例談一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一次函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的函數(shù)類型之一，其表達(dá)式為 y=kx+b（k，b 為常數(shù)， k≠0; .一次函數(shù)的性質(zhì)，如 k 決定函數(shù)的增減性 ?^b 決定函數(shù)與 軸的交點(diǎn)等，成為解決各種實(shí)際問題有力的工具.

1根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)比較參數(shù)值的大小

例1如圖1，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系中有 δ_A，B，C 三點(diǎn)，設(shè)直線 AB，BC，AC 的解析式分別為 y₁=k₁x+b₁，y₂= k₂x+b₂，y₃=kx+b₃ 若 b₂，p=2k₃+b₃ ，則下列判斷正確的是（ ）

（A）ngt;mgt;p.（B）mgt;ngt;p. （C）mgt;?gt;n.（D）?gt;mgt;n.

解析如圖2，當(dāng) x=2 時(shí)， 2k₂+b₂，p=2k₃+b₃ ，觀察圖象得：當(dāng) x=2 時(shí)，直線 AB 位于 BC 的上方，直線 BC 位于 AC 的上方，所以， mgt;ngt;p ，故選（B）.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了的圖象利用一次函數(shù)的性質(zhì)比較參數(shù)值的大小.觀察圖象得：當(dāng) x=2 時(shí)，直線 AB 位于 BC 的上方，直線 BC 位于 AC 的上方，據(jù)此即可求解.

2根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求最值

例2學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們探索了函數(shù) y=|x+1| 的圖象和性質(zhì)，過程（部分）如下：x 的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，表1給出了 與 x 的幾組對(duì)應(yīng)值.

由表1數(shù)據(jù)，在圖3中的平面直角坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出了一部分的函數(shù)圖象.

（1）請(qǐng)補(bǔ)全該函數(shù)的圖象；

（2）觀察圖象，寫出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)： ；

（3）已知函數(shù) y=|x+n| （其中 n 為常量），當(dāng)自變量的取值范圍是 -2?x?2 時(shí)，該函數(shù)的最大值為 n+3 ，請(qǐng)求出滿足條件的 Ω_n 的值.

解析 （1）補(bǔ)全函數(shù)圖象如圖4所示.

（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=-10 （答案不唯一）.

（3）① 若 -n?0 ，即 n?0 ，當(dāng) x=2 時(shí)，函數(shù)取最大值，可得 ∣2+n∣=n+3 ，即 2+n=n+3 ，無解，舍去.

② 若 -ngt;0 ，即 nlt;0 ，當(dāng) x=-2 時(shí)，函數(shù)取最大值，可得 |-2+n|=n+3 ，即 2-n=n+3 ，解得 ，符合題意.

綜上，滿足條件的 n 的值為

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了一次函數(shù)性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.本題第（3）問中，在 -2?x?2 范圍內(nèi)，分-n?0，-ngt;0 兩種情況，分別利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

3運(yùn)用一次函數(shù)的規(guī)律探究問題

例3如圖5，點(diǎn) A₁°A₂°A₃°…，A_n 在 x 軸上，點(diǎn) B₁，B₂，B₃，…，B_n 在直線 上.已知 B₁O= B₁A₂，B₁A₁⊥x 軸， A₂B₁ // A₃B₂ // A₄B₃ ，…A₁B₁//A₂B₂//A₃B₃ ，若 OA₁=1 ，則點(diǎn) B₅ 的坐標(biāo)為（ ）

（A）（10，5）. （B）（12，6）.

（C）（14，7）. （D）（16，8）.

解析 B₁O=B₁A₂ ，所以 ΔOA₂B₁ 是等腰三角形，而 B₁A₁⊥x 軸，得 OA₂=2OA₁ ，同理可知：OA_n+1=2OA_n ，因?yàn)?OA₁=1，OA₂=2，OA₃=4 ，OA₄=8 ，所以 OA_n=2^n-1 ，所以 OA₅=2^5-1=16 ；又點(diǎn) B_n 在 上，所以當(dāng) OA₅=16 時(shí)，即 x=16 （204號(hào)是，y ，可得點(diǎn) B₅（16，8） .故選（D）.

點(diǎn)評(píng)本題考查一次函數(shù)與圖形規(guī)律的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖形得到規(guī)律： OA_n=2^n-1 ，根據(jù) OA₁=1 ，求出 OA₅=2^5-1= 16，再根據(jù)點(diǎn)B在y= x上求解即可.

4結(jié)語(yǔ)

一次函數(shù)的性質(zhì)在眾多領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用.通過對(duì)一次函數(shù)性質(zhì)的深入理解和熟練運(yùn)用，能夠有效地解決各種相關(guān)的實(shí)際問題.在學(xué)習(xí)和應(yīng)用一次函數(shù)的過程中，不僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力，也讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系.在實(shí)際生活中，一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用更是無處不在.無論是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的成本與收益分析，還是物理領(lǐng)域中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，一次函數(shù)都能發(fā)揮重要作用，為學(xué)生提供準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型和解決方案.因此，應(yīng)當(dāng)重視對(duì)一次函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)和掌握，不斷探索其在更多領(lǐng)域的應(yīng)用潛力，為未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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