以高中數學為背景的中考試題

中考依據學業質量標準，義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養.從近幾年的中考試題可以看出，中考試題注重應用性、探究性和綜合性.同時，中考試題側重于展望未來，鏈接高中數學的內容，注重在學習和工作中應用數學知識解決問題.

1以集合為背景

例1 （2021年廣西賀州）如 M={1，2，x} ，我們叫集合 M ，其中 ^1，2，x 叫做集合 M 的元素.集合中的元素具有確定性（如 x 必然存在），互異性（如 ，無序性（即改變元素的順序，集合不變）.若集合 N= {x，1，2} ，我們說 M=N .已知集合 A={1，0，a} ，集合 ，若 A=B ，則 b-a 的值是（ ）.

A.-1 B.0 C.1 D.2

解：因為集合 B 的元素為 ，所以

銀 ，得 b=0 當 時， a=1 ，此時 A={1，0，1}，B={1，1，0}

不滿足互異性，情況不存在.當 時， ω_a=±1，a=1 （舍）.當 a=-1 時，

A={1，0，-1}，B={-1，1，0} ，滿足題意，此時， ?b-a=1 故選：C.

點評：本題以高中集合概念為背景，考查集合的互異性、確定性、無序性.通過對集合 B 的元素進行分析，再與集合 A 的元素對應，分類討論即可求解.

例2 （2022年湖南永州）如 M={1，2，x} ，我們叫集合 M ，其中 ^{1，2，x} 叫做集合 M 的元素.集合中的元素具有確定性（如 x 必然存在），互異性（如 x≠1 ，x≠2 ，無序性（即改變元素的順序，集合不變）.若集合 N={x，1，2} ，我們說 M=N .已知集合 A= {2，0，x} ，集合 ，若 A=B ，則 x-y 的值是（ ）.

A.2

解：因為 A=B ，所以 所以 ，或 |x|=2δ （無解）.

解得 則 故選：B.

點評：本題的關鍵是根據集合的定義和集合相等的條件求出 x，y 的值.

2以對數運算為背景

例3 （2021年湖南永州）定義：若 10^x=N ，則 稱為以10為底的 N 的對數，簡記為 ，其滿足運算法則： lgM+lgN=lg（M?N） （Mgt;0，Ngt;0） .例如：因為 10²=100 ，所以 2=lg 100 亦即 lg100=2;lg4+lg3=lg12 根據上述定義和運算法則，計算 的結果為（ ）.

A.5 B.2 C.1 D.0

解：根據題意，原式 lg2?lg10+lg5=lg2+lg5=lg10=1. 故選：C.

點評：本題以高中對數運算為背景，考查新定義下的實數運算.理解新運算的定義和法則是解題關鍵.

例4（2022年湖南婁底）若 10^x=N ，則稱 x 是以10為底 N 的對數.記作： .例如： 10²=100 ，則 2=log100;10^°=1 ，則 對數運算滿足：當Mgt;0，Ngt;0 時， ?lgM+lgN=lg （ MN ）.例如 lg ，則 的值為（ ）.

A.5 B.2 C.1 D.0

解：因為 所以 $＼lg ～ 5 ＼times ＼lg ～ 2 + ＼lg ～ 2 = ＼lg ～ 5 （ ＼lg ～ 5 + ＼lg ～ 2 ） + ＼lg ～ 2 = ＼lg ～ 5 ～ ＼$ 01 故選：C.

點評：本題以對數運算為背景，考查新定義下的運算問題.理解題意，弄懂新定義的運算法則是解決本題的關鍵.通過閱讀新定義運算規則“ lgM+lgN= ，得到 ，再通過提取公因式后逐步進行運算即可得到答案.

例5（2023年山東濟南）對數的定義：一般地，若 a^x=N（agt;0，a≠1） ，那么 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作： x=log_aN .比如指數式 2⁴=16 可以轉化為4=log₂16 ，對數式 2=log₅25 可以轉化為 5²=25. 我們根據對數的定義可得到對數的一個性質： 理由如下：設 log_aM=m，log_aN=n ，則 M=a^Πm . N= a^′ ，所以 M?N=a^m?aⁿ=a^m+n ，根據對數的定義可得m+n=log_a （ M?N） ，又 m+n=log_aM+log_aN 所以 log_a（M?N）=log_aM+log_aN 類似地，還可證明對數的另一個性質：log。 .請利用以上內容計算 log₃18+

解：根據題意，可得

log₃18+log₃2-log₃4$$

點評：本題以對數運算為背景，主要考查同底數冪的乘法.解題的關鍵是理解新定義的運算法則，然后根據所給的運算法則求解.

3新定義運算試題

例6 （2023年內蒙古赤峰）閱讀理解： a，b，c，d （202是實數，我們把符號 稱為 2×2 階行列式，并且規定 .例如： （20（-2）-2×（-1）=-6+2=-4. 二元一次方程組{a1χ+b1y=c1’的解可利用2×2階行列式表示為 其中

問題解決：

（1）計算 2×2 行列式 的值為

（2）利用二階行列式解二元一次方程組 （20寫出解題過程.，

解：（1）因為 ，所以

（2）因為 所以

（2號故：

點評：本題以二階行列式的運算為背景，以新定義運算的形式進行考查.主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組.弄清題中的新定義運算是解題的關鍵.

例7（2024年四川瀘州）定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移 a（agt;0） 個單位長度，再繞原點按逆時針方向旋轉 θ 角度，這樣的圖形運動叫做圖形的 ρ（a，θ） 變換.如：點 A（2，0） 按照 ρ（1，90^°） 變換后得到點 A^′ 的坐標為 （-1，2） ，則點 按照 ρ（2，105^°） 變換后得到點 B^′ 的坐標為

解：如圖1，點 向

上平移2個單位長度，得到點

，則 ，所

以 ，于是

，則 ∠COE=30^° 0

根據題意，將點 繞原點按逆時針方向旋轉 105^° 得點 B^′ ，則 ∠B^′OE=105^°+30^°=135^°

作 B^′D⊥x 軸于點 D ，則 OB^′=OC=2 ∠B^′OD= 180^°-135^°=45^°

所以

故點 B^′ 的坐標為 ，點評：本題考查了解直角三角形，坐標與圖形.

縱觀最近幾年全國各地的中考試題，有不少題目涉及高中數學內容，有的是以高中數學知識為背景，有的是蘊含高中數學知識，有的則直接以新定義的形式出現，這些試題主要是考查考生的數學閱讀能力、信息整理能力和數學學習能力.作為初中數學教師，應該了解一定的高中數學知識，而且要主動研究以高中數學知識為背景的中考試題，并在平時的教學或復習備考中有所滲透.