復數三角形式視角下的數學創新題探究

1背景介紹

如圖1，復數 bi（a，b∈R） 可用點Z（a，b） 表示，該對應表明，在復平面內，每一個復數有唯一的一個點和它對應，反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.此外，任何一個復數 z=a+bi 都可以表示成r（cosθ + isinθ）的形式，即{α= rcosθ， 其中 r lb = rsinθ，為復數 z 的模， θ 叫做復數 z 的輻角，且規定 0?θlt; 2π 范圍內的輻角 θ 的值為輻角的主值，記作argz.r（cosθ+isinθ） ）叫做復數 z=a+bi 的三角形式，其中 rgt;0，n∈N^*

圖1

設 isinθ₂ ），則由復數的乘法法則及兩角和的正弦、余弦公式得 .進一步，若 z₁=r₁（cosθ₁+isinθ₁， ） +（20 isinθ₂），…，z_n=r_n（cosθ_n+isinθ_n） ，則 z₁z₂…z_n= （204號 .特別地，如 isinθ ，則 即復數的 n（n∈N^*） 次冪的模等于這個復數的模的 n 次冪，它的輻角等于復數的輻角的 n 倍，這個結論叫叫棣莫弗定理.該部分在新教材中位于人教 A 版數學必修第二冊第七章7.3節（ P83） 以星號選學內容的形式給出了復數的三角形貌.

2 典例分析

隨著創新試題研究的進一步發展，該部分內容也成為了關注的熱點，例如長沙雅禮中學25屆高三月考 （-）T19 第19題，是一道以復數三角形式為背景的數學創新試題，具體如下：

題目（1）已知 ，求

zw+zw³ 的三角形式；（2）已知 θ₀ 為定值， 0≤θ₀≤π ，將復數 1+cosθ₀+

isinθ₀ 化為三角形式；（3）設復平面上單位圓內接正二十邊形的20

個頂點對應的復數依次為 z₁，z₂，…，z₂₀ ，求復數 z₁²⁰²⁴

z₂²⁰²⁴，…，z₂₀²⁰²⁴ 所對應不同點的個數.解 （1）zw + zw3 一 （20 zw（1+w²）= （204號

（+）+（

（3）正二十邊形每邊所對的中心角為 20，設

z₁=cosθ+isinθ（θ 為常數），則 z_k=（cosθ+isinθ） （ 20，所以 （cos2024 ·

（20 號 由周期性可知， z_k²⁰²⁴ 共有5個不同的值，故復數 z₁²⁰²⁴ ， z₂²⁰²⁴ z₂₀²⁰²⁴ 所對應不同點的個數為5.

3 拓展訓練

例1 試利用第1節所介紹的知識解決以下問題

（1）試將 寫成三角形式;（2）試應用復數乘方公式推導三倍角公式：sin3θ= 3sinθ-4sin³θ，cos3θ= 4cos³θ-3cosθ （3）記 Z³=1=cos0+isin0 ，由棣莫弗定理得 isinO，從而得 ，我們稱復數 為1在復數域內的三次方根.若 X_i（i=1，2，3，4，5 6）為64在復數域內的6次方根.求 ∣X_i-X_j 取值構成的集合，其中 i≠j，i，j∈{1，2，3，4，5，6}

解析 （204號 （2）設模為1的復數為 z=cosθ+isinθ ，則 z³ （204號 3cos0） +i（3sinθ-4sin³θ） .另一方面， z³=cos3θ+ isin30’故 sin3θ=3sinθ-4sin³θ;cos3θ=4cos³θ- 3cos0

（3）記 Z⁶= 64= 64（cos0+isin0）， ，由棣莫弗定理得 64（cos0+isin0 ），從而得

所以64在復數域內的6次方根為

設 ，其中 i，j∈{1，2 ³，4，5，6} ，代人計算可得 ，即∣X_i-X_j∣ 取值構成的集合為

例2（24屆深圳中學預測卷T19）根據代數基本定理，給定正整數 n ，方程 zⁿ=1 有 n 個復數根，分別是 根稱為 n 次單位根，此時有 zⁿ -1=（z-z₁）（z-z₂）…（z-z_n）. （20

當 k 與 n 互質時， z_k 稱為 n 次本原單位根. n 次本原單位根的另一個等價定義是，若 aⁿ=1 ，且不存在小于 n 的正整數 m 使得 a^m=1 ，則稱復數 Δ_a 為 n 次本原單位根.給定正整數 n ，我們定義 n 級分圓多項式 ，其中 ε₁ ，ε₂，…-ε_t 是全部 n 次本原單位根.

（1）寫出 C₂（x），C₃（x），C₆（x） ，并化簡

（2）若 p 是負數（或稱素數），求出 C_p（x） 并化成最簡形式.

（3）探究是否存在正整數 ^q，r 和 s 使得 C_q（x） ≡C_r（x）C_s（x） 對任意復數 x 恒成立.

解析

當 n=6 時，與6互質且小于等于6的正整數只有1和5，從而

（2）當 p 是負數時，與 p 互質且小于等于 p 的正整數有 1，2，…，p-1 ，只有 p 與自己不互質.根據分圓多項式的定義有 C_p（x）=（x-z₁）（x-z₂）…（x- z_p-1 ），其中 2pΠ=1.由題意得x-1 =（x-z）（x-2）…（x-zp），從而C（x）=2-1 （20

（3）不存在.（反證法）假設存在整數 q，r 和 s 使得 C₉（x）≡C_r（x）C_s（x） 對任意復數 x 恒成立.

若 α_a 為 q 次本原單位根，則 a^q= 1 且 C₉（a）= 0，從而有 C_r（a）C_s（a）=C₉（a）= 0

若 ，則 ，則存在 1≤ssgtr≤k 使得 a-ε_j=0 ！即 a=ε_f 成立從而 a 為 r 次本原單位根， a^r= 1

根據本原單位根的等價定義，此時必有 r=q ，否則可導出矛盾.這時我們有 C₀（x）≡C_r（x） .因此C_s（x）≡1 ，但這是不可能的.同理若 C_s（a）=0 ，我們也可以得出矛盾.從而不存在正整數 ^q，r 和 s 使得C_q（x）≡C_r（x）C_s（x） 對任意復數 x 恒成立.

由于復數在高中的要求比較簡單，部分師生可能會認為復數不會考難題，這個觀點需要改變，因此，教師在復習時要有意識地對學生加強復數三角形式知識的復習，這樣一旦考試中遇到這里問題，可以讓學生做到心中有數.