在函數(shù)學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思維

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)著重強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)思想則是這一核心素養(yǎng)的核心要素。函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，諸如數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程與函數(shù)思想等。在函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)構(gòu)建系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)體系，提升自身的思維和實(shí)際應(yīng)用能力，進(jìn)而提高分析和解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的能力。

、函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思想的類(lèi)型

（一）數(shù)形結(jié)合思想

在函數(shù)中，函數(shù)表達(dá)式為“數(shù)”，函數(shù)圖像為“形”。例如在學(xué)習(xí)二次函數(shù) y=ax²+bx+c （204號(hào)（ ）時(shí)，通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像的開(kāi)口方向（由 a 的正負(fù)決定）對(duì)稱軸 x=-|frac{b}{2a} ，與 x 軸交點(diǎn)（由判別式 |Delta=b²-4ac 決定）等“形”的特征，來(lái)理解函數(shù)的單調(diào)性、最值等“數(shù)”的性質(zhì)。這種思想將抽象的代數(shù)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合，降低理解難度。

（二）分類(lèi)討論思想

當(dāng)函數(shù)中存在參數(shù)時(shí)，常需分類(lèi)討論。如對(duì)于函數(shù) y=x³+2ax+1 ，在研究其單調(diào)性時(shí)，對(duì)稱軸為 x=-a ，由于 a 的值不確定，需分 agt;0 、 a=0 、 alt;0 三種情況討論，根據(jù)對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系確定函數(shù)單調(diào)性，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（三）函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程緊密相連，函數(shù) y=f（x） ，當(dāng) y=0 時(shí)就轉(zhuǎn)化為方程 f（x）=0 。例如求函數(shù) y=x³. 3x+2 的零點(diǎn)，就是求解方程 x³ 3x+2=0 的根，通過(guò)對(duì)方程的變形求解，加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，提升學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力。

（四）化歸思想

將待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決或易解決問(wèn)題。在函數(shù)中，可將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求解。

二、函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思想的滲透策略

（一）深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想

高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，但這些思想并非以顯性的方式呈現(xiàn)，需要我們深人挖掘。我們要梳理出每個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后所隱藏的數(shù)學(xué)思想。在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函

數(shù)的性質(zhì)時(shí)，教材通過(guò)繪制函數(shù)圖像來(lái)直觀展示其單調(diào)性、定義域、值域等性質(zhì)，這里就蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想。這時(shí)我們要關(guān)注圖像與函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)中的作用。

（二）在概念學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想

函數(shù)概念是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在概念學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想，能令我們更好地理解概念。以函數(shù)單調(diào)性概念學(xué)習(xí)為例，我們通過(guò)實(shí)例如給出氣溫隨時(shí)間變化的函數(shù)圖像，來(lái)觀察圖像上溫度的變化趨勢(shì)，然后學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這種變化，從而引出函數(shù)單調(diào)性的概念。在這個(gè)過(guò)程中，滲透了從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想，以及數(shù)形結(jié)合思想。通過(guò)這種方式，我們不僅能理解函數(shù)單調(diào)性的概念，還能學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)概念。

（三）在解題中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

解題是函數(shù)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是滲透和強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵時(shí)機(jī)。對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，常常需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想。已知函數(shù) ，在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需要根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù) a 的正負(fù)進(jìn)行分類(lèi)討論；當(dāng)求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值時(shí)，還需要考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，再次進(jìn)行分類(lèi)討論。通過(guò)這樣的例題講解，我們能從中體會(huì)分類(lèi)討論思想在解決函數(shù)問(wèn)題中的必要性和具體運(yùn)用方法，培養(yǎng)自身思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（四）借助函數(shù)模型滲透建模思想：

我們可引入實(shí)際生活中的函數(shù)模型，如銀行存款利息計(jì)算模型、人口增長(zhǎng)模型等。以人口增長(zhǎng)模型為例，給出人口增長(zhǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，嘗試建立函數(shù)模型來(lái)描述人口數(shù)量隨時(shí)間的變化，在建立模型的過(guò)程中，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、提取關(guān)鍵信息、簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題，從而建立合適的函數(shù)關(guān)系，深刻體會(huì)建模思想，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（五）在函數(shù)習(xí)題訓(xùn)練中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想：

布置多樣化的習(xí)題，如函數(shù)與方程思想的題目：已知函數(shù)，求方程解的個(gè)數(shù)。學(xué)生需要將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)和圖像與 x 軸的交點(diǎn)情況來(lái)確定方程解的個(gè)數(shù)。在練習(xí)過(guò)程中，我們要總結(jié)運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想，從而提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的熟練度。

三、函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思想滲透的實(shí)踐

為了提高大家對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力，我們可嘗試在學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想。我們可選取“函數(shù)的奇偶性”這一內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，引入概念：展示生活中一些具有對(duì)稱美的圖片，如蝴蝶、建筑物等，引出數(shù)學(xué)中的對(duì)稱概念，然后給出一些函數(shù)圖像，讓大家觀察圖像的對(duì)稱性，從而引入函數(shù)奇偶性的概念。在這個(gè)過(guò)程中，滲透了從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)概念的抽象思想，以及數(shù)形結(jié)合思想。

在探究函數(shù)奇偶性的性質(zhì)時(shí)，我們可通過(guò)計(jì)算函數(shù)值來(lái)驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性。對(duì)于函數(shù)f（x）=x∧2 ，我們可分別計(jì)算 f（-x） 和 f（x） 的值，發(fā)現(xiàn) f（-x）=f（x） ，從而得出該函數(shù)是偶函數(shù)。在這個(gè)過(guò)程中，滲透了從特殊到一般的歸納思想。接下來(lái)，我們?cè)俳Y(jié)合函數(shù)圖像，分析偶函數(shù)圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱的特點(diǎn)，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想。

通過(guò)本次學(xué)習(xí)實(shí)踐，大家對(duì)函數(shù)奇偶性的概念和性質(zhì)理解更加深刻，在解決函數(shù)奇偶性相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能夠自覺(jué)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，解題能力有了明顯提高。