適應新工科建設的線性代數與解析幾何教學研究

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.16.004

Research on Linear Algebra and Analytic Geometry Teaching Adapting to the Construction of New Engineering Projects

CHEN Yingshan

（SchoolofMathematics，South China UniversityofTechnology，Guangzhou，Guangdong 510640）

AbstractTheMinistryofEducation，GuangdongProvince，GuangzhouCityandSouthChinaUniversityofTechnology jointlyestablishedtheSouth China Universityof Technology Guangzhou IntermationalCampus，focusingoncuting-edge disciplinesandaimingtocultivate leading talents innew engineeringdisciplines.Inorder toadapttotheconstructionofnew engineerngdisciplines，GuangzhouIntermationalCampushascariedoutcurrculumreforms inlinearalgebraandanalytic geometry.On the basis ofanalyzing the teaching content andcurrent situation of thiscourse，aswellas the important applicationof inear transformations inthefieldofnewenginering，thearticle proposes thatthe teachingoflinearalgebra andanalyticgeometryshouldattchimportancetolineartransformations.Finalythroughteachingdemonstrations，itis shown that teaching thiscourse with linear transformations as the mainline is not only necessrybut also feasible. Kevwords new engineering： linear algebra： linear transformation： teaching

2017年，教育部、廣東省、廣州市、華南理工大學四方簽約共建華南理工大學廣州國際校區，重點布局引領世界科技前沿的新工科交叉學科，培養面向未來的新工科領軍人才[。廣州國際校區于2019年開始招收本科生，專業包括人工智能、數據科學與大數據技術、機器人工程、智能制造工程等，是全國唯一全部布局新工科專業的校區。不同于傳統工科專業，新工科專業對數學知識和方法提出了新的要求。基于此，廣州國際校區提倡數學課程應著力提高課堂教學內容與專業教學的相關性，應根據新工科專業對數學知識技能的需求進行針對性設計。本文根據筆者五年來在廣州國際校區講授線性代數與解析幾何課程的經驗，在分析本課程教學內容和教學現狀，以及線性變換在新工科建設中的應用的基礎上，提出線性代數與解析幾何課程應強化對新工科專業具有強支撐作用的線性變換教學，并給出教學示范，說明以線性變換為主線講授本課程，不僅拓寬了學生利用線性變換解決專業問題的思路，而且加深了學生對課程內容與方法的理解。

1課程教學內容與教學現狀分析

線性代數是數學的一個重要分支，它研究線性方程組、向量空間、矩陣、行列式、線性變換等概念和性質以及它們之間的關系和應用。線性代數歷史悠久，我國古代的數學著作《九章算術·方程》中就有關于線性方程組的記載。17世紀，萊布尼茲發明了行列式，并用它來研究線性方程組；19世紀，凱萊引進矩陣的概念和運算，并用它們簡化線性方程組和實現線性變換的復合；20世紀，隨著現代線性代數逐漸成形，人們發現線性代數可以廣泛地應用于物理、工程、計算機科學等領域。例如，量子力學中的力學變量可以用矩陣表示；計算機程序中因為使用了矩陣和向量的概念，逐個計算被轉變成批量處理。今天，線性代數已是科學和工程不可或缺的基礎，它為描述和處理許多復雜問題提供了有效的工具。

