數學畫”與“數學話”：素養導向下的數學思維可視化應用策略

數學教育注重知識傳授，更注重思維能力的培養。《義務教育數學課程標準(2022年版)》以下通稱“新課標\")強調要“通過數學語言實現思維可視化，發展學生數學核心素養”。然而，當前教學實踐中仍存在兩大困境：其一，抽象符號系統與兒童具象認知方式的錯位，導致概念理解表面化；其二，思維過程的“黑箱化”，使得教師難以精準診斷學情。這種現象在小學中高年級分數、幾何等抽象內容教學中尤為突出。

“數學畫”可以把看不見的思維過程用直觀可見的圖表(圖示)精準、具體地展示出來，幫助學生理解，發展學生的數學核心素養。這充分說明了“數學畫”的重要性和必要性。語言是思維的物質外殼，“數學話\"就是數學的思維語言。“數學畫”與“數學話”為學生打開通往邏輯與創造世界的大門。“數學畫”與“數學話”的有機融合，本質是“可視化思維”與“數學語言表達\"的融合。

下面，筆者以人教版小學數學教材為依托，探討如何通過\"畫概念\"\"畫計算”\"畫思路\"\"畫思維導圖”四種策略，借助直觀的“數學畫”與生動的“數學話”相結合的方式，幫助學生更好地理解數學知識，讓數學核心素養真正落地。

一、畫概念，發展數感

在小學階段，抽象的數學概念對相當多的學生來說理解起來有較大的難度。“數學畫”可以把較為抽象的概念更加直觀、形象地展現出來，引導學生循序漸進地感觸到概念形成的過程，由表象而特征，由特征而本質，進而真正深刻地理解和掌握概念。

例如，在教學“小數的意義\"這一課時，當學生理解了一位小數的意義后，教師出示任務一：圖中涂色部分可以用哪個小數表示？請將你的想法在圖1上畫一畫。

教師請學生把想法記錄在學習單上。學生先獨立完成，然后組成四人小組交流，交流后可以在學習單上進行修改，有困惑也可以記錄下來。接著，全班分享(教師展示學生作品)，比較不同作品的相同點與不同點。教師強調把0.1平均分成10份，每份都是0.01(板書：0.01)，這樣又得到了一個新的計數單位。隨后，教師出示任務二：我們剛才把1平均分成10份，得到了一位小數0.1，再把0.1平均分成10份，得到了兩位小數0.01，想一想把0.01再平均分，又能得到幾位小數？(給學生10秒的時間思考)你能在圖2中表示出0.314嗎？有想法的學生可以在學習單上涂一涂，畫一畫。最后，全班學生進行匯報(教師展示不同的學生作品）。

數感是小學數學核心素養的重要內容，課堂中如何有效落實數感的培養呢？本節課，筆者用一個正方形圖貫穿始終，通過正方形圖這個媒介，將抽象的數學概念轉化為學生能夠直接感知的視覺信息，加深其對小數本質的理解，真正將數感的培養落到實處。

再如，在教學“認識幾時幾分\"時，筆者出示學習單一：在下面的鐘面上畫出9時5分。

然后出示學習單二：填一填。

學生自主完成，教師先巡視收集學生作品。然后，全班匯報、交流。教師出示分針指向5和分針指向1的兩幅作品，提問：“你同意誰的畫法？”學生小組討論，質疑補充，達成共識，匯報交流。最后，師生小結：分針從12開始走1小格是1分鐘，2小格是2分鐘，從12到1有5小格也就是1大格，是5分鐘。

在本節課中，筆者鼓勵學生把時間量感“畫\"出來，用圖像表征量感，以此建立起1分鐘的時間量感，化抽象量感為形象直觀圖示，讓學生逐步感悟度量時間的本質，實現量感的可視化，讓數學核心素養的培養落到實處。

二、畫計算，發展運算能力

運算能力的核心在于理解算理，而算理的理解又比較抽象，對以具體形象思維為主的小學生來說存在一定困難。“畫計算\"能夠將抽象的概念具體化，把隱蔽的信息直觀化，讓思維過程變得可視化，并且實現算理與算法的有機結合。因此，在教學過程中，教師可以利用“畫計算”直觀呈現抽象的算理，學生借助圖形更容易理解算理，從而掌握算法。

例如，在教學“分數除以整數\"時，筆者先出示學習單一：

把一張紙的 平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？

1.根據題意列出算式：

2.畫圖，并分一分，涂一涂，看看得數是多少？

3.如果你還有其他方法解決這個問題，請在下面寫一寫，畫一畫。

然后，教師出示學習單二：

把一張紙的 平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？

1.根據題意列出算式：

2.畫圖，并分一分，涂一涂，看看得數是多少？

3.如果你還有其他方法解決這個問題，請在下面寫一寫，畫一畫。

對于小學生來說，他們的思維方式主要以直觀認識和直觀理解為主。如果在學習四則運算時不運用圖示的直觀支撐，學生很難在腦海里透過運算的表象，深刻理解算法中所蘊藏的算理。本節課，教師通過呈現學生的“數學畫”，以“畫”為橋梁，幫助學生解決了“計數單位個數不夠分\"的問題，理解了整數、小數、分數除法之間的聯系一一都是在分計數單位的個數，這種感悟就是依賴具體形象的探究和直觀的圖式形成的。數學畫”與“數學話\"的結合，將“看不見的算理\"轉化為“看得見的步驟”，不僅幫助學生理解了算理，而且發展了學生的運算能力和推理意識。

