學科核心素養下復數三角形式的教學實踐與思考

課程背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確要求：通過復數的幾何意義，了解復數的三角形式，了解復數的代數表示與三角形式之間的關系，了解復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義[1.依據課程標準，人教A版（2019）教材把復數的三角形式作為選學內容放在了必修第二冊第七章第3節，主要介紹的是復數的三角形式的概念，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義等內容。

復數的三角形式是復數表示形式的一種重要擴展，它將復數表示為模和輻角的組合.一個復數 可以表示為 r（cosθ+isinθ） ，其中r （r?0） 是復數的模（即復平面中原點到復數對應點的距離）， θ 是輻角（即復數在復平面對應的向量與正實軸之間的夾角；若 0?θlt;2π ，則稱 θ 為復數 z 的輻角主值），i是虛數單位.這種表示形式在復數分析中尤為有用，因為它簡化了復數的乘、除運算.

文獻研習

1.歷史發展與演變

復數三角形式的起源可以追溯到18世紀歐拉和棣莫弗的工作．歐拉在其數學著作中引入了復數的指數形式，為復數三角形式的發展奠定了基礎．而棣莫弗則在三角恒等式的研究中，明確提出了復數的三角形式，并為復數運算提供了簡便的方法.隨著數學和物理學的發展，復數的三角形式在多個領域得到了廣泛的應用.

2.各領域中的應用

（1）高等數學中的應用

在數學領域，復數三角形式在復分析、傅里葉分析、調和分析等分支中有著廣泛的應用．尤其是在求解微分方程與積分方程時，復數三角形式可以大大簡化計算過程．此外，當在復數平面上對復數進行幾何解釋時，復數三角形式的獨特優勢也能充分彰顯.

（2）物理與工程中的應用復數三角形式在物理和工程領域同樣占據重要地位.以交流電路分析為例，利用復數三角形式可直觀呈現電壓和電流的相位關系，有效簡化電路分析過程.在量子力學中，復數三角形式用于刻畫波函數的相位與振幅.不僅如此，在信號處理、控制系統分析與設計等諸多工程技術領域，復數三角形式也發揮著不可或缺的作用.

（3）計算機科學中的應用

在計算機科學中，復數三角形式主要應用于數字信號處理、圖象處理、機器學習等領域.例如，在數字信號處理中，復數三角形式可以用來表示信號的頻譜特性，進而實現信號的濾波、調制和解調等操作；在圖象處理中，它用于描述圖象的頻域特性，以此實現圖象的增強、去噪和壓縮等處理；在機器學習中，復數三角形式則用于表征數據的復雜特征，從而提升模型的預測性能和泛化能力，

3.前沿研究與挑戰

當前，復數三角形式的研究主要集中在復分析的新方法、新應用，以及與其他數學分支的交叉研究等方面.其中，復數三角形式在復動力系統、分形理論和復幾何等領域的應用研究尤為活躍.然而，隨著研究的不斷深入，也面臨著一些挑戰，例如復數三角形式在復雜系統建模與分析中的應用，以及復數三角形式計算的穩定性和精度等問題.

素養分析

1.數學運算

在復數乘、除運算的三角表示教學中，首先需要引導學生將復數轉化為三角形式，這一過程通常會運用三角函數的誘導公式等知識．通過這樣的教學，能夠有效鞏固和加深學生對三角函數相關知識的理解與掌握.

2.直觀想象

復數的三角形式是由模長和輻角來表示的，本身具有鮮明的幾何特征，這與復數的幾何意義一脈相承.借助復數的三角形式，不僅能夠深化學生對復數模長等概念的理解，還可以引導學生從“形\"的角度認識和研究復數.

3.數學建模

在三角形式下，復數的乘、除運算有了新的表示，其幾何意義更加明晰，具體規則如下：

（1）復數的乘、除運算

若復數 r₂（cosθ₂+isinθ₂），r₁gt;0，r₂gt;0，z₂≠0 ，則

（2）復數的乘方、開方運算

若復數 z=r（cosθ+isinθ），rgt;0 ，則zⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）， ， · ，其中 k= 0，1，2，…，n-1.

我們不難發現，在三角形式下，復數的乘、除運算分別轉化成了兩個復數的模長相乘與相除、輻角相加與相減.模長的相乘與相除可以分別看作線段的伸長與縮短，輻角的相加與相減可以看作圖形的旋轉．因此，在解決涉及平面圖形的伸縮問題和旋轉問題時，我們可以考慮建立復數模型，進而利用復數的相關運算解決問題.教師要將轉化的思想貫穿于整個教學過程中，促使知識得到遷移，讓學生逐步感知并學會解決問題，從而獲得新知[2].

