“找規律解決問題”拓展課的問題提出教學

“探索規律”是小學數學教學滲透函數思想的重要載體。對此，筆者設計了數學拓展課“找規律解決問題”，安排在小學一年級下冊第六單元之后進行教學。本課依托“手鏈掉珠\"的真實情境創設了三個教學任務，要求學生通過觀察、操作、猜測等活動，發現圖形的簡單規律；根據規律推理結果，感受“規律\"就是一個“模式”，培養模型意識；再以實際的情境來打破這個“模式”，突破模式思維。為了體現教學的開放性，筆者采用問題提出的方式組織教學，使不同學習水平的學生可以提出不同思維層次的問題，在個性化的問題分析與解決中，實現思維的發展。

教學任務一：創設問題情境，建立掉珠模型

真實情境是數學課程不可或缺的部分。沒有真實情境，就難以培養學生真正的數學眼光，使其有機會發現問題、提出問題。2]為此，教師利用低段學生喜聞樂見的卡通人物“佩奇”，創設“手鏈掉珠”情境，請學生根據情境提出數學問題。接著圍繞學生提出的問題展開教學，引導學生探索規律，建立模型。

（一）創設掉珠情境，提出真實問題

教師用課件出示佩奇圖片，并詢問學生：“小朋友們，今天老師給大家帶來了一位小伙伴，你們看是誰呀？\"（學生齊答：佩奇）接著出示一串手鏈（如圖1），同時播放佩奇的話：“我按規律為大家穿了一串手鏈，但不小心掉了2顆珠子。”最后出示提示語：對于佩奇遇到的麻煩事，你有什么想問的嗎？

教師先讓學生同桌互相提問，然后請學生口述自己的問題。學生提出的問題如下。

① 一共有幾顆珠子？

② 掉了幾顆白珠、幾顆黑珠？

③ 這串珠子的排列有什么規律？

④ 還剩幾顆珠子？

⑤ 這2顆珠子是從哪個位置掉的？

在這一環節，教師借助學生喜愛的卡通人物“佩奇”創設掉珠情境，并用多媒體的手段加以呈現，既充滿童趣又貼近生活。面對這樣的情境，學生更容易提出問題。比如“這2顆珠子是從哪個位置掉的\"這個問題，是學生以數學眼光觀察、用生活經驗分析后提出的實際問題。它可以引導學生回到掉珠前的初始情境進行觀察、猜想，合情推理出2顆珠子可能從左掉落、從右掉落或是一左一右掉落，從而為后續的探究做好鋪墊。

（二）動手操作實踐，解決所提問題

在學生提出問題后，教師圍繞這些問題來推進教學進程。審視學生提出的五個問題之間的關系，以及這些問題與教學自標的適切度，可以發現：問題 ⑤ 是引導學生探究規律的前奏，具有實踐性、探究性和開放性等特點，能夠引發學生主動從不同角度對問題進行觀察、猜想和驗證，從而培養學生思維的靈活性和開放性。因此，教師決定先引導學生解決問題 ⑤ ，再陸續解決其他問題。

1.解決問題 ⑤

師：佩奇非常著急。你們能不能幫她找一找，珠子到底是從哪個位置掉的呢？

生1：可能是從右邊掉了2顆珠子。

（教師在黑板上掛出珠子，請學生上臺指出掉珠子的位置，并畫上2個圈表示所掉的珠子）

生2：也可能是從左邊掉了2顆珠子。

生3：還可能是左右兩邊各掉了1顆珠子。

2.解決問題 ②③

教師提問：“剛剛我們已經幫佩奇找到了掉珠子的位置，你能接著幫她弄清楚這些位置上的珠子分別是什么顏色的嗎？”隨后出示活動要求：圈一圈，找規律。在學習單的手鏈圖上用鉛筆畫出佩奇掉的2顆珠子，并將結果記錄下來。

