
1引言
在高中數學中,比較大小問題是常見題型之一,尤其是在處理指數、對數、階乘等復雜函數形式時,直接比較往往困難重重.構造函數法通過抽象問題特征,構造合適的輔助函數,將問題轉化為函數的單調性、極值或增長特性的分析.這種方法不僅簡化了求解過程,還提高了解題的嚴謹性與效率.本文將對構造函數法進行系統分類,并通過典型例題剖析其在實際問題中的應用.
2 實際問題中的應用
2.1 移項構造法
移項構造法通過將比較對象整理為函數形式,利用移項構造單變量函數,通過分析單調性或極值判斷大小關系.這種方法適用于冪函數、指數函數及復合函數的比較,尤其在快速確定變量大小關系時非常高效.
例1已知 agt;bgt;cgt;dgt;0 ,當 xgt;0 時,比較 ax-bx 和 cx-dx 的大小.
解析解這類題目第一個步驟就是移項構造函數: f(x)=ax-bx-(cx-dx) .第二步則需要求導,分析函數性質

根據 agt;bgt;cgt;d 且
得 f′(x)gt;0. 因此, f(x) 在 xgt;0 時為增函數.結合x=0 時 f(0)=0 ,得 f(x)gt;0 ,即 ax-bxgt;cx-dx 例2 比較 20232024 和 20242023 的大小.
解析 同樣的,對于比較大小問題,第一步就是移項構造函數,定義輔助函數:
0),這個函數是基于冪指數的增長特性,將復雜的冪比較問題轉化為單變量函數的分析.
第二步分析函數單調性,當 x=e ,有 f′(e)=0 即函數在 x=e 處達到最大值.當 x 0,所以 f′(x)gt;0 ,即 f(x) 在(O,e)上單調遞增.當 xgt;e,1-lnxlt;0 ,所以 f′(x)lt;0 ,即 f(x) 在(e,+∞) )上單調遞減.結論: f(x) 在 x=e 處取極值,先增后減.
接著可以比較兩個數:因 elt;2023lt;2024 ,得f(2023)gt;f(2024) ,故
進一步推出答案: 20232024gt;20242023
2.2 作差構造法
作差構造法通過對兩個量取差值,將大小關系轉化為輔助函數的正負性分析.這種方法的核心在于研究作差函數的性質,如單調性和極值點位置,是處理線性函數、指數函數及對數函數大小比較的常用手段.
例3 比較 e0.5 和
的大小.
解析 當需要判斷 e0.5 和
的大小關系,但是直接比較并不直觀時,可以嘗試通過作差構造輔助函數來分析.
直接定義輔助函數
,將兩者的差轉化為函數值的研究對象.這個函數的構造來源于對 y=ex 的觀察,即其增長特性與線性函數
有一定的差異,兩者作差比大小,將大小比較轉化為 f(x) 的正負判斷; y=ex 是指數函數,
是一次函數,單獨分析它們的大小很難,但將差值轉換成函數后,就能用導數研究f(x) 的單調性、極值,系統性解決問題.
研究 f(x) 的性質可以幫助判斷差值的正負.先求導數: f′(x)=ex-2. ,可知:當
時,f′(x)gt;0 ,即 f(x) 單調遞增;當 x′(x)lt;0 ,即 f(x) 單調遞減.函數 f(x) 的極小值出現在
處,計算極小值: f(ln2)=eln2-
由于
≈0.693 ,得 f(ln2)≈-0.386. 接著驗證當 x=0.5 4
估算
1.648(注:直接數值對比是“結果驗證”,函數法推導是“原理證明”,數學分析題里若要“論證大小關系”,函數法推導更嚴謹、更具普適性,所以文中優先用函數性質推導,而非單純依賴估算值對比.),得f(0.5)=1.648-2.5=-0.852. 說明在 x=0.5 時, f(x)lt;0 因此, 
·
例4設函數 
(1)若求實數 a 的值;
(2)分析函數 f(x) 的單調區間.
解析 (1)由題意, f(x) 的導數為: f′(x)=a
切線的斜率等于導數值,因此在 x=e 時
又知
,代人可得
(2)討論函數的單調性,已知 f′(x)=a-
令 f′(x)=0 ,可得
解得 x
1
由導數符號分析:當
時,
即f′(x)lt;0 ,函數遞減;當
時,
即f′(x)gt;0 ,函數遞增.
綜上,函數 f(x) 的單調性為:在區間 遞減;在區間
上遞增.
這道題的難點在于對導數性質的綜合理解與應用,尤其是將臨界點
和單調區間分段討論結合起來,這對學生的邏輯推理能力提出了一定要求.
2.3 特征抽象構造法
特征抽象構造法通過抽象表達式或問題的關鍵特征,構造能夠反映增長趨勢的函數.這種方法通常適用于階乘、冪函數等快速增長問題,通過對輔助函數的分析提煉出變量間的比較關系.
例5 比較 n !和 n′ 的大小 (n?1 .
解析問題抽象與特征分析: ?(?) 表示階乘, $n ^ { \dprime }$ 表示 n 的 n 次冪.兩者隨 n 增大都會快速增長,因此直接比較不易處理.可以抽象出兩者增長速率的特征,通過對比二者的對數值解決問題.定義輔助函數:
,并分析函數性質.根據階乘的性質:
將其與
對比:當
,且
二者相等;當
的增長速率小于
,即 
通過數學歸納法進一步驗證:當 n=1,1!=11 ,成立;假設 k!Δ ,證明 (k+1) ! lt;(k+1)k+1 :(k+1)!=(k+1)?k! ,根據假設 k!k ,有(k+1)!lt;(k+1)?kklt;(k+1)k+1. 結論:對于n?1 ,總有 n!n ·
本題通過對兩種快速增長函數的比較,訓練了學生對抽象函數的構造與分析能力,同時強化了數學歸納法在證明中的應用.
3結語
通過本文的分析與例題展示,可以看出構造函數法在比較大小問題中的廣泛應用價值.移項構造法、作差構造法和特征抽象構造法各有優勢,能夠高效解決復雜的數值比較問題.掌握這一方法不僅能提高解題效率,還能加深對數學中函數特性與增長規律的理解,為應對更復雜的問題奠定堅實的基礎.
參考文獻:
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