我國面向理工科一年級學生開設線性代數課程可以追溯到1977年恢復高考以后。2000年以前，國內的線性代數教材在內容的選取和編排上大部分參考了蘇聯模式，講究知識體系的完整性，其中最具代表性的教材是同濟大學的《工程數學：線性代數》[2]。該教材第一章介紹行列式，第二章介紹矩陣及其運算，第三章是關于矩陣的初等變換與線性方程組，第四章介紹向量組的線性相關性，第五章介紹相似矩陣及二次型，最后一章才是關于線性空間和線性變換，而且最后一章標上了星號作為部分有需求專業的選學內容。這一本教材結構完整、邏輯性強，多年來被許多高校作為線性代數的首選教材。2000年左右，為了優化大學數學課程體系和教學內容，許多高校開始將線性代數與空間解析幾何的內容融合成一本教材，并開設線性代數與解析幾何課程。例如，華南理工大學周勝林教授與劉西民教授在2012年出版了《線性代數與解析幾何》[3，并面向全校所有理工科一年級學生開設線性代數與解析幾何課程。通過學習代數與幾何的內在聯系，學生更好地理解了線性代數，但包括學校自編教材在內的許多新教材，在線性代數內容的編排上與同濟版教材基本相同。例如，它們同樣認為線性變換具有比較濃厚的理科色彩，因此只是在最后一章對其進行了簡單的介紹。近年來，隨著計算機軟硬件的飛速發展，線性代數的應用擴大到越來越多的新工科領域，工科專業對本課程知識和方法的需求也在悄然發生變化。特別是新工科專業的學生，學習線性代數與解析幾何的重要目標已經不再是能夠熟練地求解線性方程組、計算行列式、求逆矩陣一一這些在實際工作中都可以由MATLAB等數學軟件代勞，如今的關鍵是要了解本課程在專業領域的應用，掌握那些對后續專業學習具有強支撐作用的理論和方法。通過與廣州國際校區各個新工科領域專業課教師的交流，我們發現，長期得不到傳統課程充分重視的線性變換正在新工科領域發揮著舉足輕重的作用[4]。因此，為了更好地適應新工科建設，在線性代數與解析幾何的教學中必須充分重視線性變換。

2線性變換在新工科專業中的應用

線性變換是線性代數的核心[5，它是兩個向量空間之間保持加法運算和數乘運算的一種特殊的映射。因為具有強大的表示能力和靈活的運算特性，線性變換在新工科領域發揮著舉足輕重的作用。下面通過兩個例子說明線性變換在新工科專業中的重要應用。

① 在圖像處理中，計算機通過線性變換實現二維和三

維圖形的旋轉、伸縮和翻轉。例如，要將平面上一個二維圖形基于原點旋轉角度 θ ，只需將圖形表示成一系列點的坐標，再取旋轉矩陣A ，將線性變換 Y=AX 作用在圖形的每一個點 X. 上就可把整個圖形關于原點逆時針旋轉角度θ。這就是計算機處理二維和三維圖形的基本原理。

② 在機器學習中，利用線性變換可以實現數據的降維。假設原始數據向量集為 {X_i=[x_1i，x_2i，…，x_mi]^T，i=1 2…，K ，其中 n 是一個很大的正整數。由于數據向量的相關性，每一個數據向量的 n 個分量存在冗余，為了更好地理解數據并減少計算的復雜度，可以抽取每一個數據向量的m個特征（m遠遠小于 ?_n） ，構造m維數據向量集{Y_i=[y_1i，y_2i，…，y_mi]^T，i-1，2…，K.}° 為此，只需要引入一個 m×n 特征抽取矩陣 當mi=TX_i （204號就可將高維向量 X_i 轉換成低維向量 Y_i ，從而達到數據降維的目的。當然，數據降維的同時難免會丟失部分信息。于是，如何選取特征抽取矩陣以保證最小的信息損失成為最關鍵的問題。線性代數中與線性變換密切相關的特征值與奇異值分解理論正是解決這一問題的重要工具。更詳細的討論請參見文獻。

除了圖像處理和數據降維，線性變換還在信號處理和優化、數據壓縮和加密等新工科領域中扮演著重要角色。因此，教師在線性代數與解析幾何課程中詳細介紹線性變換的相關概念及其應用是很有必要的。

3以線性變換為主線的教學示范

在線性代數與解析幾何的教學中重視對新工科專業具有強支撐作用的線性變換，并不意味著在介紹完傳統課程中那些基礎而重要的知識點（包括行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、特征值與特征向量）之后，再仔細介紹線性變換的相關概念和應用。傳統的教材因為將線性變換安排在最后一章，因此在介紹其他知識點時幾乎完全不涉及線性變換這一概念。然而，線性變換并不是一個孤立的知識點，它與矩陣運算、行列式、特征值與特征向量、相似矩陣等知識點均有著千絲萬縷的聯系。因此，教師可以從課程一開始就引入線性變換這一概念，并在介紹其他知識點時引導學生從線性變換的角度去分析和理解，這不僅有助于學生更好地掌握線性變換這一重要的數學工具，還有利于學生更加深刻地理解本課程中那些既抽象又重要的知識點。下面結合筆者在廣州國際校區的教學實踐經驗，給出以線性變換為主線的教學示范。

