高中數(shù)學素養(yǎng)模型的構建與量化分析：基于核心素養(yǎng)視角的教學改革路徑

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）11-0082-04

中國數(shù)學學科核心素養(yǎng)的建構歷經(jīng)多個發(fā)展階段：自2000年起，初中、高中數(shù)學課程標準首次明確將思維能力、運算能力、空間想象力、解決實際問題的能力、創(chuàng)新意識、良好的個性品質(zhì)及辯證唯物主義世界觀納入數(shù)學素養(yǎng)的框架中，堅持發(fā)展運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力等三大能力；2023年，新課標高中數(shù)學教學大綱愈加注重連續(xù)性、選擇性與接受力，特別突出了數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。隨著新課程改革的不斷深入，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》進一步強化了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的理念，突出了從內(nèi)在修養(yǎng)到外在應用、從基礎能力到綜合發(fā)展的能力結構。

一、高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一根本、兩原則、三要素

高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)構建的本質(zhì)是對學生數(shù)學思維、應用能力與人文素養(yǎng)的系統(tǒng)培育，從深層次塑造學生的綜合素質(zhì)，進而賦能其在未來社會中的持續(xù)發(fā)展。

（一）圍繞一個根本

在高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)體系中，“一個根本”指的是立德樹人，這是教育的根本任務，也是數(shù)學課程的核心目標。立德樹人不僅是數(shù)學教育的出發(fā)點，更是其歸宿。數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提出，正是為了落實這一根本任務，通過學科教學培養(yǎng)學生正確的價值觀、必備品格和關鍵能力。數(shù)學不僅僅是一種工具性知識，它還以邏輯性、抽象性與系統(tǒng)性，深刻塑造學生的思維方式與人格品質(zhì)。立德樹人的根本在于通過數(shù)學教育強化學生對“真理”的執(zhí)著追求及對“正義”的理性思辨。數(shù)學思維的本質(zhì)要求學生在解答每一個問題時，能夠依據(jù)嚴格的推理步驟和規(guī)范的邏輯規(guī)則進行判斷，既培養(yǎng)學生的自律性、專注性等內(nèi)在美德，又通過實踐糾正錯誤與完善知識體系，契合教育本體的根本價值取向。

（二）堅守兩大原則

高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的兩大原則一是掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，二是設計并實施合理的教學活動。以函數(shù)教學為例，根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》），課程體系主要圍繞三個主題展開，其中之一便是函數(shù)。然而，函數(shù)教學的難點在于學生在初中階段已經(jīng)接觸過函數(shù)概念，且通常是通過變量之間的關系來理解的。但在高中階段，函數(shù)概念是通過更加嚴謹?shù)膶P系來重新定義。這一轉(zhuǎn)變的必要性何在？為何要進行重新定義？主要是因為舊版數(shù)學教材往往忽視了這一問題，教師在教學過程中也未能給予充分的解釋，導致學生產(chǎn)生誤解，認為函數(shù)存在兩種不同的定義，并且它們是獨立的、需要機械記憶的。比如有函數(shù) f（ρ_x）=sin²x+cos²x 與 ，前者與后者雖表達式不同，但仍應視為同一函數(shù)，學生應更加清晰地理解函數(shù)作為映射的本質(zhì)，認識到函數(shù)研究的根本在于其定義域及映射規(guī)則的明確性。

（三）落實三大要素

《課程標準》提出了“三會”框架作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的理論基礎：能運用數(shù)學視角分析與解讀現(xiàn)實世界；具備數(shù)學化思維模式；能用數(shù)學語言表達現(xiàn)實中的抽象關系，以促進數(shù)學抽象與直觀、邏輯推理與演繹運算及數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析等綜合能力的發(fā)展[2]。

一是數(shù)學眼光。所謂數(shù)學眼光，實質(zhì)上是一種數(shù)學化的認知模式，它要求學生從數(shù)學的角度抽象、分析并解決現(xiàn)實問題，從中提取可量化的變量并構建模型，借此揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，其本質(zhì)是“抽象”的理性認識。A.JI.亞歷山大洛夫（Pavel SergeevichAleksandrov）曾指出：“在數(shù)學運算中，抽象性早已顯現(xiàn)。我們所用的數(shù)字，往往不與具體對象直接關聯(lián)。在基礎教學中，我們學習的乘法表并非針對實際物品數(shù)量或價格的操作。3]\"抽象思維作為認知過程的高級形式，強調(diào)通過符號化、抽象化的手段來處理非具象的復雜問題。在這一過程中，學生個體既要掌握數(shù)學工具的具體運用，又要能夠?qū)?shù)學模型背后的理論邏輯進行系統(tǒng)推演。同樣地，幾何學的研究對象是純粹的直線，而非具體的物理物體。在幾何的抽象中，除了保留方向性延展的屬性，其他一切具象特性都被剔除。由此，抽象過程首先保存的是量的關系與空間形式，進而擴展到定義式的抽象、邏輯推演中的抽象及結構模型中的抽象等多種樣態(tài)。

