基于多視角的二元不等式求最值問(wèn)題研究

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-8918（2025）20-0061-03

高三學(xué)生進(jìn)行一輪復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)二元不等式求最值的問(wèn)題，往往出現(xiàn)無(wú)從下手、思路不清晰的情況。有些同學(xué)即使解答出來(lái)了，也有一種“瞎貓碰到死耗子”的感覺(jué)，即解題思路不明確。

美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞非常提倡多角度解題。他認(rèn)為多角度解題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種重要手段和途徑。解題思路就像是金庸筆下武林高手的內(nèi)功，具體解題方法像是具體的武功招式，每個(gè)人都有可能將一種武功招式練得出神人化，但無(wú)內(nèi)功的人終將成為不了武林高手。

一、解題思想方法的總結(jié)歸納

一般不等式以變量、次數(shù)、形式（結(jié)構(gòu)）構(gòu)成，文章對(duì)不等式的解題思路也從這幾個(gè)方面展開，具體如圖1所示。

總結(jié)歸納：1.在二元對(duì)稱多項(xiàng)式中用地位平等所求的值有可能不是題目要求的最值。這是因?yàn)樗皇乔蟮脴O值，并不一定是最值。此方法一般適用于做小題。

2.比值代換有時(shí)還可以用于分離變量。

3.特別是在分式中將多項(xiàng)式換元成單項(xiàng)式也是常見的一種處理思路。

二、例題詳解

下面以具體的例題對(duì)上述二元不等式的解題視角進(jìn)行具體分析運(yùn)用。

【例】（2022年新高考 I 卷，12題）若 x，y 滿足 x²+y²-xy=1 ，則

A. x+y?1 B. x+y≥-2

C. x²+y²≤2 （2 D. x²+y²?1

方法一：分析：從元入手，想著消元，題目條件給的是二元二次方程，可以先配方，再換元消一次項(xiàng)。

解：由 x²+y²-xy=1 ，得 Y cos02，則 ，所以 x+y= 32y=sin0 。綜上可知 B ，C正確。

方法二：分析：不一定將 x，y 看作是兩個(gè)變量，我們也可以將 x+y，x²+y² ，xy 等整體看作變量，然后利用基本不等式及變形形式，進(jìn)行消元。

解： 1=x²+y²-xy=（x+y）²-3xy?（x+y）²- 當(dāng)且僅當(dāng) x=y=1 或-1時(shí)，等號(hào)成立，故B正確。又因?yàn)? ≥xy，所以1=2+xy2+22 。當(dāng)且僅當(dāng) x=y=1 或-1時(shí)，等號(hào)成立。而“ x²+y² ”的最小值沒(méi)法用不等式放縮等到，但我們可以進(jìn)行驗(yàn)證： x²+y²≥1?x²+y²≥x²+ y²-xy?xygtrless0 。因?yàn)?x，y∈R ，所以 xy?0 不可能恒成立的。可舉反例令 代人 1=x²+y²-xy 中取 ygt;0 的值，可求得 經(jīng)檢驗(yàn)有 x²+y²= 。綜上可知B，C正確。

方法三：分析：用萬(wàn)能 k 法，本質(zhì)上還是消元思想。

解：令 x+y=k，∴1=x²+y²-xy=（k-y）²+y²- （k-y）y，3y²-3ky+k²-1=0 ，所以 =-3k²+12?0，k²?4∴x+y∈[-2，2] 。令 x²+y²= t，∴（x-y）²=t-2xy=t-2（t-1）=-t+2?0?t?2 x²

方法四：分析：從次數(shù)角度看，可以進(jìn)行配其次化。

解：令 ，t∈R，有（x+y）2： 由分式函數(shù)求值域可知 （x+y）²∈[0，4] 由 x，y 對(duì)稱性及均可取正負(fù)，故 （λ_x+y）∈[-2，2] 。 當(dāng)t=-1，1 時(shí)取到邊界。

