去形抽象 形象平衡

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。抽象能力是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，貫穿于數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。\"蘇教版三年級上冊“間隔排列”就含有對數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)要求，筆者結(jié)合教學(xué)實踐，試談對數(shù)學(xué)的相關(guān)思考。

一、課堂實錄

（一）片段1：學(xué)生自主表達(dá)小兔與蘑菇規(guī)律

教師呈現(xiàn)教材主題情境圖：小兔和蘑菇間隔排列。

師：小朋友們，仔細(xì)觀察圖中內(nèi)容，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：小兔和蘑菇總是一個隔著一個。

師板書：一一間隔

生：先小兔再蘑菇，再小兔，再蘑菇，一直這樣。

師：什么是“一直這樣”呢？你能用你喜歡的方式把“一直這樣”的現(xiàn)象在學(xué)習(xí)單上表達(dá)出來嗎？

生1用象形畫表達(dá)：長耳朵的小兔到傘狀的蘑菇，再重復(fù)，畫了兩組。

生2畫類橢圓形表達(dá)：橢圓下半略大的代表小兔，橢圓上大下小的代表蘑菇，蘑菇畫小一點，共畫了7組另加一只小兔。

生3寫文字：兔菇兔菇，共寫7組另加一個兔。

生4畫幾何圖：大的長方形圖代表小兔，小的正方形圖代表蘑菇，共畫7組加一個長方形。

生5寫字母：ABAB，共7組加一個A。

生6也寫字母：ABABABAB，只寫了4組。

生7畫幾何圖：圓和三角形，共7組加一個圓，但把每組的圓和三角形圈了起來，還在圈的下方寫個字\"組”。

生8寫字母：ABAB·A。

收集主要幾類的學(xué)生作品后，教師組織學(xué)生討論想法。

生2：我是用大的圈表示小兔，小的圈表示蘑菇，兔比蘑菇大一些，所以小兔用大的圈。

師問生5：你為什么沒用圖，寫成字母了？

生5：只要說明這個位置是小免還是蘑菇就行了，我寫A的就是小兔、寫B(tài)的就是蘑菇，能認(rèn)出來的。

師問生6：你也寫字母的，但寫的比剛才的同學(xué)少一些，為什么？

生6：都是AB、AB在重復(fù)，寫幾組就能看出來了，不需要再寫。

生其余：不一樣的，他的結(jié)尾處不一樣，他寫少了，個數(shù)不夠。

師問生7：你畫的圈是什么意思？

生7：因為是在重復(fù)的，每組內(nèi)都是一樣的。

師：一樣的，是指每組內(nèi)什么一樣的？

生：一只兔一個蘑菇，都是這樣的。

師：順序也一樣。

師問生8：省略號表示什么意思？

生8：太多一樣的內(nèi)容，寫起來太麻煩，所以想省略掉。

師：那為什么省略號后面還有個字母A呢？

生：因為那個A是單獨的。

師：既然中間用了省略號，那能不能去掉這個A呢？

生：不能，去掉了就沒有結(jié)尾，變無數(shù)個了，就算不是無數(shù)個，也不知道結(jié)尾處是A還是B。

師：對比生5寫完整字母的內(nèi)容，那你和沒用省略號是不是一樣的？

生：是一樣的。

生其余：不一樣，他這樣不知道有幾組AB。

師：組數(shù)也被省略掉了。

師：看來用字母也能表示排列的規(guī)律，那用字母A和B，還能表達(dá)出其他的排列物體嗎？

生：表示木樁和籬笆、毛巾與手帕也行。

師：那用字母 A，B，C 能表示什么呢？

生：比如紅旗、黃旗、綠旗。

分析：生1和2基本是象形階段，生1尤甚；到了生3的文字表達(dá)，已經(jīng)基本去形，但未完全去，其實文字也會勾連出腦中已有的潛在形象，寫“兔\"字往往腦中即有“兔象”；生4用幾何圖，里面保留了最后一個屬性，即小兔與蘑菇的外形大小，以上方式，都在不同程度地存有原形。生5、6、8都用字母，實際上已經(jīng)完全去除了情境內(nèi)容的生物屬性，只剩下識別碼，如同生5所言“只要說明這個位置是小兔還是蘑菇就行了，用字母也行”。從另一方面觀察，生1到生5更多著眼于“單體”，觀察到間隔，但“組\"的意識較弱，而生6到生8則有較好的“組”的意識，其中生8的省略形式，把“組\"的數(shù)量信息也“抽\"除了，即學(xué)生討論說的“看不出來有幾個組”。在后續(xù)更多研究中，“組”的個數(shù)有時需要有時又不需要，根據(jù)問題要求而定。教師引導(dǎo)學(xué)生討論AB的更多表達(dá)和ABC的表達(dá)內(nèi)容，完成了情境的完全抽象任務(wù)，明確了字母也是“臨時”的，字母也是“形”，真正內(nèi)涵的是字母背后的“象”。

