在解構、建構與重構中發展空間觀念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。\"空間觀念的形成與發展不是一蹴而就的，而是漸進且隱性發展的過程。在教學中，教師經常發現，一些學生對空間的感知往往停留于現實世界的直觀事物或直接經驗，不能在生活經驗的基礎上提升空間意識，形成空間表象。為此，教師可以結合相關教學內容，引導學生解構已有知識經驗，通過對這些經驗的不斷調整、修正和補充，自主進行新圖式的建構與表達，逐步豐富空間表象。下面以“用方向和距離確定位置\"為例，探討如何促進學生以數學的方式重構物體間的位置關系，從而發展學生的空間觀念。

一、解構：基于經驗的回顧

學生形成空間知覺的基礎是豐富多彩的現實世界。學生在真實的現實空間生活、學習，可觸可感的方物在他們頭腦中是具象的。具象的物體、真實的空間，使得學生對物體之間的位置關系積累了一定的生活經驗。學生的這些生活經驗及其認知經驗，就是他們學習的出發點。教師需要引導學生對自我認知進行客觀的分解剖析，明確對于現實生活中的問題，哪些是利用已有認知能夠解決的，哪些是目前不能解決的，其繼續探究的方向是什么。

在學習“用方向和距離確定位置\"之前，學生已經能熟練運用前后、左右、上下以及東、南、西、北、東南、西南等方位詞描述生活中的位置。課始，教師出示圖1，讓學生描述物體間的相互位置：小牛在小雞的前面，牛奶和青菜在西紅柿下面，人民橋在學校的西北面激活學生的相關經驗。接著引導學生回憶：生活中有哪些情境也是像這樣描述位置的？學生由此聯想到超市排隊結賬、在書架上找書以及陌生人問路等情境。通過實際場景的回顧，學生感受到這樣只能描述物體的大致方位，或者是知道物體的位置范圍，要確定物體的具體位置還需要沿著方位繼續尋找。如果不需要表示物體的精確位置，那使用方位詞描述會比較方便。

然而，在生活中，人們經常需要表示物體的準確位置。怎樣可以表示物體的準確位置呢？學生聯想到“數對”。教師可以繼續引導學生思考：在哪些情境中可以用數對表示位置？生活中需要表示精確位置時都可以用數對嗎？學生列舉了棋盤上棋子的位置、演員在團體表演方陣中的位置、教室中同學的座位等情境，但同時也意識到，生活中用數對表示位置的情況非常有限，只有當許多物體排成整齊的行與列時，才可以用數對來表示位置。如果物體沒有按照行與列排列，就無法用數對表示。用數對表示位置的局限性顯而易見。

通過對已有知識經驗的解構，學生更加明晰已有確定位置的方式只能在特定情境中運用，不能滿足其他情境中問題的解決。表示物體位置應該由模糊走向精確，由精確表示特定位置發展為精確表示任意位置。由此，學生的認知有了明確的生長方向：怎樣確定平面上物體的任意位置？空間意識得到覺醒，從而喚起了突破經驗制約的內在需求，即由物體間的特殊位置關系向自然狀態下的一般位置關系延展，由一維位置關系向二維位置關系延伸。

二、建構：基于問題的指引

面對新情境、新問題，學習者需要調節自己的內部結構以適應特定刺激。當學習者遇到不能用原有的圖式來同化的新刺激時，便要對原有圖式加以修改或重建，以適應新環境。如此，通過自我調節機制，使認知發展從一個平衡狀態向另一個平衡狀態過渡。2]教師可以創設具有挑戰性的問題情境，通過核心問題，引領學生經歷認知發展由“平衡一不平衡一新平衡\"的變化與突破，實現有意義的建構。

教學“用方向和距離確定位置”時，教師可以創設海上遇險求救的情境：在蒼茫的大海上有一艘輪船出故障了，船長發出求救信號等待救援。海上援助中心收到求救信號后安排一艘救援艦前去救援。援助中心通過雷達掃描，發現了輪船與救援艦的位置（如圖2）。

教師提問：“為了讓救援艦盡快進行救援，應怎樣向艦長描述輪船位置？”各小組據此展開合作探究學習。經過認真討論和動手測量，他們呈現了不同的描述： ① 輪船在救援艦東北方向30千米處； ② 輪船在救援艦東北 30^° 方向30干米處； ③ 輪船在救援艦東北 60^° 方向30千米處； ④ 輪船在救援艦北偏東 30^° 方向30千米處； ⑤ 輪船在救援艦東偏北 60^° 方向30干來處。通過交流不難發現，學生因準確描述位置的內在需求，既描述了輪船方向，也描述了輪船與救援艦的距離。學生對輪船與救援艦的距離沒有異議，根據測量出的圖上距離和比例尺就可以直接計算出來。但是對輪船的方向有不同的表達。哪一種表達是清晰而沒有歧義的呢？學生經歷比較、分析，甄別出不同表達的優勢與不足：描述 ① 表示的方向是一片區域，方向不明確；描述 ②③ 表示的角度因基準不明容易引起歧義；描述 ④⑤ 表示的方向明確且沒有歧義，但基準方向不同導致兩種說法有差別，如果統一基準，方向表達就能達成一致。那么，以南北為基準與以東西為基準，哪種更加合理呢？教師又引導學生跨越學科尋找依據與支持。經過分享交流，學生結合地球磁場方向與相關歷史文化進行綜合分析，一致認為以南北為基準更加科學合理。由此，學生對輪船的位置描述達成了共識：輪船在救援艦北偏東 30^° 方向30干米處。

