單位化思想統領下除法運算的學習路徑

單位化思想是一種用“單位”來量化研究對象，從而簡化問題解決過程的思維策略。在小學數學學習中，單位化思想貫穿計數、計算、測量等多個領域。尤其是在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標\"實施以后，“計數單位\"作為構建運算一致性的關鍵基礎備受重視。借助計數單位，既能對運算對象進行量化，又能深入剖析運算背后的思維邏輯。然而，在除法教學中，由于其存在“等分除”與“包含除”兩種意義，學生想要借助計數單位來把握運算的一致性存在一定困難。為解決這一難點，筆者以計數單位為核心概念，依托“除數是兩位數的除法”單元，精心設計“等分除模型\"\"包含除模型\"\"等分、包含并行模型”三種學習路徑，以此開展單位化思想統領的教學實踐，幫助學生更好地把握除法運算的一致性，實現對除法運算本質的深刻理解。

一、把握除法運算一致性的難點

根據2022年版課標，數與運算的教學應強調計數單位的重要性，引導學生體會數的運算的一致性。在除法運算中，一致性體現為計數單位與計數單位相除，計數單位的個數與計數單位的個數相除。然而，除法運算具有復雜性，它建立在平均分的基礎上，可分為等分除、包含除兩種模型。其中，“等分除\"強調將整體平均分成若干份，每份的數量相等；“包含除”則側重于看一個數里面包含了多少個另一個數。這種差異使得除法運算的意義難以用單一的“計數單位相除\"來概括和解釋。

此外，教材的編排也對除法運算一致性的把握有影響。以人教版教材為例，其在除法兩種意義的布局上較為均衡。在起始階段，無論是除法意義還是除法運算，教材對“等分除\"和“包含除\"基本都是平均著力。從二年級下冊開始，則在不同年段交替排布兩種意義的除法運算。但二年級下冊的“有余數除法\"以及四年級上冊的“除數是兩位數的除法”，教材都只安排了“包含除”情境。

進一步審視“除數是兩位數的除法\"單元的教學內容，發現該單元對“計數單位相除\"與“想幾個幾”算理的編排較為分散，內容之間的關聯性不強。具體而言，在\"口算除法\"一課中，例1、例2、例8都較好地體現了除法運算的一致性。而在“筆算除法”一課中，只有例6呈現了“18除61個十”，計數單位明顯，其余哪怕是關鍵課例1中也沒有呈現計數單位；例1、例2、例5都通過呈現“幾個幾\"來理解算理，其余例題則均沒有呈現具體算理。

二、“除數是兩位數的除法\"的學習路徑

在除法運算中，無論是“等分除”還是“包含除”，其本質都是將問題中的數量或對象轉化為統一的單位或標準：“等分除\"的結果就是每份數，即單位量；“包含除\"則是將每份數作為標準進行平均分。兩者都蘊含著單位化思想。基于此，筆者以單位化思想為統領，分別從“等分除\"“包含除\"“等分、包含并行\"三個維度設計“除數是兩位數的除法\"的學習路徑，并選取三位教齡相近的區骨干教師在同學校水平相當的三個四年級班級進行了教學實踐。

（一）指向計數單位等分的“等分除模型”學習路徑

教師A在甲班實施“等分除模型\"的學習路徑。該學習路徑通過計數單位個數的等分得到相應的計數單位個數，突出“計數單位等分\"的單位化思想，讓學生感悟“單位\"大，“數”小，不夠分，因而需要轉化成小“單位\"和天“數”，使其“夠分”，從而體會算理與算法的一致性。具體實施過程包括以下三個任務。

任務一：684本數學簿平均分給6個年級，每個年級分到幾本？

該任務有三種表征方式。

（1）程序表征：采用豎式計算的方式，即通過規范的豎式運算步驟得出結果。（2）直觀表征：借助形象的圖式，如小方塊或其他圖形，將684本數學簿按6個年級進行劃分，使分配的過程和結果直觀可見。

（3）抽象表征：從計數單位的角度分析，先計算百位上的6（即6個百），將其除以6，得到1個百。接著計算十位上的8（即8個十），除以6，商1余2，也就是得到1個十，余下2個十。再把余下的2個十與個位上的4（即4個一）合起來，得到24個一，將其除以6，得到4個一。最終得出結果：每個年級分到114本。

