用構造函數法解比較大小問題

1引言

在高中數學中，比較大小問題是常見題型之一，尤其是在處理指數、對數、階乘等復雜函數形式時，直接比較往往困難重重.構造函數法通過抽象問題特征，構造合適的輔助函數，將問題轉化為函數的單調性、極值或增長特性的分析.這種方法不僅簡化了求解過程，還提高了解題的嚴謹性與效率.本文將對構造函數法進行系統分類，并通過典型例題剖析其在實際問題中的應用.

2 實際問題中的應用

2.1 移項構造法

移項構造法通過將比較對象整理為函數形式，利用移項構造單變量函數，通過分析單調性或極值判斷大小關系.這種方法適用于冪函數、指數函數及復合函數的比較，尤其在快速確定變量大小關系時非常高效.

例1已知 agt;bgt;cgt;dgt;0 ，當 xgt;0 時，比較 a^x-b^x 和 c^x-d^x 的大小.

解析解這類題目第一個步驟就是移項構造函數： f（x）=a^x-b^x-（c^x-d^x） .第二步則需要求導，分析函數性質

根據 agt;bgt;cgt;d 且 得 f^′（x）gt;0. 因此， f（x） 在 xgt;0 時為增函數.結合x=0 時 f（0）=0 ，得 f（x）gt;0 ，即 a^x-b^xgt;c^x-d^x 例2 比較 2023²⁰²⁴ 和 2024²⁰²³ 的大小.

解析 同樣的，對于比較大小問題，第一步就是移項構造函數，定義輔助函數： 0），這個函數是基于冪指數的增長特性，將復雜的冪比較問題轉化為單變量函數的分析.

第二步分析函數單調性，當 x=e ，有 f^′（e）=0 即函數在 x=e 處達到最大值.當 x 0，所以 f^′（x）gt;0 ，即 f（x） 在（O，e）上單調遞增.當 xgt;e，1-lnxlt;0 ，所以 f^′（x）lt;0 ，即 f（x） 在（e，+∞） ）上單調遞減.結論： f（x） 在 x=e 處取極值，先增后減.

接著可以比較兩個數：因 elt;2023lt;2024 ，得f（2023）gt;f（2024） ，故 進一步推出答案： 2023²⁰²⁴gt;2024²⁰²³

2.2 作差構造法

作差構造法通過對兩個量取差值，將大小關系轉化為輔助函數的正負性分析.這種方法的核心在于研究作差函數的性質，如單調性和極值點位置，是處理線性函數、指數函數及對數函數大小比較的常用手段.

例3 比較 e^0.5 和 的大小.

解析 當需要判斷 e^0.5 和 的大小關系，但是直接比較并不直觀時，可以嘗試通過作差構造輔助函數來分析.

直接定義輔助函數 ，將兩者的差轉化為函數值的研究對象.這個函數的構造來源于對 y=e^x 的觀察，即其增長特性與線性函數 有一定的差異，兩者作差比大小，將大小比較轉化為 f（x） 的正負判斷； y=e^x 是指數函數， 是一次函數，單獨分析它們的大小很難，但將差值轉換成函數后，就能用導數研究f（x） 的單調性、極值，系統性解決問題.

研究 f（x） 的性質可以幫助判斷差值的正負.先求導數： f^′（x）=e^x-2. ，可知：當 時，f^′（x）gt;0 ，即 f（x） 單調遞增；當 x′（x）lt;0 ，即 f（x） 單調遞減.函數 f（x） 的極小值出現在 處，計算極小值： f（ln2）=e^ln2- 由于 ≈0.693 ，得 f（ln2）≈-0.386. 接著驗證當 x=0.5 4 估算 1.648（注：直接數值對比是“結果驗證”，函數法推導是“原理證明”，數學分析題里若要“論證大小關系”，函數法推導更嚴謹、更具普適性，所以文中優先用函數性質推導，而非單純依賴估算值對比.），得f（0.5）=1.648-2.5=-0.852. 說明在 x=0.5 時， f（x）lt;0 因此，

·

例4設函數

（1）若求實數 a 的值；

（2）分析函數 f（x） 的單調區間.

解析 （1）由題意， f（x） 的導數為： f^′（x）=a 切線的斜率等于導數值，因此在 x=e 時 又知 ，代人可得 （2）討論函數的單調性，已知 f^′（x）=a- 令 f^′（x）=0 ，可得 解得 x 1

由導數符號分析：當 時， 即f^′（x）lt;0 ，函數遞減；當 時， 即f^′（x）gt;0 ，函數遞增.

綜上，函數 f（x） 的單調性為：在區間 遞減；在區間 上遞增.

這道題的難點在于對導數性質的綜合理解與應用，尤其是將臨界點 和單調區間分段討論結合起來，這對學生的邏輯推理能力提出了一定要求.

2.3 特征抽象構造法

特征抽象構造法通過抽象表達式或問題的關鍵特征，構造能夠反映增長趨勢的函數.這種方法通常適用于階乘、冪函數等快速增長問題，通過對輔助函數的分析提煉出變量間的比較關系.

例5 比較 n ！和 n^′ 的大小 （n?1 .

解析問題抽象與特征分析： ?（?） 表示階乘， $n ^ { ＼dprime }$ 表示 n 的 n 次冪.兩者隨 n 增大都會快速增長，因此直接比較不易處理.可以抽象出兩者增長速率的特征，通過對比二者的對數值解決問題.定義輔助函數： ，并分析函數性質.根據階乘的性質： 將其與 對比：當 ，且 二者相等；當 的增長速率小于 ，即

通過數學歸納法進一步驗證：當 n=1，1！=1¹ ，成立；假設 k！Δ ，證明 （k+1） ！ lt;（k+1）^k+1 ：（k+1）！=（k+1）?k！ ，根據假設 k！k ，有（k+1）！lt;（k+1）?k^klt;（k+1）^k+1. 結論：對于n?1 ，總有 n！n ·

本題通過對兩種快速增長函數的比較，訓練了學生對抽象函數的構造與分析能力，同時強化了數學歸納法在證明中的應用.

3結語

通過本文的分析與例題展示，可以看出構造函數法在比較大小問題中的廣泛應用價值.移項構造法、作差構造法和特征抽象構造法各有優勢，能夠高效解決復雜的數值比較問題.掌握這一方法不僅能提高解題效率，還能加深對數學中函數特性與增長規律的理解，為應對更復雜的問題奠定堅實的基礎.

參考文獻：

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