由以上過程可以著出，確定輪船位置經歷了曲折而復雜的過程。為便于救援艦實施救援，需確定輪船的準確位置。在這樣的問題情境下，學生基于已有認知展開了合作探究。雖然他們展現出的探究結論多種多樣，但是從方向和距離兩個維度描述輪船位置是每個小組共同的做法。這是學生在問題情境中調用認知經驗尋求問題解決，由認知不平衡邁向新的平衡所做的努力。學生的同向努力表現出明顯的個性化特征及學習水平的差異。這是每個學生參與的結果，也是真實鮮活的課堂呈現。經過生生對話，在比較與接納中去異存同、去劣存優，學生建構了用角度表示方向的方法。但基準的不同造成了表達的不統一。新的認知平衡狀態又一次被打破，學生又投入到新問題（即基準如何統一）的辨析中。問題指引著學生的探索逐步深人。他們在同伴啟發與思維碰撞下，在否定之否定中經歷了思維的螺旋上升，切身感受到角度與方向內在的聯系一一正是角度的運用使任意方向的表達得以實現，從而真正體會到規定的合理性，完成了在平面上用方向和距離確定物體任意位置的自主建構。

三、重構：基于反思的體悟

為解決現實問題，學生將原有的認知進行重組或改造，建構了新的認識。但新的平衡狀態不夠穩固，還需要變換不同情境對其加以靈活應用，在不同問題的解決中觸及隱含的本質。直至剝離具體情境抽象成一般化的認識，數學化的內核才會逐步清晰明朗。

在\"用方向和距離確定位置”的教學中，當學生在探索與交流中建構了用方向和距離描述物體的位置后，教師可以設計對比的應用情境，讓學生在應用中比較，在比較中深化認識，逐步發展空間觀念。教師設計了這樣的練習情境：揚州的大運河博物館聞名全國，許多游客慕名而來。游客們坐高鐵來揚州，可以到達揚州站，也可以到達揚州東站。揚州站、揚州東站與大運河博物館的位置如圖3所示。根據這張圖，你能分別向到達揚州站和揚州東站的游客描述大運河博物館的準確位置嗎？

學生通過度量角度，發現大運河博物館在揚州站南偏東 65^° 方向8千米處，在揚州東站南偏西 50^° 方向6干來處。大運河博物館的位置不變，為什么兩次描述不同？由此，觀測點在描述物體位置中的作用被凸顯：觀測點不同，對同一物體位置的描述就不同。學生通過比較，對位置的相對性有了直觀的感受。在此基礎上，教師還可以讓學生以大運河博物館為觀測點，分別描述揚州站和揚州東站的位置，再對比這三個地點的位置描述，說說能發現什么。以揚州站和大運河博物館為例，揚州站在大運河博物館北偏西 65^° 方向8千米處，大運河博物館在揚州站南偏東 65^° 方向8干來處。學生不難發現：在這兩個地點的位置描述中，距離相同，以南北為基準偏的角度也相同，但方向是相反的。由此，學生對兩點之間位置的相對性有了深刻的感受，空間觀念也在此過程中悄然生長。

在“用方向和距離確定位置\"課尾，教師進一步啟發學生反思：方向和距離相結合能確定物體的準確位置，那如果只知道物體的方向，能確定物體位置的范圍嗎？如果只知道距離呢？學生通過畫圖發現：如果已知方向，只能確定物體的位置在一條射線上。如果已知距離，只能確定物體的位置在一個圓上。而當方向和距離同時確定，表示方向的射線和表示距離的圓就能形成一個交點，交點所在的位置就是物體的準確位置。通過這一過程，學生將思維從具體情境中抽離出來，把方向和距離兩個要素抽象成圖式，從而在頭腦中形成一般化的認識。

新知如果能和舊知建立起聯系，往往能促進學生完善或重構自身的認知結構。在學習了“用方向和距離確定位置\"后，教師組織學生討論：用數對可以確定物體的準確位置，用方向和距離也能確定物體的準確位置，這兩種確定位置的方式有什么不同？在學生回答前者是用列和行確定位置，后者是用方向和距離確定位置后，教師再引導學生觀察圖4，提煉出這兩種確定位置方式的共性。

對兩種確定位置方式的比較與反思已經舍棄了現實情境，使學生聚焦數學化的圖式。通過課件動態演示，學生發現：用數對確定位置時，根據列可以確定一條直線，根據行可以確定另一條直線，兩條直線相交的點就是目標位置。用方向和距離確定位置時，從觀測點出發，根據精確的方向可以確定一條射線，根據距離可以確定一個圓，射線和圓相交的點即目標位置。兩種確定位置的方法都是通過兩條線相交確定一個點。3原本迥異的兩種確定位置的方式，其隱含的本質通過圖式表達凸顯出來，便于學生挖掘出二者的共性，在更深層次實現二者的同化。由此，學生可以初步體悟平面上確定位置的共同方式一般都是通過兩條線相交確定一個點，兩條線分別對應兩個數，即兩個數據可以確定平面上的位置，為以后學習直角坐標和極坐標奠定基礎。教師還可以進一步帶領學生展開想象和猜想：如果在一個空間中確定一個位置，用兩個數據夠嗎？可能會用幾個數據呢？這樣由平面向空間的想象，既為知識結構的擴展作了鋪墊，也增強了學生的空間意識，為他們空間想象的發展奠定了基礎。

總之，教師引領學生在學習中經歷認知的主動解構、積極建構與反復重構過程，能不斷提升學生的空間知覺，豐富學生的空間表象，激發學生的空間想象，從而真正促進學生空間觀念的發展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]李一新.對“光的波粒二象性”的認知與教學[J].中學物理教學參考，2004（11）：8-9.

[3]部曉定.從粗略到精確：“用方向和距離確定位置”教學思考與實踐[J].小學數學教育，2017（10）：20-22.

（江蘇省揚州市江都區實驗小學）