三角導(dǎo)數(shù)連手，云里霧里選才

2025全國(guó)高考數(shù)學(xué)I卷第19題是一道三角與導(dǎo)數(shù)結(jié)合產(chǎn)生的試題，對(duì)于這道有點(diǎn)讓人捉摸不定，說它難吧，又感覺挺簡(jiǎn)單．說它簡(jiǎn)單吧，又難讀懂試題.說它是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用吧，又好像沒怎么用導(dǎo)數(shù)．說它是一道題吧，更像是三道獨(dú)立試題的組合型試題．到底是什么？讓我們近距離地“認(rèn)識(shí)”一下，同時(shí)也我們一起再欣賞一下三角與導(dǎo)數(shù)的其它類型問題：

一、試題與求解賞

試題：設(shè)函數(shù) f（x）=5cosx-cos5x （1）求 f（x） 在 上的最大值；（2）給定 ， α_a 為給定實(shí)數(shù)，證明：存在 y∈[a-θ，λ+θ] ，使得 cosy≤ cosθ ；（3）若存在 φ 使得對(duì)任意 x 都有 5cosx-cos（5x+ φ）≤b ，求 b 的最小值.

1．對(duì)于第1小問：由 f^′（x）=-5sinx+5sin5x= 10sin2xcos3x ，令 f^′（x）=0 結(jié)合 得 x=0 或 由于 時(shí) f^′（x）gt;0 ，此時(shí)，函數(shù)遞增; 時(shí) f^′（x）lt;0 ，此時(shí)，函數(shù)遞減；故 f_max （20號(hào)

或解：設(shè) ， 由于 g^′′（x）= -cosxlt;0 ，于是， g（x）=cosx 為上凸函數(shù)，則 5cosx- cos5x=cosx+cosx+cosx+cosx+cosx+cosx+cos（π-5x）≤6cos ，當(dāng)且僅當(dāng) x=π- 5x 即 時(shí)取等號(hào).

或解：由于 cos2x=2cos²x-1 ， cos4x=2（2cos²x-1）² （2號(hào)-1=8cos⁴x-8cos²x+1

可得 cos5x=16cos⁵x-20cos³x+5cosx. （2

于是， f（x）=5cosx-cos5xcos5x=20cos³x-16 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 也就是 時(shí)取等號(hào).

2．對(duì)于第2小問：不妨設(shè) a∈[0， 2π） ，若 a≤ 2θ ，則 a-θ≤θ≤a+θ ，取 y=θ 即有 cosy≤cosθ 成立；若 agt;2θ ，則 θ≤a-θ ，此時(shí) ，取 y=a- θ ，則 cosy≤cosθ 也成立，結(jié)合周期性可知 ak∈ [2kπ ， （2k+1）π） （ k∈Z ）結(jié)論都成立．于是，存在 y ?[a-θ，a+θ] ，使得 cosy≤cosθ.

或者： ?y∈[a-θ，a+θ] ，都有 cosygt;cosθ ，則2kπ-θ θ ， 2kπ+θ， 即 2kπ-θ ，使得 cosy≤cosθ 成立.

3．對(duì)于第3小問：由于 f（-x）=5cos（-x）-cos5 （-x）=5cosx-cos5x=f（x） ，所以 f（x） 是以 2π 為周期的偶函數(shù)，首先看，當(dāng) φ=2kπ ， 時(shí)， f（x） =5cosx-cos5x 的最大值．由 f^′（x）=-5sinx+5sin5x= 10sin2xcos3x ，令 f^′（x）=0 得 （20 易得 時(shí) f（x） 單調(diào)遞增， x∈ （20 時(shí) f（x） 單調(diào)遞減， 時(shí) f（x） 單調(diào)遞減， 時(shí) f（x） 單調(diào)遞增，于是 f_max（x） ，所以當(dāng) 時(shí) ，結(jié)合周期性及偶函數(shù)可知 x∈R 時(shí) ，此時(shí)， ．再看：當(dāng) φ≠2kπ 時(shí)，在2中取 6，a=φ，則y∈ 使 令 （20 于是 5cosx-cos（5x+φ） 中存在 x 使 ，矛盾.

