基于大單元整體教學的章收口課

章起始課已成為大單元整體教學研究舞臺上的名角，而章收口課卻鮮有人關注.如何將一章的講解有始有終，使整章內容的講解落實大單元教學，完善整章知識的結構，落實新課堂改革，培養學生數學核心素養，這一直是筆者思考的問題.對構建完整的知識結構、發展學生的核心素養、提升學生的思維能力而言，章收口課是不容忽視的一環.本節課以“余角與補角”為例嘗試探究章收口課這種課型在大單元整體教學理念下的落實.

1教學過程

1.1環節1：情境探路，感知概念

生1：根據圖1中信息可以知道陽信在鄒平北偏西 10^° 的方向上.

生2：還可以說陽信在鄒平西偏北 80^° 的方向上.

師：你怎么想到的？

生2：因為 ∠AOE=90^° ，∠DOE=10^° ，所以可以求得 ∠AOD=90^°-10^°=80^°

師：奧，原來應用了這兩個角的和是 90^° ，你的抽象能力很強！這兩種說法都能表達出陽信在鄒平的具體方向.我們習慣上，先說南北再說東西即南（北）偏東（西）多少度.

師：那濱州在鄒平的什么方向？

生3：北偏東 20^° 師：說說你的理由.

生3：和上面的分析類似，因為 ∠BOE=90^° .∠BOC=70^° ，由 ∠BOC+∠COE=90^° ，可以得出∠COE=20^° ，所以得出濱州在鄒平的北偏東 20^° 方向上.

師：你的學習能力真強，這里也是兩個角的和是90^° 可見，“兩個角的和為 90^° ”這個模型在幾何中的應用很廣泛，為了方便應用，我們起個名字，如果兩個角的和等于 90^° （直角），就說這兩個角互為余角，簡稱“互余”，即其中一個角是另一個角的余角.

數學中有三種語言：文字語言、圖形語言和符號語言.（應用課件進行展示，試著讓學生自己表達符號語言.）

師：剛才我們發現“兩個角的和為 90^°? 在數學中的應用非常廣泛，你覺得還有哪個角度應用也很普遍，需要我們深入研究呢？

生 4：180^°

師：對，這個在八年級的數學學習中應用得更多.同樣地，如果兩個角的和等于 180^° ，就說這兩個角互為補角.（類比互余的三種語言得出互補的三種語言.）

余角和補角概念的三種語言如圖2所示.

如果兩個角的和等于90° 如果兩個角的和等于 180^° 5就說這兩個角互為余角，簡 就說這兩個角互為補角稱“互余”

因為 ∠1+∠2=90^° ， 如果 ∠3+∠4=180^°

所以∠1與∠2互余； 那么∠3與∠4互補；

（反過來）因為∠1和∠2 （反過來）因為∠3和∠4互補，互余，所以 ∠1+∠2=90^° 所以 ∠3+∠4=180^°

教學說明：借助情境，讓學生試著用數學的眼光觀察現實世界，自然引出方向角，通過兩種不同的表示方式，規范方向角的表述，并得出兩角和為 90^° 在生活中的廣泛應用，然后用數學的思維思考現實世界，歸納總結得出余角的概念，讓學生試著用數學的語言表達現實世界，掌握余角概念的三種語言以及互相轉化.類比余角的概念學習補角的概念及三種語言.

1.2環節2：概念生長，探索性質

情境一：如圖3，你還能再畫出∠DOE 其他的余角嗎？

學生嘗試作圖并進行展示，大部分同學利用直角都能畫出，但畫法不太一樣，有的同學只能畫出一種情況，有的同學在一個圖中能畫出多種情況.（圖4中∠3 這種情況不易想到，教師可作提醒“角可以是獨立的也可以放在三角形中”）

學生展示，教師歸納如圖4.

思考：（1）已知 ∠DOE= 10^°，∠1 與 ∠2，∠3 的大小有什么關系？

（2）若 ∠DOE=20^°，∠ 1與∠2，∠3 的大小有什么關系？

（3）猜想：若 ∠DOE 為大小為 x^° 的任意銳角， ∠1 與 ∠2，∠3 的大小有什么關系？

教學說明：通過畫出一個角的余角的多種情況，從形上讓學生直觀感知一個角的余角不止一個，可以位置不同；后面探索這些余角的數量關系，是從數的角度讓學生理解同一個角的余角都是相等的，此處更便于理解余角相等，通過具體的 10^°，20^° ，再到抽象的x^° ，引導學生探索發現數量關系.從形到數、從位置到數量，從特殊到一般歸納總結出結論——同角的余角相等.

情境二：如圖5，若 ∠1 與 ∠DOE 互余， ∠2 與∠D^′O^′E^′ 也互余，且 ∠1=∠2 ，則 ∠DOE 與 ∠D^′O^′E^′ 有什么數量關系？

師總結：同（等）角的余角相等一一余角的性質.

教學說明：通過同角的余角相等，思考并探索不同角的余角數量上的關系，借助幾何畫板讓學生直觀感受，試著引導學生發現不同角的數量關系影響著其余角的數量關系.從而引出等角的余角相等，試著讓學生進行初步的口頭上的推理，發展學生的推理能力.

情境三：類比余角的的性質，試著說出補角的 性質.

教學說明：在概念的學習中，借助余角的學習得出補角的概念；在性質的學習中，再次借助余角的學習得出補角的性質.體會數學的重要思想——類比.

1.3環節3：應用遷移，回歸生活

情境四：魏橋的老師們也來到了活動現場，活動結束后計劃去東營看海.魏橋恰好在 ∠AOC 的平分線上，東營恰好在 ∠BOC 的平分線上，如圖6.