方法五：分析：直接比值代換也可以進(jìn)行分離變量，從而達(dá)到消元目標(biāo)。

解：令 ，于是： 1=x²+y²-xy=（t²-t+ 從而

方法六：分析：主元法，還是以消元為目標(biāo)。

解：在條件 1=x²+y²-xy 中以 y 為主元，看作關(guān)于y的一元二次方程，所以x=y±√4-3y2 ，所以0 。由于 x，y 對(duì)稱，不妨取 ，代人有h=x+y=y+√4-3y2 ，化簡(jiǎn)得 （1）Δ=9k²-12（ωk²-1）?0，k²?4，x+y∈[-2，2] 。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) k=2 時(shí)，代入（1）中，有 y²-2y+1=0，y=1 在定義域內(nèi)。當(dāng) k=-2 時(shí)，代入（1）中，有 y²+2y+1= ^0，y=-1 在定義域內(nèi)。所以 x+y 的最大值和最小值分別為2，-2。但用這個(gè)方法求“ x²+y² ”的最值就不太適用了，計(jì)算量太大。

方法七：分析：利用二元對(duì)稱性取極值。

解：由題干和問(wèn)題中 x，y 的表達(dá)知 x，y 對(duì)稱，所以在 x=y 時(shí)可以取到極值，代入條件 1=x²+y²- xy中，解得 x=y=1 或 ^-1 。從而“ x+y ”的最值可求得，“ x²+y² ”的最大值求得，但其最小值沒(méi)法求的。需要注意的是，在未知情況下，一般需要代值驗(yàn)證一下所求得值為最大還是最小，也有可能兩者均不是，故一般慎用此法。

方法八：分析：數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義。二元二次方程所對(duì)圖像為圓錐曲線，可知 x²+y²-xy= 1表示的為非標(biāo)準(zhǔn)曲線，故去 xy 項(xiàng)。

解：令 原條件為 1=（a-b）²+（a+b）²- （204號(hào) 看作是關(guān)于 ^a，b 的橢圓，那么根據(jù)橢圓上點(diǎn)的取值范圍和點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式，可知 x+y=2a∈[-2，2] ， x²+y²=2（a² ，綜上可知B，C 正確。

點(diǎn)評(píng)：此類題均可用這個(gè)方法變換成標(biāo)準(zhǔn)型圓錐曲線，目標(biāo)為消去一次項(xiàng)和 xy 項(xiàng)

方法九：分析：從向量的數(shù)量積角度分析。

。令 ，設(shè) 2y=x+y，∴ m=1，n=√3，即b=（1，3）。于是由 -|a|?|b|?a?b?|a|?|b| ，知 x+y∈[-2 2]。又令 x²+y² 取 于是由 -∣a∣?∣c∣?a?c?∣a∣?∣c∣ ，知 x²+y²? ，令 t=x²+y² ，則 ，綜上可知B，C正確。

點(diǎn)評(píng)：上述向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成不等式的角度看即為二元柯西不等式。

方法十：分析：數(shù)形結(jié)合，利用三角形余弦定理。

解：當(dāng) x=0 時(shí)可得 y=1 或 -1，∴x+y=1 或 ^-1 0而當(dāng) x，ygt;0 時(shí)，條件可變?yōu)? ^°=1 ，從而看作邊長(zhǎng)為 x，y，1 的三角形，其角分別記為 ∠A，∠B，∠C 。其中，邊長(zhǎng)為1所對(duì)的角記為 ，于是此三角形的外接圓的半徑確定，那么固定點(diǎn) _A，B，C 在外接圓上動(dòng)，從而由幾何對(duì)稱性可知當(dāng) ΔABC 為等邊三角形時(shí)，其周長(zhǎng)最大，即 Ω_x+ y?2 ，再由 x，y 的對(duì)稱性可知 -2?x+y ，所以 x+y ∈[-2，2] 。由條件知，當(dāng)求 x²+y² 的最大值時(shí)，顯然可以設(shè) x，ygt;0 來(lái)求，且為等邊三角形時(shí)取到最大值，但求最小值時(shí)就不適用此方法。

總結(jié)：高考題往往可以從多個(gè)角度嵌入，所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要多角度去想問(wèn)題，解決問(wèn)題

三、結(jié)論

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的重要學(xué)科，教師在平時(shí)的教學(xué)中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生多角度去思考問(wèn)題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的有效方法，讓學(xué)生從解題過(guò)程中感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法，使思維更開闊，從而提升學(xué)生自己的思維能力和解題能力，真正將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)落到實(shí)處。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎么解題—數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版，2011.

[2]教育部教育考試院.高考試題分析（數(shù)學(xué)）[M].北京：語(yǔ)文教育出版社，2022.