在教學開始前，教師先讓學生完成任務一，對學生展開前測。學生需要想辦法說明自己的計算過程，并利用直觀表征厘清計數單位的細分過程。借此，喚醒學生在“除數是一位數的除法”一課習得的計數單位等分的學習經驗，讓學生主動用分小棒的形式呈現等分過程，并在對應的抽象表征中明晰豎式的程序表征（如圖1）。

任務二：684本數學簿平均分給20個班級，每個班級分到幾本？

該任務有兩種表征方式。

（1）程序表征：通過列豎式進行計算。

（2）抽象表征：從計數單位出發，先用68個十除以20，商3余8，即得到3個十，余下8個十。再將余下的8個十與4個一合起來，得到84個一，將其除以20，商4余4，也就是得到4個一，余下4個一。

教師讓學生基于計數單位等分的學習經驗，繼續嘗試完成任務二。學生需要充分運用程序表征和抽象表征，理解同樣是6個“百”、8個“十\"以及4個“一”，平均分給20個班級，分法會有什么差異。據此，教師引導學生在組內用小棒分一分，寫一寫過程，并與大家交流分享（如圖2）。在此基礎上，讓學生結合情境理解豎式計算每步的實際意義，夯實程序表征。

此任務是對本課學習內容的鞏固延伸。該任務主要以程序表征的形式呈現。學生需要通過規范的豎式計算程序，逐步計算出結果。借助這一任務，教師能夠強化學生對“除數是兩位數的除法\"的理解和運算能力，同時檢驗其對單位化思想的運用是否熟練。

這一學習路徑切人了原教材沒有安排的“等分除”，深化了“除數是兩位數的除法\"的運算意義。同時，改變了先學習“商是一位數\"再學習“商是兩位數\"的教材布局，直接探究“商是兩位數”，進一步凸顯不同計數單位的等分，使學生扎實理解“大單位\"不夠分，需轉化為“小單位\"繼續分的方法，從而實現數意義與運算的一致性。

（二）指向以“每份數”為單位度量“總數”的“包含除模型\"學習路徑

教師B在乙班實施“包含除模型\"的學習路徑。該學習路徑以“每份數\"為單位去度量“總數\"（被除數）里有這樣的“幾份”，突出“除法是連續減若干個相同數\"的本質，從而讓學生感悟算理與算法的一致性。具體實施過程包括以下三個任務。

任務一：有92本故事書，若每班分配30本，可以分給幾個班？

該任務有三種表征方式。程序表征為列豎式計算 92÷30=3…2 。直觀表征為用圖形表示分書的過程。抽象表征為\"92里有3個30，還余下2個”。

教師引導學生完成任務一，要求學生列出算式并嘗試解決。教師收集學生典型的正確表征方式，展現學生的學習情況。在此基礎上，借助直觀表征中“每份30\"的圖式，幫助學生構建以“每份數”為標準單位度量“總數”（被除數）的經驗。不僅要讓學生知道92里面有這樣的3個30，而非30個30，糾正圖3所示的錯例，還要讓他們明晰連續減去3個相同的數（每份30）突出了除法的本質，修正圖4虛線框內\"9\"的含義。由此，對接程序表征和抽象表征，使學生理解運算中算理與算法的一致性。

任務二：計算 920÷30 門

該任務有兩種表征方式。程序表征為列豎式 計算，抽象表征為“因為92里面有3個30，所以920 里面有30個 30^′′ 。

教師讓學生基于任務一的經驗，繼續嘗試完成任務二，并交流分享抽象表征方式，即由“92里面有3個30\"類推出“920里面就有30個30”。同時對接程序表征，使學生明晰商3應該寫在十位上。由此，再次強化以“每份30\"為單位去度量“總數\"920的過程。

任務三：完成豎式計算 84÷20.364÷70.642÷ 30，并拓展思考如何通過改動算式 84÷20 來編制新題目，包括改變被除數個位數字或百位數字兩種方式。

這一學習路徑將原教材中被除數無關聯的兩道例題 92÷30 ”和“ 178÷30^? ，改變為被除數緊密關聯的 92÷30 ”和‘ 920÷30… 。這不僅連續強化了“包含除”以“每份數”作為標準單位度量“總數\"的過程，還發展了學生的運算推理能力。學生通過將“92個一\"和\"92個十\"都\" ÷30 ”，得到“3個一\"與“3個十”，從而自然對接\"計數單位等分\"的思想，以此實現運算的一致性，并提前切入“商是兩位數的除法\"的學習。