三、畫思路，發展應用意識

數學問題往往是以較為抽象的文字形式呈現的，其中的數量關系學生難以直觀地理解。所以，在教學中，遇到問題需要解決時，教師可以利用“數學畫\"作為思維“拐杖”，幫助學生從復雜情境中提取關鍵信息，將內隱的數量關系進行可視化表征，將已知的信息與未知的問題聯系起來，從而幫助學生解決實際問題。

例如，在解答“一樣長的兩根電線，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根長度的3倍，這兩根電線原來的長度是多少厘米？”這個題目時，學生運用已有的經驗，通過畫圖能喚醒數學思考(如圖5)。

180厘米

第二根： 第二根：

第一根： 第一根： C50厘米第二根：第一根：

學生先根據“剩余部分，第一根長度是第二根長度的3倍\"這一信息畫出第一幅圖，然后想“兩根電線本來是一樣長”，所以在原來圖上把第一根和第二根的線段延長，使得兩條總線段一樣長(第二幅圖)。接著，根據信息“第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米”，知道第一根延長了50厘米，第二根延長了180厘米(第三幅圖)。180減去50等于130，從圖中可以清晰地看出130厘米正好是2倍，所以1倍就是 130÷2=65 厘米。第一根長 65×3+50=245 厘米，第二根長也是245厘米，這兩根電線原來共長 245×2= 490厘米。

“數學畫”是思維交互的媒介，也是理解深化的載體。在學生的“畫”里，將復雜的數量關系形象、直觀地表示出來，融入了對數量關系的分析，使學生能夠“看見”自己的理解，使教師能夠“看見”學生的思考，促使學生找到解決問題的策略，提升學生解決問題的能力，發展學生的應用意識。

再如，在教學“數學廣角一集合\"時，教師出示任務一：這里有一張三(1)班同學參加學校組織的跳繩、跑步比賽的學生名單，參加這兩項比賽的一共有多少人？學生自主完成任務一。

畫一畫、寫一寫、圈一圈，讓大家一眼看出參加跳繩、參加跑步、兩項都參加的同學，為方便記錄，只要寫他們的號碼。

任務二：現在請大家借助集合圖，用列算式的方法解答“參加這兩項比賽的一共有多少人？\"(如圖6)

教師收集了幾種不同的方法，問：對比這幾種方法，你覺得哪種更清楚？討論交流時，學生對重疊部分都有自己的理解，并且能用不同的方式表達其中3人兩項比賽都參加的情況。教師引導學生經歷了“探究一表達一質疑一修正\"的思維過程，從而理解了較為“抽象”的集合思想。教師引導學生借助集合圖，用列算式的方法解答“參加兩項比賽的一共有多少人\"(出示任務二)。然后，學生與同桌互相說說列出的算式表示什么意思。在教學過程中，針對不同學生的表征方式，筆者采取了針對性的引導策略。對于用 9+8-3 來表征的學生，著重引導他們解釋為什么要減去3，從而幫助他們深入理解重疊問題的本質；而對于用“ 6+3+5³ 來表征的學生，則引導他們清晰說明每個數字分別對應的韋恩圖部分，幫助其厘清韋恩圖各部分的含義。在學習過程中，繪制“數學畫\"體現了圖形符號的便捷性，把圖形轉化為算式則凸顯了數字符號的邏輯性。這樣的教學過程不僅強化了學生的抽象邏輯思維能力，還在學生分享表征的過程中培養了他們的傾聽、表達和合作能力，促進了學生數學核心素養的發展。

四、畫思維導圖，發展符號意識

思維導圖中形象直觀的線條、符號和層級圖等可以幫助學生提高認識、分析能力和系統思考能力。因此，教師可以結合某一個知識或整個單元的教學內容，讓學生畫出這一知識或本單元的思維導圖，以思維可視化的方式繼續對內容進行說理闡釋，使學生在說理中理解數學概念、解決數學問題，發展符號意識。

例如，在教學“簡便運算的整理和復習\"時，上課伊始，教師引領學生畫思維導圖：咱們就從數字“10”開始來研究什么樣的算式可以簡便計算。看到10，你會想到這是哪兩個小數的計算結果？（ 你們想到了兩個數的和是10，如果這個算式就潛藏在簡便計算的算式里，你覺得算式是怎樣的？( 7.6)誰看懂了？還有不同的想法嗎？ (2.4×17.2+7.6× 17.2）或（ 8.7+7.6+2.4) ，還有哪兩個數的結果也是10呢？你們先思考，然后按剛才的方式將你想到的算式以及自編的簡便計算題目寫在學習單上。學生畫的思維導圖如圖7所示。

圖是一種靜態的結果，畫是一種動態的過程。教師以思維導圖的方式讓學生以10為基點展開充分挖掘，讓湊整思想深入人心，讓學生掌握簡算的“術”，并且通過簡算與口算之間的轉換，消除部分學生對“簡便運算不簡便”的偏見。

總之，在課堂教學中巧妙地融合“數學畫”與“數學話”，可以讓課堂多一點探索，少一點講授；多一點表達，少一點沉默；多一點主動，少一些被動；從而引導學生在畫中想、在畫中理、在畫中說等，培養數學核心素養。

參考文獻：

[1]陳昱，萬榮，欒靜.借助“數學畫”作品實施表現性評價：以《雞兔同籠》為例[J].小學教學設計，2023(26).

[2]陳昱，何玉聰.數學可以畫嗎：兼論“數學畫”教學的方法論依據和目標導向[J].小學教學設計，2023(20).

（責任編輯：楊強）