基于APOS理論的高中函數概念理解教學策略研究

【摘要】函數理論構成了高中數學教學的核心組成部分，該概念的抽象性質對學生認知構成了顯著障礙，函數教學得以借助APOS理論構建起一個科學、系統的指導框架，本文以APOS理論為理論支撐，系統分析高中階段函數概念教學策略的深化途徑，以實例為證，分析教學過程中如何引導學生逐步實現操作、過程、對象及圖式四個認知階段的轉變，追求提升學生對函數概念的理解和實際應用水平。

【關鍵詞】APOS理論；函數概念；高中數學

函數是高中數學課程的核心主線，作為數學其他分支深入研究的基石，其地位不可替代，在自然科學以及社會科學等領域均具有普遍的應用性，函數概念的抽象層次較高，學生在學習過程中面臨諸多學習障礙。分析促進學生對函數概念深入理解的途徑成為數學教育界的核心研究課題，APOS理論為處理該問題引入了新的理論視角與操作方法。?

一、APOS理論概述?

美國數學教育領域的學者杜賓斯基及其同仁提出了APOS理論，該理論認為，學生在數學概念的學習上，需依次完成四個階段的學習任務：操作行為、實施過程、作用對象與認知模式。?

1.操作階段?

在實施環節，學生通過具體實踐活動，實現對數學概念的直接感知與內在吸收。此類實踐可直接操作實施，亦可在心理過程領域內實施。在函數理論學習的探索階段，學生需對若干函數在特定自變量取值點上的數值進行求解。如計算函數時設定自變量x=1，則線性函數y=2x+1的輸出結果為y=3。

2.過程階段?

經歷操作流程的持續重復與深度剖析，學生群體對操作技能的掌握正逐步向內在化認知階段過渡。在函數概念的學術探討階段，學生逐步揭示了針對既定函數的理解。不論自變量取何數值，每一變量均與一個既定的依賴因變量相聯系，此類關聯性得以借助既定規則諸如函數表達式表現。在知識更新迅速的今天，學生群體對具體計算的關注已不再局限于傳統計算范疇，進而深入探究函數內在的對應關系實質。?

3.對象階段?

當學生能夠將函數的對應法則作為一個整體性思維模式進行綜合分析，在數學運算與函數變換領域，該系統亦能實施相應的處理。學生掌握了執行函數加、減、乘、除等基本運算的數學技能，抑或對函數實施復合運算流程。函數被視為一種具備操作屬性的數學實體，函數的定義已不再局限于過程范疇，此表述已獲得獨立數學實體的明確認可。?

4.圖式階段?

在圖式構建階段，學生將所掌握的函數理論同其既有的知識背景相結合，構建一個完整的認知結構體系。在該架構框架之內，函數理論與方程、不等式等基礎概念相互滲透，形成緊密的聯系，構筑成為一個連貫的統一體。在此階段，學生具備針對具體問題情境的分析能力，可以精準地運用函數知識以攻克問題難關，并能對函數領域的知識體系進行全面的梳理與總結。

二、基于APOS理論的高中函數概念教學策略?

1.操作階段的教學策略?

（1）創設情境，引入實例。函數教學初期階段的開端，必須精心策劃既富于變化又緊貼學生生活實際的課堂情境，以汽車行駛現象為分析對象，沿一條寬闊的直線型道路，汽車沿既定速度路徑進行勻速行駛，隨著時間的不斷延伸，行進距離持續增加。教育工作者應呈現各個時間點對應的路程數值，使學生能夠直觀地觀察到時間單位逐級上升的演變規律。行進距離按照既定比例進行擴張性增長，這兩個變量間的緊密依賴性聯系得以直觀顯現。選取一周內該地區每日氣溫變化數據作為分析對象，將時間單位設定為可變參數，作為研究中的一個關鍵變量，每日氣溫的最高值被單獨提取，采用圖表手段對數據資料進行形象化展示，學生能夠直接洞察氣溫隨時間軸變化的波動現象，全面理解變量間相互依存的內在聯系。經過學生對于相關實例的細致觀察，教育工作者需按照教學序列，逐步指導學生以數學術語表述該關聯性，指導學生探究如何以代數式展現距離與時間之間的函數關系，培育學生形成“路程與速度及時間乘積相等”的數學模型，構筑函數概念正式導入的理論基石，在學生掌握的情境中，培養其對函數變量依賴關系的初步且具體的理解水平。?

