節，教師應適度放手，給予學生自由發揮的空間，從而深化他們對知識的理解，提升他們的知識遷移能力，并推動“三會\"素養的落地.

例4已知點P是橢圓 上的一個動點，定點Q的坐標為 求 |PQ| 的最大值.

圓錐曲線的最值問題不僅是高考中的熱門考點，由于其解法靈活多變、涉及變量眾多且綜合性強，更是高中數學教學中的難點．盡管本題難度適中，學生整體完成情況良好，但為強化重點、突破難點，在學生解題結束后，教師可預留時間引導他們改編題目，通過變式練習拓寬解題視野，積累解題經驗，提升解題自信心.

生6：橢圓與拋物線和雙曲線有著密切的聯系，所以該題可以推廣至拋物線或雙曲線的最值問題.

師：是個不錯的想法，那你們打算怎么具體改編呢？

生7：已知點 P 是雙曲線 上的一個動點，點Q的坐標為（3，0），求 |PQ| 的最小值.

生8：已知拋物線 γ²=4x 的焦點為 ?^′F_× 點 P 是該拋物線上的一個動點，定點 ，求 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值

生9：已知點 P，Q 分別為拋物線y²=4x 和圓 （x-5）²+y²=1 上的動點，求|PQ| 的最小值.

在日常教學中，應避免局限于單一問題的解決，而應著眼全局，激勵學生延伸并拓展題目，從而豐富知識庫，增強知識運用的靈活性，達到知識融會貫通的目的.

“說”錯解原因

在數學學習中，錯誤是不可避免的，它是寶貴的教學財富．因此，在教學實踐中，教師應指導學生有效利用錯誤資源，通過強化錯誤認知，幫助學生完善知識體系、糾正錯誤思維，進而激發學生的數學學習興趣．在此過程中，教師需避免急于糾錯，應為學生預留充分的時間和空間，讓他們自主發現、表達并糾正錯誤.學生通過析錯、糾錯等過程，能夠深化對知識和思想方法的理解，從而避免未來再犯類似錯誤，切實保障高中數學課堂的教學效果與效率.

例5設等差數列 {a_n} 的前 項和

為 S_n ，等差數列 {b_n} 的前 項和為 T_n ，若

對于任意的正整數 ?_n ，都有 （204號 ，

則 二 b6

從解題反饋來看，約有四分之一的學生給出了錯誤答案 為找到錯因，教師讓學生說出自己的思考過程.

生10：因為 {a_n} 和 {b_n} 都是等差數列，等差數列的前 項和可以看成關于 n 的二次函數，且該二次函數沒有常數項，所以 {a_n} 和 {b_n} 的前 項和的比值可以除掉一個 n. 基于這一認識，不妨設 S_n=2nk ， T_n=（3n+2）k ，則 a₆= S-S=2，b=T-T=3k，所以2

師：好像有一定的道理，那么問題到底出現在哪里呢？請給出正確答案的同學分享你的解答過程

生11：設 S₆–S₅=2×6²k-2×5²k=22k b₆=T₆-T₅= （3×6+2）×6k-（3×5+2）×5k=35k ，所以 （204

師：比較這兩個解題過程，說說你的發現.

生12：哦，我知道了， a_n，b_n 中的 n 為6，對應于 S_n，T_n 中的 n 為11，所以應將 _?n=11 代人 中

在此過程中，教師預留時間展示學生的錯解過程，并通過對比分析引導學生自主發現錯因．學生只有精準定位錯誤根源，才能在今后的學習中避免重蹈覆轍，進而提升解題準確率．學習過程中出現錯誤是正常現象，關鍵在于如何對待錯誤.唯有幫助學生深刻理解錯因并及時糾正，才能有效規避或減少錯誤的發生.

“說”思想方法

思想是數學的靈魂，方法是數學的精髓.在教學過程中，如果僅僅聚焦于知識的傳授，學生往往只能解決一些具有局限性的問題；而倘若引導學生感悟數學知識中蘊含的思想方法，則能讓學生終身受益．因此，在說題教學中，教師應當著重引導學生提煉數學思想方法，進而提升學生對數學的認知與理解水平.

例6若曲線 存在垂直于y軸的切線，求實數a的取值范圍.

教師安排學生獨立求解，過程中通過巡視觀察學情，針對學生遇到的問題給予個性化指導.待學生成功求解后，教師引導其總結提煉解題過程中運用的數學思想方法.

生 ，因為曲線f（x） 存在垂直于 y 軸的切線，所以f^′（x）=0 即， 這里蘊含著化歸與轉化思想.

生14：將 變形為 3a= ，因為 _xgt;0 ，所以 alt;0. 這里蘊含著變量分離思想

生15：也可以將 變形為 ，在同一直角坐標系內畫出$＼scriptstyle y = 3 a x ^ { 2 } ＼overleftrightarrow { ＼pmb { ＼mathscr { I } } } y = - ＼frac { 1 } { x }$ 的圖象，而畫 y=3axⁱ 的圖象時，需要對a進行分類討論—分為 ^agt;0，a=0 和 alt;0 三種情況.結合函數圖象可以發現，只有當 _alt;0 時，兩圖象才有交點，且交點的橫坐標大于0.這里蘊含著數形結合思想和分類討論思想[2].

在數學教學中，教師不僅要讓學生解題，更要讓學生提煉蘊含其中的數學思想方法，以此最大限度地提高學生數學思維的靈活性和深刻性.

總之，教師應重視開展“學生說題\"教學，通過\"說題\"過程洞悉學生的思維路徑、認知誤區，從而在教學中實施針對性指導，幫助學生構建科學的解題策略．這一教學方式不僅能有效落實“三會\"素養，還能拓展學生的數學思維深度，提升其發現、分析和解決問題的綜合能力.

參考文獻：

[1］王瑋.高中數學教學中培養學生審題能力的研究[J].數學教學通訊，2018（24）：39-40.

[2]念家桃.在說題教學中培養高中生的數學思維素養[J].福建基礎教育研究，2017（8）：71-72.