故 b 的最小值為

或者：不妨設(shè) φ∈[0，2π） ，由于對(duì)任意 x 都有5cosx-cos（5x+φ）≤b ，于是，取 必有 b≥ 5 而 因此 ，由第一小問我們知道 φ=0 且 時(shí) ，故 b 的最小值為 ：

透過三問的求解我們可以看出：第一問是利用導(dǎo)數(shù)求解三角函數(shù)的最值，是真正的三角與導(dǎo)數(shù)的美麗牽手，此類題最早出現(xiàn)在2016·新課標(biāo)Ⅱ卷的第21題；時(shí)隔三年于2019年在新課標(biāo)Ⅰ卷的第20題再次出現(xiàn)，由于三角函數(shù)的周期性與多值性，導(dǎo)致此類題的求解有一定的難度．本題的2、3兩問對(duì)“存在性”與“任意性”的準(zhǔn)確理解與合理應(yīng)用是求解的關(guān)鍵，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用所占比例稍小，特別是第3小問，含有兩個(gè)量詞，如何恰到好處的利用，又如何將本小問與前兩小問有機(jī)的聯(lián)系一起，形成“借力\"求解？當(dāng)然了，本小問也不是為所有考生設(shè)計(jì)的．也不是本文關(guān)注的重點(diǎn)，下面，筆者以第19題為契機(jī)繼續(xù)探討三角與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合問題.

二、導(dǎo)數(shù)與三角多角度聯(lián)姻

1．函數(shù)零點(diǎn)問題

例1．已知函數(shù) ， f^′（x） 為f（x） 的導(dǎo)數(shù)．證明： （1）f^′（x） 在區(qū)間 存在唯一極大值點(diǎn)； （2）f（x） 有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【解析】 （1）f（x） 的定義域?yàn)?（?-1，?+∞） ，則 則 h^′（x）= 中

令 則 g^′（x）= 在 恒成立，： h^′（x） 在 上為減函數(shù)．又 h^′（0）=1 ， ，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)h^′（x） 在 上存在唯一的零點(diǎn) x₀ ，結(jié)合單調(diào)性可得， f^′（x） 在 上單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，可得 f^′（x） 在區(qū)間 存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）由（1）知，當(dāng) x∈（-1， 0） 時(shí)， f^′（x） 單調(diào)遞增，則 f^′（x）′（0）=0 ，則 f（x） 在（-1，0）上單調(diào)遞減；當(dāng) x∈（0，x₀） 時(shí)， f^′（x） 單調(diào)遞增，則 f^′（x）gt; f^′（0）=0 ，則 f（x） 在 （0，Ψx₀Ψ） 上單調(diào)遞增；由于f^′（x） 在 上單調(diào)遞減，且 f^′（x₀）gt;0 ， ，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù) f^′（x） 在 上存在唯一零點(diǎn) x₁ ，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng) x （204號(hào) 時(shí)， f^′（x） 單調(diào)遞減，則 f^′（x）gt;f^′（x₁）=0 ，故 f（x） 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， f^′（x） 單調(diào)遞減，則 f^′（x）′（x₁）=0 ， f（x） 單調(diào)遞減.

當(dāng) 時(shí)， cosxlt;0 ， ，于是

， f（x） 單調(diào)遞減，其中 -ln（1+π）lt;-ln3lt;0 ，于是，可得下表：

數(shù)學(xué)有數(shù)

結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù) f（x） 在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知， f（x） 在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) x₂ ，當(dāng) x∈[π，+∞） 時(shí)， f（x）=sinx-ln（1+x）lt;1-ln（1+π）lt;1-ln3lt;0 ，因此函數(shù) f（x） 在 [π，+∞） 上無零點(diǎn).

綜上， f（x） 有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查

函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查邏輯思維能力，難度較大．通

過 完成求解；（204號(hào)

2.范圍與最值問題 例2．已知函數(shù) -axsinx.

（1）判斷 f（x） 的奇偶性;

（2）若 求證： f（x）≤1 ：

（3）若存在 ，使得對(duì)任意 x∈（0 x₀ ），均有 f（x）lt;1 ，求正實(shí)數(shù) Ψ_a 的取值范圍.