學生完成學習單后，教師投影學生作品，并請學生上臺解讀自己的方法。

師：老師把某位同學的作品（如圖2）投影在了大屏上，你能看明白他是怎么找珠子的嗎？

生1：第一串是把2顆白的和1顆黑的圈在一起，以“白、白、黑”為一組。

（教師根據學生的回答，演示以“白、白、黑”為一組重復排列，并板貼）

師：按照這樣的規律，右邊掉的2顆珠子是什么顏色的？

生2：白色和黑色。

（教師請學生在第一串后面補上白色和黑色珠子）

師：那第二串呢？

生3：從右邊看是“白、黑、白\"3顆為一組重復排列，所以掉的是白珠和黑珠。

（教師演示，同時板貼，并請學生在第二串前面補上白色和黑色珠子）

師：最后一串誰看懂了？

生4：前面掉的是黑色珠子，后面掉的是白色珠子，以“黑、白、白”為一組重復排列。

（教師演示，同時板貼，并請學生在第三串的前后分別補上黑色和白色珠子）

在帶領學生解讀了三種可能的情形之后，教師提問：“剛才我們是怎么幫助佩奇解決她遇到的麻煩事的？\"引導學生歸納出解決問題的步驟：先“找位置\"（確定珠子掉的位置），然后“補珠子\"（畫上圓圈表示掉的珠子），再\"圈規律”（通過圈一圈尋找珠子的排列規律），最后“定顏色”（根據排列規律確定掉的珠子的顏色）。

3.設疑引問，發現規律

質疑是思維的起點，也是重要的思維活動。教學中，教師要創設機會，讓學生敢于提出自己的著法，并鼓勵學生積極思考、大膽質疑，發展學生的問題意識，從而培養他們的獨立思考能力和創新精神。

師：仔細觀察三串珠子的排列規律和它們掉落的珠子，你有什么想問的？

生1：為什么三串珠子的排列規律不一樣，掉落的珠子卻都是1顆白珠和1顆黑珠？

生2：這還是同一串珠子嗎？

生3：明明是同一串珠子，為什么有三種排列規律？

師：這的確很奇怪！我們把這三串珠子穿起來，看看有什么發現。（課件動態演示將三串珠子穿起來的過程，如圖3所示）

生4：我知道了，穿起來還是同一串。

生5：我發現，雖然穿起來后三串珠子的排列規律是一樣的，但打結的地方不一樣。

生6：打結的地方就是珠子掉下來的地方。

生7：三串珠子打開的時候排列規律不一樣，穿起來又變成一樣的了。

師：你們真會觀察和思考！如果老師把這個“結”去掉，三串手鏈就完全一樣了（課件演示三串手鏈合而為一）。當我們將三串珠子像手鏈一樣圍成一個封閉的環形，就可以從任何1顆珠子開始找規律。雖然三串珠子的排列規律不同，但因為它們掉落的白珠、黑珠的數量是一樣的，所以要解決“掉的是哪2顆”的問題，只需找到其中的一種排列規律就可以了。

在這個教學環節，教師以學生提出的三個問題“這2顆珠子是從哪個位置掉的？\"“這串珠子的排列有什么規律？\"“掉了幾顆白珠、幾顆黑珠？\"為支架，讓學生通過動手操作還原掉珠的真實情境，引發學生的第一次思維沖突。學生由此產生了“這還是同一串珠子嗎？\"“明明是同一串珠子，為什么有三種排列規律？”這樣的疑問。通過把這三串珠子穿起來還原成同一串手鏈，學生認識到穿珠子的起點不一樣，珠子的排列規律就不一樣，但掉珠的結果是一樣的。在此過程中，幫助學生建立解決掉珠問題的模型，即\"找位置一補珠子一圈規律一定顏色”，培養學生的模型意識。

教學任務二：再創掉珠情境，打破模式思維

模式有利于表征規律、運用規律，但也會使學生產生思維定式，限制學生思維的發散。因此，教師延續前面的主題，創設“佩奇的手鏈可不可能掉了3顆珠子\"的情境，再次引發學生的思維沖突。

教師用課件演示“佩奇媽媽撿到3顆珠子\"的情境，并出示問題：如果掉了3顆珠子，原來的那串手鏈會是什么樣的？讓學生嘗試自主解決。

教師收集并分享學生成果，同時引導學生圍繞這些成果展開分析討論。（教師大屏投放四幅學生作品，如圖4～圖7）

師：看了上面這些作品，你有什么發現？

生1：我發現，第一種是左邊掉3顆珠子（如圖4）；第二種是右邊掉3顆珠子（如圖5）；第三種是左邊掉1顆珠子，右邊掉2顆珠子（如圖6）;第四種是左邊掉2顆珠子，右邊掉1顆珠子（如圖7）。

生2：我發現排列規律和結果都不一樣了。上面的兩種是掉2顆白珠、1顆黑珠，下面的兩種是掉1顆白珠、2顆黑珠。

生3：我發現排列規律還是剛才那三種：白、白、黑，黑、白、白，以及白、黑、白。

生4：我發現最后都有1顆多出來了。

師：你們真會觀察，發現了這么多的秘密！上面四位同學都是先確定位置，再圈一圈找出規律。雖然排列規律還是與剛才的三種相同，但都多出了1顆珠子，且結果也與剛才的不一樣，有2白1黑和1白2黑兩種。我們把這幾串珠子也穿起來，看看能不能穿成有規律的手鏈。