（二）片段二：探究小兔與蘑菇數(shù)量間的關(guān)系

師：觀察小兔的只數(shù)和蘑菇的個數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生9：小兔比蘑菇多1個。

師：怎么發(fā)現(xiàn)的？

生：看出來的，最后一個是小兔。

師：這么多的小兔和蘑菇有規(guī)律地排列著，僅憑最后一個是小兔，就能肯定小兔比蘑菇多1個嗎？

生：它是有規(guī)律的，前面每組都一樣，最后剩下一個是小兔。

師：請同學(xué)們用自己的方法，證明小兔確定是多1個。學(xué)生思考實踐）

生10：我畫圈，7個圈，最后剩下的是小兔。

生11：我畫線，每條線把小兔和蘑菇串起來，串到最后就剩下1只小兔。

師指生6作品：ABABABAB，他畫圈的和別人有什么不同，為什么有不同？

生其余：他沒寫完，他圈完后沒有留下1只小兔，因為最后結(jié)束的應(yīng)該是B不應(yīng)該是A。

師：那他的小兔和蘑菇誰的數(shù)量多？

生：一樣多，最后是A就小兔多一個，最后是B就一樣多。

師出示白紙塊，每塊上寫著字母AB，豎著并 排對齊，共4豎行。

師：豎著看發(fā)現(xiàn)了什么？

生12：每組一模一樣。

師豎劃一條虛線，把字母A和B隔開。

生13：都是左邊是A、右邊是B。

生14：單數(shù)位置都是A，雙數(shù)位置都是B。

師：那說明最后結(jié)束是B就小兔蘑菇一樣多，最后寫A就小兔多一個？

生：最后寫B(tài)就把每行2個寫完了，寫A的話就在新的一行中單了一個。

師指有省略號的生8作品，那怎么用紙塊貼出這里面小兔和蘑菇的數(shù)量關(guān)系？

生：把中間的省略號用長紙條蓋住，就不知道有幾組了。

師用長紙條蓋住，問：“如果想讓小兔多一只，或者想讓小兔與蘑菇一樣多，紙條后面應(yīng)該怎么辦？”

生：紙條后面露出字母A就是多一只，紙條后面露出字母B就是一樣多。

生其余：露出AB。

師：這樣意思一樣，但更規(guī)律清楚。

師指豎排的作品，誰來用這個排法來說明一下小兔與蘑菇的數(shù)量多少的關(guān)系？

生：如果結(jié)尾是A對準(zhǔn)開頭，就是小兔比蘑菇多1，如果結(jié)尾是B，與開頭不同，就一樣多。

師：首尾相同，小兔多1；首尾不同，兩者一樣。

分析：生9的觀察是基于形，只看結(jié)尾的實圖，生10和11已經(jīng)有清晰的“組\"意識并用圈或串來表達(dá)“組”。教師把寫AB的紙條豎排時，是給予觀察的支架，方便學(xué)生對比組內(nèi)的結(jié)構(gòu)，而用長紙條蓋住更多時，則是抽象掉組數(shù)信息，讓組的某些屬性也消失，將觀察重點引到關(guān)注隊列的首尾特性上。

二、去形抽象

（一）形與象的定義內(nèi)涵

“形\"與“象\"是中國傳統(tǒng)文化與哲學(xué)中一對重要的概念，二者既相互關(guān)聯(lián)又各有側(cè)重，共同構(gòu)成了對事物存在與表現(xiàn)的認(rèn)知框架。“形”指事物的外在形態(tài)、結(jié)構(gòu)或物質(zhì)屬性，是感官可直接捕捉的具象特征，包括物體的輪廓、體積、顏色、材質(zhì)等，在哲學(xué)層面，“形”常與“質(zhì)\"對應(yīng)。“象\"則指向事物的內(nèi)在意蘊(yùn)、象征意義或整體印象，具有抽象性與超越性，是感官經(jīng)驗的綜合。“形\"依賴直觀的視覺、觸覺等感官經(jīng)驗，具有客觀性與確定性，“象”依賴主體的聯(lián)想與詮釋，具有主觀性與模糊性。形為象之基石，象為形之升華，“形”與\"象\"猶如一枚硬幣的兩面：前者錨定事物的物質(zhì)實在性，后者拓展其精神超越性。二者的互動構(gòu)成人類認(rèn)知世界的雙重路徑：既需“觀形以究理”，亦需“取象以通神”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的抽象，一般是剝?nèi)ァ靶巍背槌觥跋蟆保贸霰荒毜臄?shù)學(xué)普遍性。