【解析】（1）由題意得當(dāng) a≥0 時(shí)，定義域?yàn)镽，當(dāng) alt;0 時(shí)，定義域?yàn)? 均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 ，所以 f（x） 為偶函數(shù);

（2）證明：當(dāng) 時(shí)， 為偶函數(shù)，要證 f（x）≤1 ，即證 又當(dāng) -1≤x≤1 時(shí)， ，所以只需證當(dāng) 0≤x ≤1 時(shí)， ，即證 sin²x≥0 ，只需證 x²-xsinx≥0 ，即證 x≥sinx ，令g（x）=x-sinx ，有 ，得 g（x） 在[0，1]上單調(diào)遞增，從而 g（x）≥g（0）=0 ，所以 _x-sinx≥ 0，因此 _x≥sinx ，即證 f（x）≤1 ;

（3）因?yàn)?agt;0 ， f（x）lt;1 等價(jià)于 1，又當(dāng) 00 ，從而 axsinx+1 等價(jià)于 2sinx-2x+axsin²xgt;0 ，

令 ，有 +asin²x+axsin2x

h^（2）（x）=-2sinx+2asin2x+2axcos2x ， h^（3）（x）= -2cosx+6acos2x-4axsin2x ，（注： h^（k）（x） 為 h（x） 的 k 階導(dǎo)數(shù)）當(dāng) h^（3）（0）=-2+6agt;0 時(shí)，即 時(shí)，存在 ，使得對(duì)任意 ， h^′（3）（x）gt;0 所以 h^（2）（x） 在 遞增，又 h^（2）（0）=0 ，所以h^（2）（x）gt;0 對(duì)任意 x∈（0，x₀） 恒成立，從而 h^′（x） 在 遞增，又 h^′（0）=0 ，所以 h^′（x）gt;0 對(duì)任意 x Ψ∈（0，Ψ_x0） 恒成立，從而 h（x） 在 （0，x₀） 遞增，結(jié)合h（0）=0 ，得 h（x）gt;0 對(duì)任意 恒成立，符合題意，當(dāng) 時(shí)， h^（3）（ 0）=-2+6alt;0 ，故存在 ，使得對(duì)任意 所以 h^（2）（x） 在 遞減，又 h^（2）（0）=0 ，所以h^（2）（x）lt;0 對(duì)任意 恒成立，從而 h^′（x） 在 遞減，又 h^′（0）=0 ，所以 h^′（x）lt;0 對(duì)任意 x 恒成立，從而 h（x） 在 遞減，結(jié)合h（0）=0 ，得 h（x）lt;0 對(duì)任意 恒成立，不符合題意，當(dāng) 時(shí)， 8axcos2x ， ，得 ，同理可得不符合題意.

綜上，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立與存在性問題，屬于難題．第1問直接根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；第2問利用分析法，原不等式最終等價(jià)于 x≥ sinx ，構(gòu)造函數(shù)易證；（3）同樣問題等價(jià)于：存在 x₀ ，使得對(duì)任意 x∈（0，x₀） ， 2sinx-2x+ax sin²xgt;0 令 ，通過多次求導(dǎo)，分類討論 和 可解決問題.

3.恒成立與能成立問題

例3．已知函數(shù) ， +1

1（1）若 f（x）≤g（x） 恒成立，求 α_a 的值；（2）求證： ， n∈N^* ：

【解析】（1）令 ax-1 ， xgt;-1 ，由條件知 h（x）≤0 恒成立，∵ h（0）= 0， h（x） 的圖像在定義域上是連續(xù)不間斷的，： x=0 是 h（x） 的一個(gè)極大值點(diǎn)，則 h^′（0）=0 ，又 h^′（x）=- 得 h^′（0）=1-a=0?a=1

下證當(dāng) a=1 時(shí)， 對(duì)任意 x∈（-1，∞） 恒成立，令 ，則 A當(dāng) -1′（x）gt;0 ，當(dāng) xgt;0 時(shí)， φ^′（x）lt;0 ： φ（x） 在（-1，0）單調(diào)遞增，在 （0，+∞） 上單調(diào)遞減，： φ（x）≤φ（0）=0 ，即 ，而 cosx- 1≤0 ，：當(dāng) x∈（-1，+∞） 時(shí)， +x）-x]≤0 恒成立.

