去形抽象 形象平衡

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力。抽象能力是形成理性思維的重要基礎，貫穿于數學知識產生、發展、應用的過程中。\"蘇教版三年級上冊“間隔排列”就含有對數學抽象能力的培養要求，筆者結合教學實踐，試談對數學的相關思考。

一、課堂實錄

（一）片段1：學生自主表達小兔與蘑菇規律

教師呈現教材主題情境圖：小兔和蘑菇間隔排列。

師：小朋友們，仔細觀察圖中內容，你發現了什么？

生：小兔和蘑菇總是一個隔著一個。

師板書：一一間隔

生：先小兔再蘑菇，再小兔，再蘑菇，一直這樣。

師：什么是“一直這樣”呢？你能用你喜歡的方式把“一直這樣”的現象在學習單上表達出來嗎？

生1用象形畫表達：長耳朵的小兔到傘狀的蘑菇，再重復，畫了兩組。

生2畫類橢圓形表達：橢圓下半略大的代表小兔，橢圓上大下小的代表蘑菇，蘑菇畫小一點，共畫了7組另加一只小兔。

生3寫文字：兔菇兔菇，共寫7組另加一個兔。

生4畫幾何圖：大的長方形圖代表小兔，小的正方形圖代表蘑菇，共畫7組加一個長方形。

生5寫字母：ABAB，共7組加一個A。

生6也寫字母：ABABABAB，只寫了4組。

生7畫幾何圖：圓和三角形，共7組加一個圓，但把每組的圓和三角形圈了起來，還在圈的下方寫個字\"組”。

生8寫字母：ABAB·A。

收集主要幾類的學生作品后，教師組織學生討論想法。

生2：我是用大的圈表示小兔，小的圈表示蘑菇，兔比蘑菇大一些，所以小兔用大的圈。

師問生5：你為什么沒用圖，寫成字母了？

生5：只要說明這個位置是小免還是蘑菇就行了，我寫A的就是小兔、寫B的就是蘑菇，能認出來的。

師問生6：你也寫字母的，但寫的比剛才的同學少一些，為什么？

生6：都是AB、AB在重復，寫幾組就能看出來了，不需要再寫。

生其余：不一樣的，他的結尾處不一樣，他寫少了，個數不夠。

師問生7：你畫的圈是什么意思？

生7：因為是在重復的，每組內都是一樣的。

師：一樣的，是指每組內什么一樣的？

生：一只兔一個蘑菇，都是這樣的。

師：順序也一樣。

師問生8：省略號表示什么意思？

生8：太多一樣的內容，寫起來太麻煩，所以想省略掉。

師：那為什么省略號后面還有個字母A呢？

生：因為那個A是單獨的。

師：既然中間用了省略號，那能不能去掉這個A呢？

生：不能，去掉了就沒有結尾，變無數個了，就算不是無數個，也不知道結尾處是A還是B。

師：對比生5寫完整字母的內容，那你和沒用省略號是不是一樣的？

生：是一樣的。

生其余：不一樣，他這樣不知道有幾組AB。

師：組數也被省略掉了。

師：看來用字母也能表示排列的規律，那用字母A和B，還能表達出其他的排列物體嗎？

生：表示木樁和籬笆、毛巾與手帕也行。

師：那用字母 A，B，C 能表示什么呢？

生：比如紅旗、黃旗、綠旗。

分析：生1和2基本是象形階段，生1尤甚；到了生3的文字表達，已經基本去形，但未完全去，其實文字也會勾連出腦中已有的潛在形象，寫“兔\"字往往腦中即有“兔象”；生4用幾何圖，里面保留了最后一個屬性，即小兔與蘑菇的外形大小，以上方式，都在不同程度地存有原形。生5、6、8都用字母，實際上已經完全去除了情境內容的生物屬性，只剩下識別碼，如同生5所言“只要說明這個位置是小兔還是蘑菇就行了，用字母也行”。從另一方面觀察，生1到生5更多著眼于“單體”，觀察到間隔，但“組\"的意識較弱，而生6到生8則有較好的“組”的意識，其中生8的省略形式，把“組\"的數量信息也“抽\"除了，即學生討論說的“看不出來有幾個組”。在后續更多研究中，“組”的個數有時需要有時又不需要，根據問題要求而定。教師引導學生討論AB的更多表達和ABC的表達內容，完成了情境的完全抽象任務，明確了字母也是“臨時”的，字母也是“形”，真正內涵的是字母背后的“象”。

