論學科核心知識的意蘊與價值

發展學生核心素養是新時代追求高質量教學目標的體現，其一般載體是學科課程內容.學科課程擔負著發展學科核心素養的天職，發展學生的核心素養必然通過發展學科核心素養來實現.1859年，英國學者斯賓塞（H.Spencer）提出了“什么知識最有價值\"的著名命題，其核心素養之問是“什么知識最有利于發展學生核心素養”.學科課程的知識內容已有高中數學課程標準保障，但是找到最能發展核心素養的學科知識很大程度取決于教師是否能把握知識之間的橫縱向聯系、超范圍聯系、跨領域聯系.

在現實教學中，許多教師囿于應試教育而進行高強度的刷題訓練，而忽視了建構知識之間的內在聯系.對于有經驗的老師，雖然能把握住知識的聯系，但是缺乏先進的教學理論知識，難以將知識之間的聯系很好地呈現在學生面前.盡管已經有許多關于核心素養、學科知識方面的研究[1][2][3]，但這些研究多集中于核心素養和學科知識及其轉化等方面，缺乏直接探索核心素養與學科知識關系的研究.因此，要想最大限度發展學生核心素養，就要從核心素養的學科核心知識載體出發，研究如何從數學學科課程內容中找到最有利于發展學生核心素養的學科知識，即學科核心知識.學科課程普遍通過學科知識，特別是學科核心知識發展學科核心素養，那么，學科核心知識到底是怎樣的呢？它是如何構成的？怎么找到它？有何意義價值？本文以“復數\"單元內容為例，在這方面進行初步探索.

1內涵與構成：學科核心知識是核心素養時代 最有價值的知識

核心素養作為教育理論和實踐領域的一大熱點，是中國乃至全世界各國教育改革和發展的重要方向.它揭示了應試教育的缺陷一過度的知識教育壓抑了學生學習的興趣，一定程度上泯滅了學生想象力和創造力.不同于一般意義的“素養\"概念，“核心素養”是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習應達成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.[4]

教師作為數學教育工作者，應時刻關注教育的整體發展，并緊緊跟隨國家政策，以數學課程內容為載體落實核心素養的發展.數學核心素養作為學科核心素養，強調知識之間的連續性、階段性和整合性，打破傳統意義上的代數、幾何等學科分支，追求整合教學內容的知識綜合化和實踐導向的教學模式.相較于通常的“數學素養”，數學核心素養所要求的更廣泛的教育視角，是學生在接受教育過程中，逐步形成的具備數學本質特征而適應個人終身發展和社會發展需要的關鍵能力與必備品格.換言之，數學核心素養不僅存在外顯能力還存在內在思維品質，最終潛移默化地留在學生身上.[5]

如何將數學核心素養落實到數學教學中至關重要.核心素養的養成離不開知識，知識學習離不開學科，需要通過學科發展學生的核心素養，學生的核心素養形成于學科學習之中.因此，應通過學科課程學習學科知識從而發展學生的核心素養，“什么知識最有價值\"的核心素養之問是“什么知識最有利于發展學生核心素養”.自然想到的是，學科核心知識是最利于發展學生核心素養的知識，學科核心素養主要通過學科核心知識發展.學科核心知識是最能體現學科育人價值的知識，是所處領域知識發展的中心和必經之處.學科核心知識既包括反映所在領域本質的結果性知識，也包括關鍵環節的過程性知識.

學科核心知識與學科核心素養的關系決定了它與學科實踐的密切關系，作為高級能力的學科核心素養由兩個相互聯系、內在統一的核心構成，即學科知識與學科實踐[，前者即為作為結果的學科核心知識，后者即為學生通過學習發展核心素養必經且必不可少的關鍵環節，是學生“再認識\"的過程，是那些對學生的發展發揮關鍵作用的、有意義的環節，是需要教師通過教學法加工進行邏輯的、結構的、系統的、有目的的建構并在課堂教學中展開的過程.這樣的過程正是學生個體認識應有的過程，即學生應經歷的學科實踐

在“復數”單元中，其學科核心知識，都與數學史和類比思想方法密切相關，這可以從教材中看出來，無論是人教版、蘇教版、北師大版的教材，都將數學史作為閱讀材料，幫助學生理解復數的概念，可見，本單元的學科核心知識必與復數的數學史有關.“復數\"單元的學科核心知識必與復數的發展歷程及其幾何意義密切相關.復數的發展歷程，緊密聯系著數系擴充史，突顯出復數概念及其運算的重要性；復數的幾何意義，貫穿整條復數知識線，是教學過程中的重點與難點，并且復數幾何意義是將“知識”與“生活\"融合的橋梁，以此提高學生在生活實踐中運用知識的能力.因此具體到復數，其結果性知識是作為“二元數\"的復數概念及其運算，學習時應重視調取相關知識經驗；其過程性知識是復數運算意義的構建和幾何意義的完善優化，學習時應著眼經歷體驗數系擴充和直觀解釋，不斷構建表征以反思認識本質，突顯學生發現知識的過程.由此可見，學科核心知識融合了結果性知識和過程性知識的精華，引導學生能夠通過有目的的活動實踐融入社會歷史實踐，形成學科核心素養.