綜上，若 f（x）≤g（x） 恒成立，則 a=1

（2）由（1）可知

由于 時(shí) sinx

下面證 人 （

： G（x） 在（0，1）上單調(diào)遞增，則 G（x）

0，即 ， 令 即得： （204從而 （2號(hào)

綜上， ， n∈N^* ：

【點(diǎn)評(píng)本題無論是第1問還是第2問難度都比較大，第1問中發(fā)現(xiàn)并利用 h（0）=0 很關(guān)鍵，沒有這一步什么都沒有．第二問的一系列轉(zhuǎn)化是產(chǎn)生結(jié)論的關(guān)鍵，先應(yīng)用“ ”、再用“ sinx 環(huán)環(huán)相扣，但那個(gè)環(huán)都不簡(jiǎn)單.

4.不等式的證明問題

例4．設(shè)函數(shù) f（x）=e^xcosx ， g（x） 為 f（x） 的導(dǎo)函數(shù).

（1）求 f（x） 的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng) 時(shí)，證明

（3）設(shè) x_n 為函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的零點(diǎn)，其中 n∈N

證明：

【解析】（1）由已知， ，因此，當(dāng) 時(shí)，有sinxgt;cosx ，得 f^′（x）lt;0 ， f（x） 單調(diào)遞減;

（204 當(dāng) 時(shí)，有 sinxlt; cosx ，得 f^′（x）gt;0 ， f（x） 單調(diào)遞增.

： f（x） 的單調(diào)增區(qū)間為

Z），單調(diào)減區(qū)間為

（2）記 依題意及

（I），有 g（x）=e^x（cosx-sinx），g^′（x）=-2e^xsinxlt;0， 從而

，因此， h（x） 在區(qū)間 上單

調(diào)遞減，有 （204號(hào)：當(dāng) 時(shí)， （3）依題意， u（x_n）=f（x_n）-1=0 ，即 （204號(hào)

1，記 y_n=x_n-2nπ ，則

2nπ）=e^-2nπ（n∈N） 由 f（y_n）=e^-2nπ≤1=f（y₀） 及（I），得 y_n≥y₀ ，由

（Ⅱ）知，當(dāng) 時(shí)，g'（x）lt;0，∴g（x）在 上為減函數(shù)，因

此， 又由（Ⅱ）知， 故

所以

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，不等式的證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬難題．第1小問求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性的定義即可產(chǎn)生結(jié)論.第2小問引入函數(shù) 即可完成證明；第3小問難度較大，進(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化之后產(chǎn)生結(jié)論.

[0，+∞） 上的最小值為0.

（1）求實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍;

（2）設(shè)函數(shù) y=φ（x） 在區(qū)間 D 上的導(dǎo)函數(shù)為 y= '（x），若xφ'（x） 對(duì)任意實(shí)數(shù) x∈D 恒成立，則稱函數(shù) y=φ（x） 在區(qū)間 D 上具有性質(zhì) s

（i）求證：函數(shù) f（x） 在 （0，Λ+∞） 上具有性質(zhì) s ：

（ii）記 ，其中 n∈N^* ，求證：

【解析】（1）由 f（x）=e^x-ax-cosx ， x≥0 ， f（0）= 0， 得 f^′（0）=1-a 令 （20號(hào) sinx?m^′（x）=e^x+cosx≥1+cosx≥0 ，所以當(dāng) x≥0 時(shí)，m^′（x）gt;0 ！ f^′（x） 在 [0，+∞） 上單調(diào)遞增， f^′（x）≥ f^′（0）=1-a ，

① 若 1-a≥0 ，即 a≤1 ， f^′（x）≥1-a≥0 ， f（x） 在[0， +∞ ）上單調(diào)遞增，所以 f（x） 在 [0，+∞） 上的最小值為 f（0）=0 ，符合題意.

② 若 1-alt;0 ，即 agt;1 ，此時(shí) f（0）=1-alt;0

，又函數(shù)f^′（x） 在[0， +∞ ）上的圖像不間斷，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在 ，使得 f^′（x）=0 且當(dāng) 時(shí)， f^′（x）lt;0 ， f（x） 在（0， x₀ ）上單調(diào)遞減，所以 f^′（x₀）

綜上所述，實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍是 （-∞，1]

（2）（i）由（1）可知，當(dāng) _xgt;0 時(shí)， f（x）gt;0 ，要證函數(shù) f（x） 在 （0，Φ+∞） 上具有性質(zhì) s

即證：當(dāng) xgt;0 時(shí)， 即證：當(dāng) xgt;0 時(shí)，xf^′（x）-f（x）gt;0 ， g（x）=xf^′（x）-f（x）

xgt;0 ，則 ，所以 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增， g（x）gt;g（0）=0 ，即當(dāng) xgt;0 時(shí)， 得證.