（1）已知 ∠BOC=70^° ，求∠DOE .圖7中哪些角互為余角？哪些角互為補角？

（2）若 ∠BOC 等于 x^° ，那剛才的結論還成立嗎？

（3）如果活動結束后去淄博吃燒烤，你能確定淄博的位置嗎？

教學說明：問題（1）（2）讓學生再次回到實際中去，聯系生活，用數學的眼光觀察現實世界，并試著用數學的思維思考現實世界，運用知識，再次深化對余角概念和性質的理解.從具體的 70^° 到抽象的 x^° ，再次讓學生體會一般到特殊的數學思想.問題（3）首尾呼應，通過以鄒平為原點構建坐標系，又回到方向角中，用數學的語言表達現實世界，體會數學知識源于生活，又應用于生活.

1.4環節4：梳理分享，完善體系

（1）你學到了哪些知識？（2）你收獲了哪些數學思想？（3）你還想探究什么？

教學說明：引導學生及時回顧這節課中的知識部分和知識探究過程中的數學思想，幫助學生對研究問題的一般方法和路徑有一個整體、宏觀的把握.

教師以此節為引子引導學生回顧串聯起整章知識點，構建整章知識結構圖（如圖8），并以數學文化結尾.

立體圖形表示方法幾何圖形 品 直線、射線、線段 線段 中點余角和補角平面圖形表示方法角 角的度量、比較與計算 角平分線余角和補角 1 概念、判定、性質、應用核心素養 幾何 推理模型觀念直觀 能力應用意識

教學說明：通過構建整章知識結構圖，帶領學生厘清本章的知識結構與脈絡，對整章課有更完整的把握.最后通過介紹數學巨著《幾何原本》以及數學家歐幾里得，引導學生感受數學文化的博大精深.對數學家的理解可以塑造學生的價值觀，對知識起源的認識可以讓學生了解知識形成的背景，提升學生對數學的學習興趣.

2教學反思

2.1情境引領，一個情境貫穿始終

這節課的設計從學生熟悉的生活情景（方向角）出發，激發學生的學習興趣和探究欲望，并在后面的學程中也沿用了這個情境，問題與情境緊密結合，從情境中生發系列化問題，最后再回到方向角，首尾呼應.一個情境貫穿始終，有利于使學生更側重對本位性知識的理解和關注，使數學課堂教學更直觀、有趣，有助于培養學生的抽象意識.

2.2類比引領，一個知識點發散多個知識點

類比不同于演繹推理和歸納，它是由特殊到特殊的推理.這節課在學習補角時，學生都可類比余角的概念和性質生發出補角的概念和性質，可見類比這一數學思想的價值.這節課不僅有相似觀念的類比，還有探究方法、知識結構、思維方式的類比.類比思想是新舊知識的紐帶和橋梁，有助于學生發散思維的培養，可以使學生的知識體系化、系統化、整體化.

2.3單元引領，一節收口課完善整章內容

“余角與補角”不僅僅是“4.3角”最后一節的內容，更是人教版七年級上冊數學第四章“幾何圖形初步\"最后一節的內容，所以我們要縱覽全章內容去思考、理解、整合這節課，站在一章內容的肩膀上看收口課.在系統思維與整體觀念引領下構建最后一節的教學，在學習的過程中，聯系整章知識，注重知識的系統性，在結尾處引導學生構建整章知識思維導圖，讓最后一節再回歸到單元中去，完善單元內容，同時明確該節的地位和意義.此外，還考慮到方法的一般性，不管是余角、補角還是以后要學習的其他幾何圖形，都應遵循概念一判定一性質一應用的研究路徑，這在板書以及思維導圖中都有所體現.這一節除完善整章知識結構外，還要鏈接后面的知識，認識余角并學習其性質是研究七年級下冊求角以及八年級上冊全等三角形中的“一線三等角\"等相關知識的重要基礎.這樣前連后掛，體現了大單元整體化的新課堂教學理念，自然經歷知識形成、發展、完善和拓展的過程，有效培養學生的數學思維以及適應終身發展需要的核心素養.

2.4應用引領，從知識理解到實踐遷移

章收口課不應止步于知識總結，需為學生搭建應用橋梁.以“余角與補角”為例，可拓展“生活情境中的角度應用”，如建筑工人測量墻體傾斜角時，如何利用余角補角快速校驗；或設計“幾何綜合題小挑戰”，融入三角形內角和等知識，讓學生用余角補角思路破解，倒逼知識串聯.后續可拓展“三線八角”相關應用，如找平行線中余角、補角關系，或結合三角形內角和，探究直角三角形兩銳角互余的延伸應用，讓知識應用更具挑戰性與系統性.

2.5整體引領，串聯單元脈絡，凸顯知識閉環

章收口課是大單元教學的“最后一塊拼圖”，要強化“單元知識的系統性回望”.整體教學對知識整合還可更深入，可梳理本單元與前后單元（如七年級角的基礎、八年級三角形角度關系）的關聯，在章收口課設置跨單元關聯應用，強化大單元知識網絡.另外，整體教學中對學生思維能力培養的連貫性需加強，從情境感知到知識應用，應設計階梯式思維任務，如從直觀找余角、補角，到推理證明角的關系，再到創新設計含余角、補角的幾何模型，逐步提升學生數學核心素養.教學中需引導學生梳理：從章起始課對角度關系的好奇，到中間環節對余角和補角概念、性質的探究，再到收口課用應用案例反哺知識理解，是否形成完整閉環？可通過“單元知識樹繪制”活動，促使學生自主標注各課時與余角、補角核心知識的關聯，暴露知識銜接漏洞.同時，要更刻意關聯單元知識（如八年級三角形外角與補角的呼應），提前埋下“知識生長點”，讓收口課真正成為單元學習的“加油站”而非“終點線”.