（三）指向計數單位等分與每份數單位度量融合的“等分、包含并行模型”學習路徑

教師C在丙班實施“等分、包含并行模型\"的學習路徑。由于“等分除\"和“包含除\"都可以看作把一個整體數量分成若干相同部分的過程，因此兩者并行同樣可以成為除法運算的一條學習路徑。

任務一：有92本數學簿，每班分配30本，可以分給幾個班？

該任務有三種表征方式。程序表征為 92÷30 的豎式計算，直觀表征為圖式，抽象表征為“92里面有幾個30”以及 30×3+2=92 。

教學開始前，教師對學生展開前測，要求學生完成任務一，用多種方法表示結果。教師利用前測中的正確表征方式，圍繞“這些方法你看得懂嗎？”“為什么商寫在個位上？”等問題，引導學生展開討論，從而聚焦以“每份30\"為單位度量“總數\"92的過程。

任務二：168本數學簿，平均分給12個班，每班分到幾本？

該任務有兩種表征方式。程序表征為 168÷12 的豎式計算，直觀表征為圖式。

通過對任務一“包含除\"的學習討論，學生已初步習得了“除數是兩位數的除法\"的算理算法。在此基礎上，教師切入“等分除\"的教學，結合學生對任務二的正確表征，引導學生借助計數器理解“計數單位等分\"的過程（如圖5），使學生再次直觀體會計數單位\"百\"\"十\"\"一\"的轉化，理解細分個數，實現數意義與運算的對接。

任務三：完成豎式計算 273÷30.703÷80.612÷ 20，312÷60 ，以及豎式填空 780÷?0=?? 、□ 80÷ 4?=? ○

這一學習路徑既涵蓋教材中“包含除\"的素材，又將“包含除”情境改變為“等分除”，使“包含除”與“等分除”兩者并行，讓學生同時體會將每份數作為度量單位與計數單位等分兩種解決問題的思想策略，以單位化思想凸顯運算的一致性。

三、除數是兩位數的除法”的實踐反思

三位教師分別使用上述三種學習路徑進行教學之后，又在同日下午同時對所教班級的學生進行了后測。具體后測題如下。

1.口算 280÷40 可以這樣思考。

（1）想乘法做除法 （2）想表內除法 （ ×40=280 28÷4= （204 280÷40= 280÷40=

2.算一算，填一填。

（1）20）163（2） ① 被除數前兩位不夠除，要看前位，商寫在位。② 括號里最大填幾。

3.有264個面包，每12個裝一盒，可以裝幾盒？右邊豎式虛線方框里的數表示的意思是。

A.先裝了24個B.先裝了240個C.先裝了240盒

4.豎式計算。

（1）40）94（2）80）235（3）31）135

表1為甲、乙、丙三個班級的后測數據。表中數據表明，本內容的三種學習路徑都較好地實現了算理算法的一致性。從算理來著，學生在“想乘法做除法\"和“想表內除法\"這兩種理解的表現上幾乎沒有多大差異。從算法來看，對于第4題中的三道豎式計算，學生的正確率均達 80% 及以上；而對于商的書寫位置及“括號里最大填幾”，學生的正確率也達到了 90% 及以上。同時，這三種學習路徑也存在有待改進之處。學生對“被除數前兩位不夠除，要看前位”這一算法的感悟不夠深刻，且20）163計算出錯的原因幾乎都集中于沒有正確表示“商乘除數\"的積。而在對算理實際意義的理解上，甲班與其他兩個班級的差距較大，甚至超過了10個百分點。

基于以上分析，這三種學習路徑給教師的除法運算教學帶來如下啟示。首先，借助小棒、計數器等直觀表征方式，從“包含除”“等分除\"兩種意義凸顯單位化思想，全面理解除法意義，有助于實現對除法運算一致性的理解。其次，結合具體情境，適當強化運算的實際意義，有助于學生把握計算的算理。最后，利用商的變化規律，可以有效勾連與小數除法、分數除法等知識的內在一致性，培養學生的推理能力。

總之，以單位化思想統領除法運算的教學，對于實現除法意義的理解以及運算教學的一致性具有重要的意義和作用。在后續小數除法、分數除法的運算教學中，教師可繼續沿用單位化思想，探索實現除法運算一致性的學習路徑。

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（浙江省杭州市富陽區教育發展研究中心）