2方法與策略：學科核心知識的探索與確定

學科核心知識來源于發展學科核心素養的現實需求，它的確定一般經歷發生學視角的感悟、從知識線索中找出、從教材素材中確認的過程，它一般散落混雜于學科基礎知識之中.下面以“復數”單元中學科核心知識的結果性知識和過程性知識的確定為例加以說明.

2.1發生學視角的感悟

發生學視角即從知識發生學視角的感悟得出數學學科核心知識.8教學的發生學原理告訴我們，在教一個科學的分支（或一個理論，一個概念）時，應當讓孩子重蹈人類思維發展中的那些關鍵性步子而不應當讓他重蹈過去的無數個錯誤.9發生學視角包括數學史和教育數學開發的視角，前者側重于史實發展，后者需要創新性開發.復數的教學可以借鑒發生法教學的理念，通過追溯概念發生的源頭，厘清概念產生的機理，尋找其中的學科核心素養知識.

數學史的視角著眼于運算.通過數學史可以幫助學生建立完整復數概念.歷史材料的直接應用，從數學史出發，運用類比法生成復數的概念，同時類比負數產生機理完成數系的擴充，并對其進行分類，討論復數相等的充要條件，最后再回歸到復數的幾何意義，引出復數的四則運算.并以此形成數學史中的知識發展線（如圖1）.數學史通過復數的幾何意義貫穿整條知識線，只有在這個過程中，學生才可能感受到人類歷史實踐不斷向前發展的動力和需要、才可能進人人類歷史發展的軌道.

教育數學開發的視角.以幾何意義為線索貫穿始終，借助于 +1 與一1或旋轉180度，兩次旋轉可以清晰建立起實數的幾何意義（如圖2），然后將思路類比到虛數i.方程 x²=-1 的一個根即為 x=i ，那么一1就可以看成是 -1=i²=i×i ，幫助學生更好地理解虛數的概念及其幾何意義.[10]

總之，通過數學史的探索，引導學生成為推動歷史發展的主體，主動探索知識的發展歷程，從而學習到學科核心知識中的過程性知識.發生學教學使得普通的知識具有文化意蘊，讓知識在教學中不僅滲透思想教育、道德教育，而且與能力提高、境界提升、高級情感以及正確價值觀的養成緊密聯系了起來.

2.2從知識線索中找出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課標”通過方程的解來進行引人，并通過這一章的學習發展學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學學科核心素養.課標為教材的編寫指明了方向，但各版本的教材有各自的特點，為了能找出適合的知識線索，可以通過對比法.利用對比的思路，分析不同教材對于知識線安排的聯系與區別（見表1）.

通過3個版本教材的對比，可清晰地理出知識線：首先，要找到所學知識是哪些，以復數為例，根據課標中所要求的是復數的概念、復數的運算以及復數的三角表示；接著，要找到與這些知識相匹配的數學史或者數學機理，與之匹配復數相關的數學史，有方程求解問題的提出、負數產生的機理等；最后，通過情境創設、類比推理等方式，將知識點聯系到一起.由此，最適合的知識線索應該是北師大版本（如圖3）.

復數作為反映數學抽象性的典型內容，其來源于數系擴充，豐富于幾何意義.因此，可先將復數產生歸結為代數和幾何的雙線模式，然后融于三角中.在代數上，復數是一類重要的運算對象，有著廣泛的運用；在幾何上，復數形的旋轉和角的變化的重要性更是不言而喻.通過知識線索的梳理，找出復數中的學科核心知識，引導學生高度關注聚焦，刺激學生學習的注意力，更有利于掌握學科核心知識中的結果性知識.

2.3從教材素材中確認

教材中的知識素材即教學素材是“學科內容\"的載體，“學科內容”是應用“教學素材”去教的東西.就教學素材本身而言，它是連接課標、課外練習材料和評價學生的重要資源.教材素材的選擇具有豐富性，其呈現的方式也具有多樣性，同時對教師和學生都發揮著重要作用，即教材處于多種教育要素的鏈接點上.[11]教材素材的選取，既要考慮學生的知識基礎，在學生的最近發展區之內，又要考慮精準體現知識的特點.這些素材可以將理論知識應用于實踐中，從而使學生更深人地理解所學知識.這種“做中學”的方式有助于將抽象的概念具體化，使學習更加生動和有效.素材的呈現形式多樣，如生活素材、問題素材、探究素材等.在“復數”單元的課程內容中，常見以下素材形式.