（二）片段二：探究小兔與蘑菇數量間的關系

師：觀察小兔的只數和蘑菇的個數，你又發現了什么？

生9：小兔比蘑菇多1個。

師：怎么發現的？

生：看出來的，最后一個是小兔。

師：這么多的小兔和蘑菇有規律地排列著，僅憑最后一個是小兔，就能肯定小兔比蘑菇多1個嗎？

生：它是有規律的，前面每組都一樣，最后剩下一個是小兔。

師：請同學們用自己的方法，證明小兔確定是多1個。學生思考實踐）

生10：我畫圈，7個圈，最后剩下的是小兔。

生11：我畫線，每條線把小兔和蘑菇串起來，串到最后就剩下1只小兔。

師指生6作品：ABABABAB，他畫圈的和別人有什么不同，為什么有不同？

生其余：他沒寫完，他圈完后沒有留下1只小兔，因為最后結束的應該是B不應該是A。

師：那他的小兔和蘑菇誰的數量多？

生：一樣多，最后是A就小兔多一個，最后是B就一樣多。

師出示白紙塊，每塊上寫著字母AB，豎著并 排對齊，共4豎行。

師：豎著看發現了什么？

生12：每組一模一樣。

師豎劃一條虛線，把字母A和B隔開。

生13：都是左邊是A、右邊是B。

生14：單數位置都是A，雙數位置都是B。

師：那說明最后結束是B就小兔蘑菇一樣多，最后寫A就小兔多一個？

生：最后寫B就把每行2個寫完了，寫A的話就在新的一行中單了一個。

師指有省略號的生8作品，那怎么用紙塊貼出這里面小兔和蘑菇的數量關系？

生：把中間的省略號用長紙條蓋住，就不知道有幾組了。

師用長紙條蓋住，問：“如果想讓小兔多一只，或者想讓小兔與蘑菇一樣多，紙條后面應該怎么辦？”

生：紙條后面露出字母A就是多一只，紙條后面露出字母B就是一樣多。

生其余：露出AB。

師：這樣意思一樣，但更規律清楚。

師指豎排的作品，誰來用這個排法來說明一下小兔與蘑菇的數量多少的關系？

生：如果結尾是A對準開頭，就是小兔比蘑菇多1，如果結尾是B，與開頭不同，就一樣多。

師：首尾相同，小兔多1；首尾不同，兩者一樣。

分析：生9的觀察是基于形，只看結尾的實圖，生10和11已經有清晰的“組\"意識并用圈或串來表達“組”。教師把寫AB的紙條豎排時，是給予觀察的支架，方便學生對比組內的結構，而用長紙條蓋住更多時，則是抽象掉組數信息，讓組的某些屬性也消失，將觀察重點引到關注隊列的首尾特性上。

二、去形抽象

（一）形與象的定義內涵

“形\"與“象\"是中國傳統文化與哲學中一對重要的概念，二者既相互關聯又各有側重，共同構成了對事物存在與表現的認知框架。“形”指事物的外在形態、結構或物質屬性，是感官可直接捕捉的具象特征，包括物體的輪廓、體積、顏色、材質等，在哲學層面，“形”常與“質\"對應。“象\"則指向事物的內在意蘊、象征意義或整體印象，具有抽象性與超越性，是感官經驗的綜合。“形\"依賴直觀的視覺、觸覺等感官經驗，具有客觀性與確定性，“象”依賴主體的聯想與詮釋，具有主觀性與模糊性。形為象之基石，象為形之升華，“形”與\"象\"猶如一枚硬幣的兩面：前者錨定事物的物質實在性，后者拓展其精神超越性。二者的互動構成人類認知世界的雙重路徑：既需“觀形以究理”，亦需“取象以通神”。數學學習活動中的抽象，一般是剝去“形”抽出“象”，得出被凝練的數學普遍性。