二是數(shù)學思維。數(shù)學思維的本質(zhì)在于概念剝離與邏輯推理。數(shù)學體系的建構始于對具象存在的數(shù)理抽繹，通過概念化操作凝練出形式化對象，依托公理化架構，借助符號操演、命題推演及模型泛化等數(shù)理方法，系統(tǒng)揭示客觀實體的內(nèi)在規(guī)定性、關聯(lián)法則及演化規(guī)律。所謂邏輯推理，則為由若干前提或公理出發(fā)，依特定規(guī)則進行的推導與驗證過程。正是這種概念剝離與邏輯推理的思維范式，造就了數(shù)學學科的普適性特征。

三是數(shù)學語言。作為數(shù)學思維的具象載體，它以集合論為基礎構建概念網(wǎng)絡，通過命題邏輯搭建判斷體系：統(tǒng)整代數(shù)符號、幾何圖形與運算記號，并深度求索函數(shù)模型、空間關系與概率分布等知識體系。

二、素養(yǎng)模型建構之數(shù)學認知的要素解構與系統(tǒng)集成

數(shù)學素養(yǎng)模型的構建，關鍵在于對數(shù)學認知要素的深刻解構與系統(tǒng)集成，以推動學生從被動接收知識向主動建構知識體系轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)思維的深度拓展與跨領域應用能力的增強。

（一）強調(diào)數(shù)學抽象結構，構筑普遍性、可遷移的解題模式

數(shù)學化過程需平衡直觀想象與符號演算，診斷學生認知斷層，進而設計具有較強針對性的干預對策。抽象結構強調(diào)的是對象與其性質(zhì)、關系或運算規(guī)則的內(nèi)在統(tǒng)一。因此，數(shù)學對象的本質(zhì)并不在于其表面形式，而在于其所承載的內(nèi)在結構和相互關聯(lián)。

真正意義上的解題方法應當是宏觀的、具有普遍性且可遷移的解題模式，要求學生將已學概念、原理和知識進行再構建，建立新規(guī)則、創(chuàng)造新概念、發(fā)現(xiàn)新原理，以匹配所創(chuàng)設的情境信息，進而解決問題。在高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向下，實施基于真情境的深度教學應遵循以下實踐框架：第一，篩選具有數(shù)學建模價值的現(xiàn)實素材（如根據(jù)社區(qū)垃圾分類數(shù)據(jù)構建統(tǒng)計分布模型、共享單車停放點優(yōu)化分析幾何覆蓋問題）；第二，解構教材知識點與情境的映射關系（如利用商品折扣策略設計分段函數(shù)應用題、通過運動軌跡分析重構拋物線方程）；第三，設計梯度式問題鏈（基礎層：變量關系提取 $$ 進階層：數(shù)學工具選擇 $$ 拓展層：模型誤差修正）；第四，引導學生反思建模過程與學科本質(zhì)關聯(lián)（如概率問題中樣本空間建構與隨機思想滲透）。此模式需緊扣新課標六大主題，重點在函數(shù)、幾何與概率統(tǒng)計模塊中，通過情境驅(qū)動學生經(jīng)歷“數(shù)學抽象一邏輯推理一數(shù)學運算一數(shù)據(jù)分析”的完整思維閉環(huán)，最終實現(xiàn)知識網(wǎng)絡結構化與解決實際問題能力的協(xié)同發(fā)展。

（二）建構三階段結構模型與權重配比，進行“逆向\"教學設計

權重配比機制需遵循學生認知發(fā)展規(guī)律。一是新知建構階段。側重知識理解（權重 30% ），通過概念變式教學夯實認知基礎。二是綜合應用階段。加大實踐創(chuàng)新占比（權重 30% ），設計真實數(shù)據(jù)建模任務。三是思維升華階段。強化思維品質(zhì)主導（權重40% ），設計開放性論證任務。高中數(shù)學內(nèi)容的“逆向設計”是一種基于教育目標倒推教學結構的設計思維，其核心在于通過明確的預期成果，特別是學生在學科知識、能力與素養(yǎng)方面的最終達成，反向推導出教學活動的組織框架與評估機制。教師通過逆向單元教學設計框架，構建數(shù)學教學案例。如以人教版高中數(shù)學必修1《三角函數(shù)的概念》單元為研究對象，具體步驟如下：一是內(nèi)容重組與單元結構規(guī)劃。學生通過單位圓的視角理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，能夠熟練進行弧度與角度之間的轉(zhuǎn)換，并理解弧度制引入的必要性。二是依照《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》進行教學設計。根據(jù)學生的認知起點與思維發(fā)展特性，深入分析教學內(nèi)容的層級結構、所蘊含的數(shù)學思想方法和關鍵教學重難點，厘清各知識點間的層級關系及內(nèi)在邏輯，并對不同版本教材在概念引導、情境創(chuàng)設、習題設計等方面的差異進行比對與解讀。三是確立適當?shù)脑u價框架。設計表現(xiàn)性任務、課堂討論環(huán)節(jié)、學術探究、檢測及課后反饋等，作為評估學生學習達成度的核心證據(jù)，并從逆向設計的角度審視評價方案，確認其是否充分覆蓋第一步所確定的全部目標。