① 概念的引入。教師在課程一開始介紹線性方程組

科教導刊

AX=b 的時候就可以引導學生從函數的角度去理解它，進而引入線性變換這一概念。如果將向量X看作是輸入，將向量b看作是輸出， m×n 矩陣A實際上定義了從 R^′ 到 的一個對應關系，而且對于 R^′ 中每一個輸入 X， 在" 中只有唯一一個輸出 b 與之對應，因此這個從 R^′ 到 R^m 的對應關系稱為映射。類似于中學中定義函數，我們定義映射 ΠΠΠΠΠΠΠΠ 對于R^′ 中任意向量 X₁，X₂ 與任意數 k ，它滿足以下兩個性質：

T（X₁+X₂）=T（X₁）+T（X₂），

T（kX₁）=kT（X₁）

滿足上述兩個性質的映射稱為從 R^′ 到 |R^m 的一個線性變換。因此，每一個矩陣實際上都對應著一個線性變換。這樣一來就在矩陣與線性變換之間架起了一座橋梁，后續學生就可以從線性變換的角度去理解矩陣相關的定義和性質。

② 從線性變換的角度講授矩陣的乘法。傳統的教材一般通過行列計算法則給出矩陣的乘法定義，這種定義方式如果不結合線性變換，學生將很難理解其背后的數學邏輯。從線性變換的角度來看，通過行列計算法則定義出來的矩陣和的乘積實際上代表了相應兩個線性變換的復合，即對任意維數等于B的列數的向量 X

（XB）X=A（B（X））

在此基礎上，學生更易理解矩陣乘法不同于數的乘法的一些性質。例如，矩陣的乘法不具有交換率，即使兩個同階方陣A和 B，AB 也不一定等于BA。這是因為（AB）X=A（B（X）） 代表的是對向量X先做 B 變換再做A變換，而（BA）X=B（A（X）） 代表的是對向量X先做A變換再做B變換，顯然，兩個線性變換作用的順序不同，復合的效果通常也是完全不同的。例如，將平面上的點 （R² 中的向量）先基于原點逆時針旋轉90度，再關于y軸反射，與先將它基于y軸反射，再基于原點逆時針旋轉90度，最后得到的點 （R² 中的向量）是完全不同的。當學生將矩陣的乘法與線性變換的復合聯系起來，抽象的代數概念便有了幾何具象，有助于學生更加深刻地理解矩陣乘法。

③ 從線性變換的角度理解行列式的幾何意義。傳統的線性代數教材一般在課程一開始就引入了行列式的定義，接著介紹行列式的各種性質和計算技巧，導致許多學生剛開始接觸線性代數對抽象的符號和復雜的計算提不起學習的興趣。事實上，行列式有著非常直觀的幾何意義，它代表著線性變換對體積的縮放比例。隨著計算機軟硬件的飛速發展，復雜的計算都可以交給計算機去完成，與讓學生掌握行列式的計算技巧相比，更重要的是讓學生了解行列式的幾何意義，這樣做一方面可以擴寬學生借助行列式分析線性變換的思路，另一方面可以幫助學生深刻理解行列式的性質。例如，對于 λ_n×n 矩陣，行列式 det（A）=0 意味著線性變換 Y=AX 將 R^′ 壓縮到一個更低維的子空間中，因此這種壓縮會導致信息的丟失，當然也導致了變換不可逆。從矩陣的結構看，由于A的列向量是線性變換 Y=AX 下的像，det（A）=0 意味著的列向量全部落在的某個真子空間中，因此行列式為零意味著矩陣的列向量線性相關。