5.結(jié)合新定義問題

例5．已知函數(shù) f（x）=e^x-ax-cosx ，且 f（x） 在

（ii）由（i）得，當(dāng) _xgt;0 時(shí)， （x-1） （ e^x+xsinx+cosx， gt;0 ，所以當(dāng) _xgt;0 時(shí)， （x-1）e^xxgt;x+1 ，其中 xgt;0 其中 x∈（0， 1）

① 令 p（x）=e-x-1 ， xgt;0 ，則 p^′（x）=e^x-1gt;0 ，所 以 p（x） 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增，所以 p（x）gt;p（0）=

0，即當(dāng) _xgt;0 時(shí)， e^xgt;x+1 元

② 令 q（x）=tanx-x ， x∈（0， 1） ，則 gt;0 ，所以 q（x） 在（0，1）上單調(diào)遞增，故 q（x）gt; （2q（0）=0 ，即當(dāng) x∈（0， 1） 時(shí)，

據(jù)不等式 ② 可知，當(dāng) x∈（0， 1） 時(shí)， （x-1）e^xlt; ，所以當(dāng) x∈（0， 1） 時(shí)，sinxgt; 結(jié)合不等式 ① 可得，當(dāng) x∈（0， 1） 時(shí)， 所以當(dāng) （20 x∈（0， 1） 時(shí)， 于是當(dāng) n≥2 有 所以 又 所以

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)最值求參，導(dǎo)數(shù)的新定義問題，利用導(dǎo)數(shù)解不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立與存在性問題、函數(shù)零點(diǎn)，屬于綜合題，難度較大.

專項(xiàng)練習(xí)：

1．已知函數(shù) f（x）=ax-sinx ，

（1）當(dāng) 時(shí)，討論 f（x） 的單調(diào)性;（2）若 f（x） 有兩個(gè)極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為 M ！ ?_m ，證明： M-mlt;2 2．已知函數(shù) f（x）=e^x-aln（x+1） ， g（x）=sinx-x ，

其中 a∈R.

（1）證明：當(dāng) x∈[0，+∞） 時(shí)， ：（2）若 xgt;0 時(shí)， f（x） 有極小值，求實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍；（3）對(duì)任意的 ， 2f（x）≥g^′（x）+2 恒成立，求實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍.

參考答案：

1.（1）當(dāng) 時(shí)， f（x） 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減;（2）M-m=（ax₁-sinx₁）-（ax₂-sinx₂） ，得 M-m= 2x₁cosx₁-2sinx₁ ．設(shè) h（x₁）=M-m=2x₁cosx₁-2sinx₁ 則 h（x₁） 在 上單調(diào)遞減，所以 h（x₁）lt; ，因此有 M-mlt;2 2.（1）略;（2）由 f（x）=e^x-aln（x+1） ， xgt;0 ，得實(shí)數(shù) Ω_a 的取值范圍為 （1，+∞） ·（3）令 （x+1） （2號(hào)-cos x-1 ， ，得實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍為 （-∞，1] ：

【作者簡(jiǎn)介：中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，教育部《普通高中新課程數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)》編寫人，主編與參編多本天星教育《試題調(diào)研》；主編學(xué)海導(dǎo)航的《必修四》與《選修2—3》同步教學(xué)輔導(dǎo)資料；主編愛瘋系列2020年與2021年高三一輪、二輪復(fù)習(xí)用書《高考備考新模式》與《高考數(shù)學(xué)命題揭秘與專題練析》．近年在《數(shù)學(xué)通報(bào)》《中等數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》及《中學(xué)數(shù)學(xué)》等多種雜志發(fā)表論文及中學(xué)生科普讀物一千多篇，多篇被人大資料復(fù)印中心G35《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》全文轉(zhuǎn)載；現(xiàn)任教于】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)