1引言

不等式證明是數學中的一個重要課題，許多數學問題的解決依賴于對不等式的深刻理解和熟練運用.掌握多種不等式證明方法，就意味著在面對不同類型的不等式時，學生可以選擇最合適的方法來簡化證明過程，而這不僅是學生完成數學學習的基本要求，也是研究和解決更復雜問題的關鍵.因此，結合例題展開相關的研究闡述極具現實教育價值，

2 反證法

反證法作為經典數學證明方法之一，其核心內容是通過否定假設結論，推理矛盾，間接證明原命題的正確性.反證法在證明一些形式復雜或者涉及多個條件的不等式時較為常用.反證法的優勢在于能夠通過推翻不可能的假設來間接地確認原命題的成立[1-2].

例1已知 x，y 都是正實數，且 x+y?2 （1）求 x²+y² 的最小值；

（2）求證： 和 至少有一個成立.

解析本題考查用反證法證明命題.在解答證明題時，對于一些條件相對較少或者證明時需要分類討論的題型，可以試用此方法證明問題.本題中的證明結論結構較復雜，而其否定結構簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結論成立.

（1）解 因為 x，y 都是正實數，且 x+y?2 .所以

當且僅當 x=y 時等號成立，

所以

所以 x²+y² 的最小值為2.（2）證明 假設 和 都不成立，即 和 1+ygt;2同時成立.

因為 xgt;0 且 ，

所以 1+xgt;2y ，且 1+ygt;2x ，

兩式相加得 2+x+ygt;2x+2y

所以 x+ylt;2 ，

這與已知條件 x+y?2 矛盾，

所以 和 至少有一個成立.

點評有些不等式無法從正面證明，可以考慮反證法.含有“至少\"“唯一”或否定詞的命題，適宜用反證法.

3比較法

比較法是不等式證明中常用的方法之一，具體劃分為作商法和作差法，雖然兩種方法的使用條件有所差異，即作商法通過構造比值揭示比例關系，作差法則基于構造差值分析增減變化，但兩者都能夠幫助學生簡化不等式，進行合適的推導，并最終得出結論[3-4].

例2 已知函數 f（x）=|x|+|x-3| （1）求不等式 f（x）lt;4-|x| 的解集；

（2）若 f（x） 的最小值為 λ_m ，且實數 a，b，c 滿足a（b+c）=m ，證明： 2a²+b²+c²≥m+3.

解析本題考查絕對值不等式的解法、不等式的證明，以及學生的轉化思想和計算能力.解題過程中只需通過去掉絕對值符號，簡化不等式求解，并由絕對值不等式的性質可得出結果 m=3 ，然后利用重要不等式完成證明即可.

（1）解 不等式 f（x）lt;4-|x| ，可化為 2∣x∣+∣x-3∣lt;4. ① 當 x?0 時，不等式可化為 -2x-（x-3）lt;4 即 -3xlt;1 由此可得解 ，故 ：② 當 0 ，顯然與 x?3 矛盾，不等式無解.綜上，不等式 f（x）lt;4-|x| 的解集為

（2）證明 由絕對值不等式的性質可得，

|x|+|x-3|?|x-（x-3）|=3，

所以當 0?x?3 時取得等號， f（x） 的最小值為3，

即 m=3 ，所以 a（b+c）=3 即 ab+ac=3 ，所以 2a²+b²+c²=（a²+b²）+（a²+c²）? 2ab+2ac=6 .即 2a²+b²+c²≥m+3 當且僅當 時，等號成立.

點評當多項式結構且次數較低時優先考慮 作差法，指數形式或者冪次較高且兩邊為正數時可 嘗試作商法，兩邊式子正負不確定時作差法更通用， 兩邊式子均為正數時可考慮作商法.

4結語

總之，不等式的證明方法是多種多樣的，常見有直接證明法、數字歸納法、函數單調性法、比較法等.而要選擇合適的證明方法，需要學生具體進行不等式形式、問題上下文，以及證明技巧等的深入分析與總結，同時也需要學生對每種證明方法的特點、適用范圍等有扎實的了解，只有充分掌握這些方法并能靈活運用，學生才能夠有效提高不等式證明的效率和準確性.

參考文獻：

[1]張立青.不等式證明中的常用方法歸納[J].數理天地（高中版），2024（19）：2-3.

[2]尹丹青.不等式的證明方法賞析[J].中學生數理化（高考數學），2022（116）：33-34.

[3」杜成北，陳景文.一道多參不等式證明方法探究LJ」.中學數學研究，2022（3）：53-54.

[4]湯曉玲.不等式證明的幾種解題方法[J].數理化解題研究，2021（19）：66—67.