（三）以“大概念”為生長點，構筑生成式的學科認知圖譜

傳統(tǒng)數(shù)學教學模式往往將認知焦點聚焦于離散態(tài)知識單元一一如公理符號系統(tǒng)、運算程式定理等靜態(tài)要素的機械傳輸，背離學科核心素養(yǎng)對結構化知識模塊的整合訴求。數(shù)學學科大概念作為學科認知體系的結構性樞紐，具有中心性、持久性、網(wǎng)狀性與遷移性等基本特征。這一概念范式標志著認知理論從實體主義向生成性知識觀的范式轉(zhuǎn)型。在高中數(shù)學知識體系建構中，以大概念為認知根系實施結構化教學，需遵循“三維錨定法”：一是縱向貫通學科核心脈絡，提煉具有高階解釋力的元概念；二是橫向整合跨領域思維范式（如概率思想與幾何概型的公理化聯(lián)結），構建概念間的超圖聯(lián)結網(wǎng)絡；三是深度滲透學科認知邏輯，通過典型問題驅(qū)動學生經(jīng)歷“具體案例 $$ 抽象模型 $$ 本質(zhì)規(guī)律 $$ 遷移創(chuàng)新”的認知過程，最終形成以核心概念為樞紐、以思想方法為紐帶、以問題解決為出口的立體化知識架構，實現(xiàn)從零散知識點記憶到學科思維范式養(yǎng)成的質(zhì)變。

三、量化分析體系之核心素養(yǎng)三階測量范式及落實措施

量化分析體系的構建，根本上依賴于層次化、遞進式的核心素養(yǎng)三階測量范式，以系統(tǒng)評估學生在數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展過程中的各個階段進展。

（一）根植于必修與選修課程結構，拆解學科素養(yǎng)行為指標

高中數(shù)學課程體系設定了必修課程、選擇性必修課程與選修課程，分別對應8學分、6學分和6學分。必修課程是每名學生完成高中學業(yè)的基本要求，選擇性必修課程與必修課程共同構成等級性考試（即高考）的考查范圍；選修Ⅱ課程則為學校根據(jù)自身實際情況設定，并由學生自主選擇。在這樣的課程體系中，課程設計遵循四大原則：一是為學生未來學術發(fā)展提供方向性引領；二是為學生數(shù)學能力的展現(xiàn)提供平臺；三是為激發(fā)數(shù)學興趣提供多元選擇；四是為大學自主招生提供有效的參考標準[4]。基于高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求，素養(yǎng)行為指標的顯性化拆解可歸納為兩個主要方面：數(shù)學建模和數(shù)學運算。數(shù)學建模拆解為“問題表征完整性、變量關系合理性、模型驗證嚴謹性”，而數(shù)學運算拆解為“算法選擇適切性、符號操作規(guī)范性、復雜情境遷移性”等多重要素。數(shù)學建模為數(shù)學運算提供意義錨點，數(shù)學運算則為數(shù)學建模奠定邏輯根基。二者通過“現(xiàn)實抽象 $$ 模型構建 $$ 運算推演 $$ 實證反饋”的閉環(huán)鏈路，推動學生從習得工具性技能向?qū)W科思維進階的本質(zhì)躍進。

（二）立體化采集教學數(shù)據(jù)，落實教學環(huán)節(jié)探源性、形成性

在高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)框架下，教學過程的數(shù)據(jù)立體化采集包括課堂實錄分析、作業(yè)表現(xiàn)追蹤和測試診斷工具等三個關鍵環(huán)節(jié)。如在教學人教版高中數(shù)學必修一“對數(shù)”一課時，學生普遍反映對數(shù)較為抽象，易犯“積的對數(shù)等于對數(shù)的積”的錯誤。秉持核心素養(yǎng)理念，筆者立足于學生的認知結構進行課程再設計。