④ 從線性變換的角度講授特征值與特征向量。這是線性代數中與線性變換密切相關的兩個核心概念，它們無論在物理和材料等傳統理工科專業，還是在人工智能和機器人工程等新工科專業中均有非常廣泛的應用，因此幾乎所有的線性代數教材都會濃墨重彩地介紹它們。然而，許多傳統教材在介紹特征值與特征向量之前并未引入線性變換這一概念，導致教師只能利用數學公式給出定義，而不能從線性變換的角度進行實例化的講解，這顯然不利于學生真正理解特征值與特征向量的內涵。例如，學生通過數學公式的定義很難理解為什么某些實矩陣不具有實特征值。但如果結合線性變換，這個問題馬上變得直觀明了。假設 矩陣A和n維向量X，A乘X以結果是將X變成一個新的n維向量 Y=AX ，新向量Y往往與原向量X不共線。A具有實特征值意味著存在非零向量在經過A變換之后，新向量與原非零向量共線，實特征值反映的正是非零向量在變換前后的伸縮比例。因此，實矩陣乘以向量如果是將向量旋轉了一定的角度（非360度），那么該實矩陣一定不具有實特征值。例如，矩陣 乘以任意二維向量效果上相當于把這個二維向量基于原點逆時針旋轉90度，顯然，沒有任何非零向量經過這種特定變換之后依然與原向量共線，因此這個矩陣沒有實特征值。

⑤ 從線性變換的角度講授相似矩陣。相似矩陣是線性代數中的一個難點，也是歷年考研數學的一個重要考點。傳統教材通過數學公式給出定義：對于矩陣A和B，如果存在可逆矩陣P使得 A=P^-1BP ，那么A和B相似。從數學定義看，相似是矩陣之間的一種特殊的關系，但相似矩陣之間的內在聯系是什么？具有哪些不變量？為什么引入相似矩陣的定義？僅僅通過數學公式，學生很難回答這些問題。但從線性變換的角度看，相似矩陣無非是同一個線性變換在不同基下的代數表達。通過使用相似矩陣，人們可以將一個復雜的線性變換化簡，這在信號降噪與特征提取、圖像壓縮與識別等領域均有重要的應用。正因為相似矩陣對應著同一個線性變換，因此它們共享所有由線性變換本身決定的屬性，例如，行列式（代表變換的體積縮放比例）、特征值（代表變換在某些方向的伸縮比例）、跡（特征值之和）等等。且兩個相似矩陣相同特征值對應的特征子空間的維數必須相等，這是因為，若矩陣A存在特征值，其對應的特征子空間的維數等于k，則A對應的線性變換將某個 k 維子空間中所有的向量拉伸為原來的倍，故該變換在任意基底下的矩陣（即與A相似的矩陣）均具有特征值λ，且對應的特征子空間的維數必等于k。這一直觀認識可幫助學生迅速解決部分難題。例如，2018年全國碩士研究生招生考試（數學一、二、三）中的試題：

解析：本題需從定義出發，需找到矩陣才能說明兩個矩陣相似，但這通常比較困難。因此，為了判斷兩個矩陣是否相似，通常需比較它們的行列式、跡、特征值等，而在這一考研原題中，每一選項中的矩陣都具有行列式1，跡3，且都只有一個重數為3的特征值1，因此，四個選項中的矩陣都可能與題目中的矩陣相似，但正確答案只有一個，其關鍵在于求出各個矩陣屬于特征值1的特征子空間。事實上，四個選項中只有（A）選項的矩陣和題目中的矩陣一樣，屬于特征值1的特征子空間的維數等于1，這意味著與矩陣相似的矩陣只能是（A）。若學生不從線性變換的角度去理解相似矩陣，單憑借定義將難以真正理解并熟記相似矩陣的不變量，最終導致在后續專業學習中需用到相似矩陣與線性變換來解決實際問題時受到掣肘。

綜上，在線性代數課程一開始就引入線性變換的概念，并從線性變換的角度講解各個重要的知識點，不僅有利于學生更加深刻地理解各個知識點，還為學生在后續專業課程學習中更好地使用線性變換這一工具拓寬了思路。

4結語

華南理工大學廣州國際校區是全國唯一一個由教育部、廣東省、廣州市、華南理工大學四方共建且全部布局新工科專業的校區。為了適應新工科建設，在線性代數與解析幾何課程中開展教學改革，有利于強化對新工科專業具有強支撐作用的知識點。線性變換在新工科領域發揮著不可或缺的作用。因此，本文提出適應新工科建設的線性代數與解析幾何教學應充分重視線性變換，并且通過教學示范說明了以線性變換為主線講授線性代數與解析幾何不僅必要而且切實可行。

★基金項目：國家自然科學基金（12371470）；廣州市科技計劃項目（202201010702）。

參考文獻

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