例析導(dǎo)數(shù)在三類題型中的應(yīng)用

1 不等式證明問題

證明不等式的題型是高中數(shù)學(xué)的常考題型，一般以解答題的形式出現(xiàn)，這類型問題具有較大的難度，一般來說，解答這類型問題的方法比較巧妙，不易掌握其規(guī)律.最常用的證明方法之一就是構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而證明不等式成立，此方法適用于用初等方法難以證明的不等式.

例1 證明：

思考 本題可以構(gòu)造函數(shù) f（x）=tanx- 將不等式兩邊的關(guān)于 x 的函數(shù)全部整理到不等式的一側(cè)，再利用 f（0）=0 將原不等式轉(zhuǎn)化為f（x）gt;f（0） .本題還需要利用一個結(jié)論：當(dāng) x∈ 時， sinx

證明 令 所以 因為

所以 tanxgt;xgt;0

所以 f^′（x）gt;0

又因為函數(shù) f（x） 在 x=0 處連續(xù)，

所以 f（x） 在 內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當(dāng) 時， f（x）gt;f（0）=0 即 成立.

變式設(shè)函數(shù) ，求證：當(dāng) agt; 0時，不等式 成立.

思考結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù) f（x） 的單調(diào)性，可得到 f（x） 在規(guī)定區(qū)間的極值大小，此時只要證明最小值大于 ，可達(dá)到證明目的.故導(dǎo)函數(shù)在解題過程中可以判斷單調(diào)性和極值范圍并解答.

證明 因為 可知函數(shù) y=e^x 單調(diào)遞增，函數(shù) 單調(diào)遞增，所以 f^′（x） 單調(diào)遞增，又因為 f^′（a）=e^a-1gt;0 ，且 所以 f^′（x） 在 （0，+∞ ）上存在唯一零點，設(shè)零點為 x₀

當(dāng) x∈（0，x₀） 時， f^′（x）lt;0 ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng) x∈（x₀，+∞） 時， f^′（x）gt;0 ，函數(shù)單調(diào)遞增， ，

由 f^′（x₀）=0 可得 即

所以 當(dāng)且僅當(dāng) x₀=1 時等號成立，故當(dāng) agt;0 時， 成立.

2 三角恒等式證明問題

三角恒等式是指關(guān)于三角函數(shù)的一些已證明的恒等式，主要有“定名法則”和“定號法則”，一般來說以證明等式對任意的 x 恒成立的形式出現(xiàn)，即若函數(shù) f（x） 在某區(qū)間上有導(dǎo)數(shù)時，且在這個區(qū)間上的任意一個 x 均有 f^′（x）=0 出現(xiàn)，則 f（x）=c（c 為常數(shù)）成立，等價于證明等式一側(cè)恒為常數(shù)，則可以利用常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，即證等號的一側(cè)等于零即可.用導(dǎo)數(shù)證明三角恒等式的規(guī)律更加明顯，求解思路更為簡單，值得引起重視.

例2 求證：1-cosx =2sin2

思考本題是含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的等式，為證明三角恒等式，將其整理成一側(cè)為三角函數(shù)一側(cè)為常數(shù)的形式，通過求導(dǎo)證明 f^′（x）=0 ，即可正確求解.

證明 設(shè)函數(shù) 所以

=sinx-sinx=0.

所以 f（x）=c .令 x=0 ，有 f（0）=1-cos0=0 ， 所以 c=0 ，即 f（x）=0

所以1-cosx =2sin2.

3 函數(shù)求參問題

求解含參數(shù)的函數(shù)式中參數(shù)的取值范圍是一類經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)的題型，但綜合性較強(qiáng)，難度較高，運(yùn)用常規(guī)解法較為復(fù)雜，而導(dǎo)數(shù)則會為解題提供新的思路.利用導(dǎo)數(shù)解答這類問題往往需要以導(dǎo)數(shù)成立的充要條件為依據(jù)進(jìn)行分類討論，得到的值還需要驗證是否滿足題意，整理得到參數(shù)的取值范圍.

例3設(shè)函數(shù) ，其中 agt; 0，求 Ω_a 的取值范圍，使函數(shù) f（x） 在區(qū)間 [0，+∞） 0上是單調(diào)函數(shù).

思考 此題可以利用定義法求解，但求解過程

較為繁瑣，利用導(dǎo)數(shù)則較為簡便.本題可導(dǎo)函數(shù)

（204號 f（x） 在 [0，+∞） 上是增函數(shù)的充要條件是 f^′（x）?

0，為減函數(shù)的充要條件是 f^′（x）?0 ，對 [0，+∞） 恒

成立，繼而求解.解 當(dāng) x∈[0，+∞） 時， 若 f（x） 在區(qū)間 [0，+∞） 上是增函數(shù)，則

f^′（x）?0， 所以 ，對 x∈[0+∞） 恒成立，所以 所以 a?0 ，不符合題意，舍去；若 f（x） 在區(qū)間 [0，+∞） 上是減函數(shù)，則

f^′（x）?0 所以 ，對 x∈[0，+∞ ）恒成立，因為 ，所以 a?1 ，綜上所述，當(dāng) a?1 時，函數(shù) f（x） 在區(qū)間

[0，+∞） ）上是單調(diào)函數(shù).4結(jié)語

深入理解導(dǎo)數(shù)的概念，并將其應(yīng)用在一些證明不等式、三角恒等式以及求解函數(shù)的參數(shù)取值范圍等問題中，不僅為解題創(chuàng)造了一種新的思路，也拓寬了學(xué)生的思維.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫艷艷.巧借導(dǎo)數(shù)分析，別樣化解難題一 —例談導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（33）：70—71.