一是素養(yǎng)目標。通過天文學計算案例建立對數(shù)概念的雙向映射關系；構建噪聲污染、地震預測等現(xiàn)實問題的對數(shù)模型；辨析對數(shù)運算的適用范圍與常見誤區(qū)。

二是教學過程設計。 ① 概念形成（ 15^′ ）。展示1614年納皮爾手稿片段，重現(xiàn)航海家計算星距時面臨的指數(shù)計算困境，思考如何將 10³×10⁵=10⁸ 這類特殊規(guī)律推廣到任意數(shù)相乘？ ② 本質(zhì)探究。指數(shù)方程： 10^x=1 000x=3 ；對數(shù)定義： x=log₁₀1000 ；特殊方程： 10^x=2 000?x≈3.301 0 （引入對數(shù)的必要性）。③ 建模應用（ 20^′ ）。案例1：噪聲治理模型。給定公式 L=10log₁₀（I/I₀） ，分析不同區(qū)域噪聲強度變化。當噪聲源強度增加10倍時，分貝值僅增加10dB34，學生分組計算隔音墻建設方案中的對數(shù)衰減。案例2：地震數(shù)據(jù)解析。解讀里氏震級公式 ?M=log₁₀A-log₁₀A₀ 已知9級地震釋放能量是8級地震釋放能量的31.6倍（ 10^1.5≈31.6 ），利用對數(shù)刻度解讀地震監(jiān)測報告。 ④ 思維深化（ 10^′"）。辨析命題的正誤 ：log（a+b）=loga+logb.

三是素養(yǎng)評價。一方面是數(shù)學抽象與概念建構評價。為了加深學生對對數(shù)概念的具象化理解，教師通過指數(shù)與對數(shù)的雙向互化案例幫助學生建立“對數(shù)作為指數(shù)逆運算”的數(shù)學本質(zhì)認知。另一方面是邏輯推理與思維進階評價。教師引導學生從指數(shù)律""自主推導對數(shù)運算性質(zhì)""log_aM+log_bN） 。

四是設計創(chuàng)新點。一方面構筑了歷史認知軸線，貫穿對數(shù)發(fā)展史中的三次數(shù)學突破；另一方面是進行了反刻板化訓練，突破對數(shù)作為計算工具的局限認知，構建數(shù)學語言體系。

（三）兼顧內(nèi)隱與外顯指向，診斷性評價學生的素養(yǎng)發(fā)展層級

數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)可追溯至兩個層面：一為目標導向的螺旋進階，從外顯目標到內(nèi)隱目標的深層轉(zhuǎn)化。二為層次遞進的直線過程，從基礎數(shù)學知識的積累，到解決問題過程的演繹，再到數(shù)學思維模式的完善。從橫向來看，外顯目標與內(nèi)隱目標之間的關系可視為一種同構，促使數(shù)學知識體系的有機連接，形成系統(tǒng)化的目標網(wǎng)，從而推動思維品質(zhì)的提升。于縱向而言，隨著學科知識的深化與問題解決能力的提升，學生在數(shù)學思維的生成過程中逐步形成清晰的認知框架：陳述性知識作為基石，程序性知識構成生成的媒介，而過程性知識則營造了思維發(fā)展的環(huán)境，三者共同推動學生學科思維品質(zhì)的建設。在這個過程中，診斷性評價學生的素養(yǎng)發(fā)展層級可設計階梯式任務。基礎題評估運算規(guī)則掌握情況，變式題檢驗邏輯遷移能力，開放題考查建模思想的應用深度。教師要通過分析學生的錯誤類型來定位素養(yǎng)薄弱點，以更精準、更快速地進行施教。

當然，目前高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)構建過程亦存在一些不足。一是現(xiàn)行的課程體系和評價體系多聚焦于外顯的知識掌握，未能打破“題海戰(zhàn)術”與“應試教育”的局限；二是缺乏跨學科、跨層次的邏輯關聯(lián)，導致學生未能在更高階的數(shù)學思維中建立內(nèi)在的認知結構與聯(lián)系網(wǎng)絡。因此，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的構建，需要從本質(zhì)上對教育目的、教學模式、評價體系及教師能力等方面進行深刻反思與重塑，真正促進學生的全面發(fā)展與深層次的思維變革。

參考文獻

[1]孫名符，謝海燕.新高中數(shù)學課程標準與原教學大綱的比較研究[J].數(shù)學教育學報，2004（1）：63-66.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3A.Ⅱ.亞歷山大洛夫等著.數(shù)學：它的內(nèi)容、方法和意義（第一卷）M].孫小禮，譯.北京：科學出版社，2012：1-69.

[4史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數(shù)學教育中的數(shù)學學科核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017，37（4）：8-14.

（責編 林劍）