現狀調研

盡管復數的三角形式在培育學生數學運算、直觀想象和數學建模素養方面具有積極作用，但由于該內容在教材中屬于選學部分，且高考不會直接命制考查復數三角形式的試題，不過學生仍可利用相關知識解決問題.在高考中，復數部分試題難度普遍不高，涉及乘、除運算和乘方運算的題目難度也較小，學生大多能夠直接運用復數的代數形式進行推算.在這樣的背景下，復數的三角形式的教學現狀究竟如何呢？

1.調查背景

本次問卷調查旨在了解教師對普通高中數學課程中“復數的三角形式\"教學內容的認知情況及實際教學應用情況.通過收集教師性別、教齡、職稱、所在學校區域等基本信息，以及他們對課程標準和考試要求的理解，探究教師對“復數的三角形式”教學的態度與實際操作方式.同時，通過了解教師認為該內容對培養學生何種素養的作用，以及在教學中采用的處理方式，分析教師在課堂教學中對該內容的重視程度和應對教學難點的情況.最終，為進一步提升數學教學質量和學生數學素養提供參考與建議.

2.樣本基本情況

通過問卷星APP，共收集到328名一線高中數學教師的問卷反饋．其中，男性教師占比 64.33% ，女性教師占比 35.67% ．教師教齡分布較為均衡，教齡21年及以上的教師占比最高，達 35.06%. 從職稱分布來看，一級教師和高級教師占比較高，分別為39.33% 和 36.89% ．參與調查的教師中，大多數來自城市學校 （92.38%） ），來自鄉鎮及其他地區學校的教師占比較低.

3.基本數據分析

題1《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對“復數的三角形式\"的要求是（ ）

數據顯示，針對“復數的三角形式\"的教學要求， 14.94% 的人認為是必學內容， 81.71% 的人認為是選學內容， 3.35% 的人表示不清楚．進一步分析可知，大多數人認為“復數的三角形式\"屬于選學內容.

題2新高考中，對“復數的三角形式\"的考查要求是

數據顯示，針對“復數的三角形式\"的考查要求，選項B\"不考\"占比最高，達 50.3% ;其次是選項C“可能考”，占比 36.28% ；選項A“必考”占比 6.1% 選項D“不清楚”占比 7.32% .由此可見，“復數的三角形式\"在新高考中或許不會成為重點考查內容.

看，您認為“復數的三角形式\"的教學能夠培育學生哪些核心素養？

數據顯示，選項A“數學運算”選項B“數學抽象”選項D“邏輯推理”的占比分別為 87.5% 70.43% 70.73% ，這表明大部分一線教師認為“復數的三角形式\"在培育學生數學運算、數學抽象和邏輯推理素養等方面的效果顯著．選項C“直觀想象”選項E“數據分析”選項F“數學建模\"的占比分別為 46.65%，26.52%，37.5% ，這說明“復數的三角形式\"對直觀想象、數據分析、數學建模素養的培育程度相對較低.選項G“沒有直接關聯\"的占比為 2.74% ，這意味著僅有少部分人認為“復數的三角形式”與學科核心素養無直接關聯.

題4您在教學中對“復數的三角形式\"的處理方式是

在教學中，教師對“復數的三角形式\"的處理方式里，采用“簡單提及\"方式的占比最高，達 46.34% ；其次是“完整教學”，占比為 26.22% “學生自學\"和\"直接跳過\"的占比分別為10.37% 和 15.24% ，“其他處理方式\"的占比最低，僅 1.83% ，由此可見，教師處理“復數的三角形式\"時，更傾向于“簡單提及\"或“完整教學”，較少采用“學生自學\"或\"直接跳過\"的方式.

數的三角形式\"的主要原因是

數據顯示，教師在教學中不講或略講“復數的三角形式\"的主要原因集中在四個選項.其中，“高考不考查”這個選項占比最高，達 33.54% ;其次是\"教學進度緊張”，占比為 27.13% ：“學生基礎薄弱\"和“其他原因”的選擇比例分別為 19.82% 和 19.51% 由此推斷，高考考查要求與教學進度安排是影響教師對此內容教學處理的主要因素.

題6在課時允許的情況下，您會講授\"復數的三角形式\"嗎？

數據顯示， 53.05% 的人表示一定會講授“復數的三角形式”， 43.6% 的人表示可能會講授，僅 3.35% 的人表示一定不會講授．大多數人表示會考慮講授該內容，說明“復數的三角形式\"在課堂教學中具有一定的重要性和普及性.

教學實踐

很顯然，在復數模塊引入復數的三角形式，絕不僅僅是為了解決復數的計算問題．利用復數的代數形式z=a+bi（a，b∈R） ，完全可以解決復數的四則運算、乘方以及開方問題.引入復數的三角形式，從知識層面而言，能夠簡化復數的乘、除運算和乘方、開方運算：更為重要的是從能力層面來看，它有助于學生在解決問題的過程中培養問題優化意識，體會數學的簡潔美.

例題如圖7所示，已知平面內并列的三個相等的正方形，證明： α+β+

乍一看，這是一道平面幾何題或三角函數題，似乎與復數并無太多聯系.