（2）開展數學實驗。籌備并實施學生數學實驗課程，運用現代計算機輔助繪圖軟件，諸如幾何畫板、Desmos等，繪制函數圖像，是一種高效的方法論，在實驗實施階段，學生在計算機輔助教學系統中親自錄入各類數學函數公式，本案例所展示的線性映射公式為y=2x+3，在二次函數的范疇內存在一個特定的函數模型，其數學表達式為y=x2-4x+3。輸入函數演變過程中的階段性調整，動態圖像的生成任務可由該軟件迅速執行，當函數表達式的系數發生變化時，圖像的形狀與位置亦隨之發生調整，針對線性函數y=kx+b的數學模型進行探討，對k值實施數值變動，學生能夠直接目睹直線傾斜角度的逐步調整，進一步闡釋k值對函數單調性影響的實際意義；對b值實施數值上的調整，直線沿垂直方向進行平行移動，揭示了變量b對函數圖像y軸截距所起的作用機制。探討二次多項式函數的性質時，應采用符號調整方法對二次項系數a進行正負性質的改變，使得學生能夠識別圖像開口方向所發生的調整現象，采用頂點坐標的計算公式，探討圖像頂點坐標與函數參數之間的相互關系。

2.過程階段的教學策略?

（1）引導學生分析和概括。學生經過一系列操作行為的實施，在具體函數計算及圖像觀察領域積累了充足的經驗，教育工作者應在恰當的時刻引導學生對操作步驟進行深入剖析，以函數值求取為例證，在數學分析領域，學生針對多類函數進行了運算，其中線性函數y=3x-1亦為其計算內容之一，在既定的自變量取值范圍內，對該函數的函數值進行求解。教師組織學生就計算過程的共通性進行分組剖析，引導學生探究函數形態的多樣化變化機制，在各類科學實驗與探究活動中，自變量作為核心變量，依據既定規則，唯一確定的因變量得以產生，此規律具有關鍵性，對眾多具體函數案例實施深入對比與系統歸納，逐步引導學生從這些紛雜的計算案例中總結出函數的普遍性定義，即假設集合A與集合B均構成非空數值集合，按照某一既定的映射函數f，對集合A中任一數值x進行探究，對于集合B中的每一個成員，均存在一個與之對應的函數f（x），且該函數的對應關系是唯一的，從集合A至集合B的映射，可記作A→B，引導學生自主探索與歸納總結，以深刻把握函數定義的內在精神，非機械性記憶途徑之異。

（2）強化符號語言的運用。精確表達函數概念必須依賴符號語言的運用，在教學實施階段，教育工作者應當強化學生對函數y=f（x）中的符號的全面理解與熟練運用技巧，深入剖析符號的內涵與外延，f符號揭示了事物間的對應原理，自變量x在此模型中占據核心位置，y是依賴性變量，在數學函數表達式中，y=f（x）這一形式全面揭示了因變量y的數值完全由自變量x與函數f的映射關系所決定。追求強化學生對學科知識的把握，教師借助實例進行演示，如以x作為購買蘋果重量數值的標識：f（x）函數量化了購買x千克蘋果的貨幣支出：每公斤蘋果售價為五元整，所以f（x）=5x，這是函數表達的一種標準形式。鼓勵學生采用此符號體系對眾多實際問題中的函數聯系進行表述，如探討出租車計費機制的相關議題，起步費用為8元人民幣，包含首3公里的免費行駛里程服務，自三公里起始點，每公里計費金額為2元，假定行駛距離為x公里，且x的數值應滿足x≥3，本項費用總計為y元，根據函數y=f（x）的定義，f（x）=8+2（x-3），揭示了函數的數值特性。經過大量此類訓練的積累，學生能夠逐步實現從具體實例到函數對應關系的抽象轉化，構建對函數概念的本質屬性與符號表征的普遍性認知體系，增強學生在數學領域的抽象邏輯思維及符號化語言運用能力。

3.對象階段的教學策略?

（1）加強函數運算的教學。學生已充分把握函數的實質，教育者需在課程實施中及時引入函數運算的教學內容，對函數的加法、減法、乘法、除法運算及其復合函數形態進行探討，以翔實的運算實例為分析對象，使學生認識到函數這一數學實體，具備執行各類數學運算的屬性，在數學分析中，我們研究兩個特定的函數f（x）和g（x），f（x）的函數形式為x2+1，g（x）的函數形式為2x-1，讓學生計算函數f與函數g的代數組合。函數論研究，f（x）g（x）與f（g（x））等運算模式構成了函數運算的基本框架，增進學生對函數運算規則的認識與掌握，對函數這一數學對象進行實質性的操作視角轉換。?