（二）抽象的步驟及思維層級

數學抽象過程一般包括四個步驟，在“間隔排列”一課中表現如下：

由表可知本課教學中，學生的思維從依賴具體經驗的“實物操作者”，逐步發展為能夠靈活運用符號模型的“數學思考者”。教師的首要任務是

搭建思維的階梯，讓學生在爬升中自然地完成從“具體\"到“抽象”的認知蛻變，最終獲得“用數學的眼光觀察世界”的核心素養。

三、形象平衡

教學中需基于階段合理性，設計與認知需要相符的\"形”“象\"轉化方式，使形象互動、形象平衡。

（一）辯證分析

數學抽象活動是很多數學活動的目標指向，達成目標的過程也是不斷“舍得”的過程

1.反映在知識內容上的舍與得

經歷抽象過程，學生實現了對規律性知識的提煉，獲得了數學模型的精準建構，并基于所抽象的模型脫離具體情境，解決類似問題。但同時，具體情境的簡化遮蔽、多樣情境的單一化處理，又可能導致學生忽視情境的奠基性，抽象能力發展偏弱的學生可能機械套用\"數量差1\"的結論。可以說，其實“形”一直沒有遠去，也不能遠去，即使有了抽象結果，但形依然在“潛意識\"存在著，沉淀為底層認知，一旦需要便可呼之即出。

2.反映在思維發展上的舍與得

經歷抽象過程，學生獲得從具象到符號的思維躍遷，逐步脫離對具體實物的依賴，實現了抽象思維能力的階梯提升，批判性思維得以萌芽。同時，長期依賴抽象模型可能削弱學生對具體操作的興趣，導致具象思維與創新能力的潛在弱化，在思維結構上形成思維定式的風險。就本課而言，學生可能會機械化應用“A=B+1\"結論，限制了對問題多樣性的探索。

（二）平衡施策

抽象源自學生的發展內需求，要不要“抽”，如何去\"抽\"？需要基于辯證分析來平衡施策。

1.內容深度上設計階梯化抽象路徑

要縱向分層，實現從現象到模型的邏輯進階。例如教師設計擺學具 $$ 畫圖示 $$ 寫算式 $$ 解變式”的階梯任務，可促使抽象過程層層遞進，避免因跳躍式抽象導致的認知斷層。

要橫向關聯，努力滲透數學思想方法。既要避免過度簡化（如僅給予公式套用），也要防止超標深化，該感知的未必要推理。

2.學情洽度上定制適切化抽象支架

順應具象思維，搭建合適的思維支架，依托生活經驗激活內驅力。例如本課中畫圈、豎行對齊排列等輔助方式。

3.區域廣度上把控漸進式抽象節奏

要契合思維發展階段，控制抽象跨度。三年級學生處于具體的運算階段，需通過實物操作建立規律守恒觀念，在實踐中讓規律確定性得以強化。讓規律強度有充分的表達，才能使多數學生自發有所感悟，而不是少數學生的專利發現。

4.需求活度上實施動態化抽象調控

教學中要有彈性預設，預留抽象探索空間，加強動態調控，即時診斷抽象偏差。要善用錯誤資源，例如當學生誤判環形排列（如手鏈珠子）的數量關系時，教師展示實物手鏈，組織辯論：“為什么封閉排列中兩種珠子數量相等？”

在“間隔排列\"學習中辯證平衡的施策：

真正的抽象能力培養，不是單向的“抽取”與“剝離”，而是讓學生在具象與抽象的辯證互動中，既獲得數學的理性之光，亦不失生活的溫度與靈性，這正是數學教育最深刻的育人價值