思路1幾何思維．將 α，β，γ 三個角“集中”到正方形EFGH中，也就是將 ?α，β，γ 拼成一個直角．易得 ∠GHF= γ ，因此只需證明∠FHP=β即可.

4.調查結論

綜上所述，教師對“復數的三角形式\"的認知普遍較為清晰.大多數教師認可其在落實學科核心素養與課程教學中的重要價值，但在實際教學過程中，存在選擇性教學現象，并涉及教學資源分配的衡考量．建議在后續教學實踐中，教師結合學科知識體系特點與學生認知水平，合理安排教學內容，優化教學設計，從而切實提升教學效果

解法1如圖8所示，記第三個正方形為EFGH，設其邊長為1，連接HF ，易得 .在△FHP中， 由余弦定理可得 cos∠FHP= 而 且β為銳角，則 又∠FHP也為銳角，所以 ∠FHP=β. 所以， α+β+γ=∠EHP+

思路2函數思維．易得 γ=∠BDA= ，因此，要證明 只需證明 聽

解法2由圖8可知， 所以tan（α+β）= 又 0lt;α+βlt; ，所以 所以，

思路3復數思維．引入復數，以點B為坐標原點建立復平面直角坐標系，則 α，β，γ 可以看作點 H，E，D 所對應的復數的輻角主值，從而α+β+y可以看作這三個復數的乘積的輻角主值.

解法3以點B為原點，建立復平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則復平面內點 _D，E，H 所對應的復數分別為 z₁=1+i，z₂=2+i，z₃=3+i ，它們的輻角主值分別為 γ，β，α ，則 z₁z₂z₃ 的輻角主值是 α+β+γ ，因為 z₁z₂z₃=（1+ i） （2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i= ，所以

從求解問題的過程來看，解法1和解法2都運用了三角函數的相關知識.解法1主要借助余弦定理和同角三角函數的基本關系式，解法2著重考查正切函數的定義以及兩角和的正切公式．這兩種解法對學生的計算能力均有一定要求.而解法3主要考查復數的幾何意義以及復數三角形式的概念，運算以復數乘法為主，難度相對較低.借助復數三角形式在乘、除運算方面的便捷性以及對應的幾何意義，使得“數\"與“形\"的轉化與結合更加密切，操作起來更加直觀簡捷[3].

教學建議

在當前高中數學教學中，復數三角形式作為選學內容，常因高考不直接考查而被忽視.然而，這部分知識對培養學生數學思維能力、邏輯推理能力和創新能力具有重要價值．因此，即便不作為考試重點，教師仍應適度引入和講解復數三角形式，以豐富學生的數學知識體系，提升其綜合素養.

1.尊重學生實際，適度引入

在不增加學生學習負擔的前提下，教師可在講解復數相關知識點時，適時引入復數三角形式．例如，在探討復數的代數形式與幾何意義時，順帶介紹三角形式的特點與優勢.對于基礎較好的學生，可進行適度拓展.學習復數三角形式，既能加深學生對復數幾何意義的理解，也能助力學生鞏固三角函數知識.若課堂教學時間有限，教師可指導學生課后自主學習相關內容.

結語

2.創設應用問題，激發興趣

復數三角形式是數學領域的重要成果，凝聚著眾多數學工作者的智慧與心血，歐拉和棣莫弗便是其中的杰出代表.教師可適當講述數學家探索復數三角形式的故事，介紹其發展歷程，以及在數學、物理等領域的應用.這有助于學生體會復數三角形式的來之不易，培養科學精神，激發創新意識與能力.

設計與現實生活、其他學科相關的復數問題，引導學生在解決問題過程中接觸復數三角形式，直觀感受其實際應用價值與數學美.通過實際問題，讓學生體會復數三角形式在乘法運算中的便利性，以及在處理圖形伸縮、旋轉問題時的創新思維.當學生認識到復數三角形式的強大功能，便會更主動地投入學習.

3.滲透數學文化，拓寬眼界

復數三角形式的應用領域廣泛，其衍生出來的問題往往極具挑戰性解決這些問題，需要學生經歷分析、歸納、抽象、概括等過程，從而有效鍛煉計算推理與歸納證明能力．因此，復數的三角形式成為培養學生數學抽象、邏輯推理素養的絕佳載體[4].盡管復數三角形式并非高考直接考查內容，但其在提升學生核心素養方面的重要價值不容小.教師可通過創新教學方法與評價機制，營造輕松愉快的學習氛圍，助力學生掌握復數三角形式，進而全方位提升其數學素養.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2」陳曉丹.淺試在道德情境場中實現學科育人一以“復數的三角形式”為例[J].數理化解題研究，2023（9）：32-34.

[3]王守亮．巧借復數三角形式，妙解數學綜合問題[J].中學數學，2024（5）：47-48.

[4」石城，汪曉勤.美英早期三角學教科書中的復數三角形式之若干應用[J].數學教學，2022（12）：2-7.