（2）對比不同函數的性質。教授學生對比研究各類函數（諸如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等）的性質差異，探討定義域、值域、單調性及奇偶性等基本數學性質，基于此番對照，引導學生深入探究函數這一數學對象的獨特性質，剖析不同函數間的相互關系及其本質上的不同點，在分析指數函數與對數函數的數學特征及其數學意義時，采用圖像繪制與特性分析手段，培養學生對這組函數反函數關系的深刻認識，在定義域、值域以及單調性等關鍵屬性上，呈現出特定的映射關系。?

4.圖式階段的教學策略?

（1）構建知識網絡?。教師應當引導學生形成完整的函數知識網絡，對函數理論及其相關數學領域進行系統性的整合與綜合研究，深入挖掘函數與方程之間的內在聯系及其數學本質，讓學生掌握，方程f（x）=0的解即函數y=f（x）圖像與x軸交點的橫坐標值；闡述函數與不等式相互依存的關系及其數學表達，培養學生掌握以函數單調性為基礎的不等式求解技巧，采用該知識網絡的構建模式，深化學生對函數概念全面性與深入性理解層次。?

（2）解決綜合問題?。研發綜合性的數學問題探究路徑，鼓勵學生在探究問題解決的過程中，綜合應用函數及其相關領域的知識體系，描述一個實際面臨的挑戰，要求學生著手構建函數模型。依據不等式原理，分析最優解的求解途徑，依托此問題解決途徑，學生展現出將函數知識與其他學科知識體系相融合的技能，對個人認知結構進行系統化升級，進入圖式化成熟階段。?

三、教學實例分析?

1.操作階段?

在課程導入階段，教師向學生展示了若干與生活緊密相關的二次函數實例，研究籃球投籃時的運動軌跡規律，以及橋梁結構設計中拱形結構的構造方法等，引導學生直觀體驗二次函數的實際存在感，引導學生采用列表計算方法求解二次函數y=x2在x=-3的函數值，探討函數所對應的數值結果，于坐標網格上實施點標記與線段繪制操作，繪制函數的幾何映射，實施此動作，可以使學生初步形成對二次函數圖像特性的認知，并探討自變量與因變量之間的對應原理。?

2.過程階段?

學生圖像繪制作業的完成標志著該環節的結束，教師引導學生進行圖像視覺分析，對二次多項式函數的特性進行細致的數學考察，引導學生對圖像的開口朝向、對稱軸以及頂點坐標等要素進行系統觀察，討論當x在各個分界點的變動現象，y值變動情況考察，據此歸納出二次函數的單調性規律。

教師進一步引導學生用數學語言描述二次函數的性質，如對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），其對稱軸為x=?b/2a，當a＞0時，函數圖像開口向上，在對稱軸左側函數單調遞減，在對稱軸右側函數單調遞增等。通過這種方式，學生將操作過程內化，形成對二次函數性質的一般性認識。?

3.對象階段?

教師引入二次函數的運算，如給定兩個二次函數?y1=x2+2x+1和y2=2x2?3x+1，讓學生計算y1+y2，y1?y2，y1×y2等。通過這些運算，學生將二次函數視為一個可以進行數學操作的對象。教師引導學生對比不同二次函數的性質差異，如比較y=x2，y=2x2，y=-x2等函數圖像的開口大小、頂點位置等，讓學生深入理解二次函數中系數a對函數性質的影響。?

4.圖式階段?

教師引導學生將二次函數與一元二次方程、一元二次不等式進行聯系。例如讓學生思考二次函數y=x2?2x?3的圖像與x軸的交點與方程x2?2x?3=0的解之間的關系，以及如何利用二次函數的圖像求解不等式x2?2x?3＞0。通過這種聯系，讓學生構建起二次函數與其他數學知識的網絡。教師給出一個綜合問題，如：某商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件。如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件。設每件商品的售價上漲x元，每個月的利潤為y元，求y與x的函數關系式，并求售價為多少時利潤最大。學生在解決這個問題的過程中，需要運用二次函數的知識建立函數模型，并結合二次函數的性質求解最值，從而將二次函數知識與實際問題解決相結合，完善自己的認知結構。?

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