（二）抽象的步驟及思維層級

數(shù)學(xué)抽象過程一般包括四個步驟，在“間隔排列”一課中表現(xiàn)如下：

由表可知本課教學(xué)中，學(xué)生的思維從依賴具體經(jīng)驗的“實物操作者”，逐步發(fā)展為能夠靈活運(yùn)用符號模型的“數(shù)學(xué)思考者”。教師的首要任務(wù)是

搭建思維的階梯，讓學(xué)生在爬升中自然地完成從“具體\"到“抽象”的認(rèn)知蛻變，最終獲得“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”的核心素養(yǎng)。

三、形象平衡

教學(xué)中需基于階段合理性，設(shè)計與認(rèn)知需要相符的\"形”“象\"轉(zhuǎn)化方式，使形象互動、形象平衡。

（一）辯證分析

數(shù)學(xué)抽象活動是很多數(shù)學(xué)活動的目標(biāo)指向，達(dá)成目標(biāo)的過程也是不斷“舍得”的過程

1.反映在知識內(nèi)容上的舍與得

經(jīng)歷抽象過程，學(xué)生實現(xiàn)了對規(guī)律性知識的提煉，獲得了數(shù)學(xué)模型的精準(zhǔn)建構(gòu)，并基于所抽象的模型脫離具體情境，解決類似問題。但同時，具體情境的簡化遮蔽、多樣情境的單一化處理，又可能導(dǎo)致學(xué)生忽視情境的奠基性，抽象能力發(fā)展偏弱的學(xué)生可能機(jī)械套用\"數(shù)量差1\"的結(jié)論。可以說，其實“形”一直沒有遠(yuǎn)去，也不能遠(yuǎn)去，即使有了抽象結(jié)果，但形依然在“潛意識\"存在著，沉淀為底層認(rèn)知，一旦需要便可呼之即出。

2.反映在思維發(fā)展上的舍與得

經(jīng)歷抽象過程，學(xué)生獲得從具象到符號的思維躍遷，逐步脫離對具體實物的依賴，實現(xiàn)了抽象思維能力的階梯提升，批判性思維得以萌芽。同時，長期依賴抽象模型可能削弱學(xué)生對具體操作的興趣，導(dǎo)致具象思維與創(chuàng)新能力的潛在弱化，在思維結(jié)構(gòu)上形成思維定式的風(fēng)險。就本課而言，學(xué)生可能會機(jī)械化應(yīng)用“A=B+1\"結(jié)論，限制了對問題多樣性的探索。

（二）平衡施策

抽象源自學(xué)生的發(fā)展內(nèi)需求，要不要“抽”，如何去\"抽\"？需要基于辯證分析來平衡施策。

1.內(nèi)容深度上設(shè)計階梯化抽象路徑

要縱向分層，實現(xiàn)從現(xiàn)象到模型的邏輯進(jìn)階。例如教師設(shè)計擺學(xué)具 $$ 畫圖示 $$ 寫算式 $$ 解變式”的階梯任務(wù)，可促使抽象過程層層遞進(jìn)，避免因跳躍式抽象導(dǎo)致的認(rèn)知斷層。

要橫向關(guān)聯(lián)，努力滲透數(shù)學(xué)思想方法。既要避免過度簡化（如僅給予公式套用），也要防止超標(biāo)深化，該感知的未必要推理。

2.學(xué)情洽度上定制適切化抽象支架

順應(yīng)具象思維，搭建合適的思維支架，依托生活經(jīng)驗激活內(nèi)驅(qū)力。例如本課中畫圈、豎行對齊排列等輔助方式。

3.區(qū)域廣度上把控漸進(jìn)式抽象節(jié)奏

要契合思維發(fā)展階段，控制抽象跨度。三年級學(xué)生處于具體的運(yùn)算階段，需通過實物操作建立規(guī)律守恒觀念，在實踐中讓規(guī)律確定性得以強(qiáng)化。讓規(guī)律強(qiáng)度有充分的表達(dá)，才能使多數(shù)學(xué)生自發(fā)有所感悟，而不是少數(shù)學(xué)生的專利發(fā)現(xiàn)。

4.需求活度上實施動態(tài)化抽象調(diào)控

教學(xué)中要有彈性預(yù)設(shè)，預(yù)留抽象探索空間，加強(qiáng)動態(tài)調(diào)控，即時診斷抽象偏差。要善用錯誤資源，例如當(dāng)學(xué)生誤判環(huán)形排列（如手鏈珠子）的數(shù)量關(guān)系時，教師展示實物手鏈，組織辯論：“為什么封閉排列中兩種珠子數(shù)量相等？”

在“間隔排列\(zhòng)"學(xué)習(xí)中辯證平衡的施策：

真正的抽象能力培養(yǎng)，不是單向的“抽取”與“剝離”，而是讓學(xué)生在具象與抽象的辯證互動中，既獲得數(shù)學(xué)的理性之光，亦不失生活的溫度與靈性，這正是數(shù)學(xué)教育最深刻的育人價值