教師用課件動態演示將四串珠子穿起來的過程，得到圖8、圖9兩種結果，引發學生的思考。

這個教學環節通過設置“佩奇媽媽撿到3顆珠子\"的情境來引出問題，一方面使真實的情境得到延續，另一方面讓學生對解決掉珠問題的模型（程序）進行模仿鞏固。最后，通過演示將四串珠子穿成手鏈的過程驗證結果，造成學生第二次思維沖突，促進學生從不同角度來思考問題，從而打破原來的定式，把學生的思維提升到另一個維度。

教學任務三：感受周期循環，滲透無限概念

數學規律是指數學中存在的重復出現的現象和模式。借助數學規律，就可以根據已知有限項序列生成無限項序列。為了讓一年級學生在初次接觸規律時就能初步感受到“周期\"“無限\"等概念，滲透函數思想，教師設計了“找星星\"的教學拓展情境。

教師先用課件播放佩奇的語音：“小朋友們，我又回來了！這次我帶來了一個神秘的箱子，想把里面的星星送給表現最好的小朋友。大家快來找星星吧！\"接著出示要求（如圖10）。

找規律，畫出箱子里的星星。

生5：第一種前面的排列規律都是“白、白、黑”，最后一圈卻是“白、白、黑、白”，多了1顆白珠（如圖8）。

生6：不符合規律了。

生7：第二種的排列規律是“黑、白、白”，但最后多了1顆黑珠，所以也不符合規律了（如圖9）。

師：所以

生8：佩奇的手鏈不可能掉3顆珠子。

生9：佩奇的手鏈掉了2顆珠子，還有1顆不是從她的手鏈上掉的。

教師呈現圖11和圖12兩幅學生作品，這也是多數學生的答案。教師分別請學生說一說從這兩幅作品中找到的星星排列規律，以及箱子里的星星是否符合這樣的排列規律。學生用前面歸納的“找位置一補珠子一圈規律一定顏色\"模型，根據不同的起點找到不同的排列規律，補上了箱子里的星星，最終得到不同數量的星星。

教師接著呈現第三幅學生作品（如圖13），圍繞該作品展開交流。

師：這位同學的答案很特別！他找到了什么規律？你能看明白嗎？

生1：他找到的規律是白、黑、黑、白、黑、黑、 白、黑、黑……

師：他找到的星星符不符合規律？

生2：符合，雖然只有2顆。

師：讓我們按規律一起讀一讀。

生（齊）：白、黑、黑、白、黑、黑、白、黑、黑…

師：那佩奇的箱子里到底有多少顆星星呢？實際上，佩奇的箱子比我們想象中的還要大、還要深，里面藏著許許多多的星星。（課件呈現圖14）

生（齊）：哇！

師：如果這個箱子再變大一些，里面星星的數量會發生什么變化？

生3：會變得越來越多。

師：是的，里面的星星可能會有很多很多。只要箱子夠大，星星可以按規律一直循環下去。

任務一和任務二呈現的是一條封閉的環形手鏈，且掉落的珠子數量是已知的，所以規律的序列是有限的，珠子的數量也是有限的。但在任務三中，學生可以得出多個不同的答案，從而感受到箱子里規律的序列（循環）可以是一個，也可以是多個。在此基礎上，教師再借助圖14的周期循環，實現從有限項序列向無限項序列的拓展延伸，讓學生感受“無限”這個概念，從而幫助學生形成模型思想，為今后學習用函數表達規律做好鋪墊。

以上教學實踐用卡通人物佩奇串聯情境，以學生提出的問題為支架，讓學生通過完成三個任務，經歷三次思維沖突：第一次是同一串手鏈可以有不同的排列規律；第二次是按規律補上珠子穿起來后卻不成規律；第三次是星星數量可以不同，甚至無限多。在此過程中，培養學生問題意識，發展學生思維水平，提升學生核心素養。

參考文獻：

[1]賈隨軍，姚一玲.問題提出的回顧與展望：美國特拉華大學終身教授蔡金法訪談錄[J].教學月刊·小學版（數學），2021（10）：8-13.

[2]孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀：小學數學M.北京：教育科學出版社，2022：12.

（浙江省杭州市蕭山區新街第三小學）