素材1（問題素材）已知兩數的和為10及兩數積為40，求這兩個數（卡爾丹問題），并在數軸上畫一畫，能找出對應的實數嗎？

素材2（練習素材）已知 2i-3 是關于 x 的方程 2x²+px+c=0 的一個根，求實數 ?，q 的值，并試著探索復數系一元三次方程的求過程.

素材3（生活素材）電路分析中經常使用交流電路，而交流電路中的電壓和電流可以表示為復數形式.通過復數的相位表示，我們可以更方便地計算電路的參數和響應.那請問復數為什么能同時表示電壓和電流呢？

素材4（問題素材）在復平面內，設復數 Z₁= 1+i，Z₂=Z₁×i，Z₃=Z₁×i² ，它們分布對應的向量為 如何直觀的理解 ， 之間的位置關系呢？

素材5（探究素材） 證明： ∣Z₁?Z₂∣=∣Z₁∣ · （204號 并試著探索證明 |Zⁿ|=|Z|ⁿ 比較以上素材，可得到相關線索（如圖4）.

通過上述“復數”單元中的教學素材分析，可以確認其學科核心知識的結果性部分扎根于來源，終結于本質，著眼于思維經濟性問題解決的應用；其過程性部分聚焦在復數概念內建構關鍵環節的精致化建構過程.學習時通過反思認識本質，通過必要經歷來源構建表征.因此，利用教材素材教學，既可以反思知識的本質，又可以構建知識與生活來源之間的聯系，當知識與學生所熟悉的生活背景和現實經驗相關聯，學生才會從內心深處渴望學習數學，從而形成從更高的維度俯瞰生活的能力，以幫助學生學習學科核心知識.

3意義與價值：學科核心知識具有促進學科核心素養落地的多元價值

學科核心知識是學科核心素養落地的重要支撐，也是學科核心素養發展的重要抓手，它與大概念、學科實踐、跨學科主題學習等方面具有密切的關系.

第一，學科核心知識可以確定大概念.學科核心知識是可能的知識單元大概念或者形成知識單元大概念的必要基礎.復數中的大概念是數，而數主要來自數量的抽象或圖形與圖形之間關系的抽象，復數產生的代數來源和幾何來源恰好說明了這一點.

第二，學科核心知識是在現象學層面的有利于核心素養落地的重要抓手.學科核心知識是可操作化的抓手，可以作為教師教學的重點，學生的學科知識應以此為基礎，滾雪球式地將知識線索化、網絡化和體系化.

第三，學科核心知識是正確價值觀的重要載體.知識是文化的一種呈現形式，學科核心知識更是文化中的精華.以復數為例，復數數系的擴充是數學歷史發展的重要轉折點，是數學家們的經驗總結與歸納，將其作為一種優質的教學資源，融入學生的價值觀培養中，能夠在豐富學生知識視野的同時，幫助他們樹立正確的價值觀.

第四，學科核心知識是培養必備品格的重要途徑.學科核心知識的學習往往伴隨著批判性思維的培養.學生需要分析、評估信息，提出自己的見解，這有助于他們形成獨立思考、不盲目從眾的品格.學科核心知識更是跨學科主題學習的邊界和是否跨出的判斷標準，學生能夠接觸到不同文化、不同時代的思想精華，從而培養開放、包容、尊重多元文化的品格.

第五，學科核心知識是發展關鍵能力的重中之重.學科核心知識是學科實踐的核心聚焦，學科實踐是新質生產力賦能教育的重要途徑.學科實踐是教育、科技和人才的融匯點.學科實踐的核心聚焦，是大概念的支撐，它在學科課程標準鏈條上的位置是“學科核心素養一學科實踐一學科大概念一學科核心知識一課程內容要求知識”.利用學科核心知識，將知識與社會生活緊密聯系，促使學生更好地適應社會，培養關鍵能力.

4結語

在數學學科教學中重點培育學生的核心素養，關鍵在于對學科知識的凝練，即在教學中凝練出學科核心知識.本文以“復數”單元為例，從發生學視角、知識線索和教材素材三個角度，對學科核心知識進行了初步探索.學科核心知識的意蘊，在于探索出知識的本質，幫助教師更好地教、學生更好地學，從而打造有深度、有溫度、有內涵的數學課堂，引導學生內化于心、外化于研，求是探索、知行合一.只有這樣，學生的核心素養才能得以更好地發展.

參考文獻

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[11]鄭慶全，肖博.如何讀透教材？一以蘇教版“函數單調性（第一課時）”為例[J].數學之友，2024（17）：8-13.