基于作業錯解分析的“積（商）的變化規律”教學重構

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼］A [文章編號] 1007-9068（2025）23-0059-04

在實際教學中，有些教師會產生這樣的疑問：明明批改、講評和訂正作業花費了很多時間，為什么學生的作業質量還是不盡如人意？有什么方法可以改變這種現狀？針對這些疑問，筆者開展了作業結果應用的研究，從作業現狀、作業分析、結果應用三個方面入手，以期通過研究，讓教師能夠在日常的教學中，除了認真批改作業，還會分析作業結果，并運用結果去改進教學，提升教學效率。

一、由一類錯解引發思考

在一次教研活動中，教師發現學生在積（商）的變化規律這個知識點上犯錯較多。以下是三年級和六年級學生解答錯誤較多的一類題。

【三年級】

題1.□ × ☆ =100 ，如果□和☆都擴大10倍，積擴大（ ）倍；如果□擴大10倍，☆縮小5倍，積是（ ）。

題2.÷☆ =100 ，如果□和☆都擴大10倍，積1 ）；如果□擴大10倍，☆縮小5倍，積是（ ）。

【六年級】

題1.兩個數的積是20.4，如果一個乘數擴大2倍，另一個乘數擴大3倍，積是（ ）。

題2.兩個數相除，商是20.4，如果被除數擴大10倍，除數縮小到原來的 商是（ ）。

仔細分析這4道題，它們都是利用積（商）的變化規律解決問題，除了計算數據有差異，其本質都是一樣的。那么問題來了：不同年級都涉及積（商）的變化規律，為什么學生卻始終沒有掌握這一知識？為此，筆者設計了一組作業題，對城區學校、鎮區學校、民辦學校、完小學校、民工子弟學校、山區學校的六年級共561名學生進行了測試，并對測試結果進行分析，追溯解答錯誤的本源

二、作業題組設計及結果分析

（一）題目設計

針對積（商）的變化規律的知識點，筆者設計了以下題目。

題 1.A×B=80 。 ① 如果A乘10，B乘10，積是（ ）； ② 如果A乘8，B除以4，積是（ ）； ③ 我是這樣想的： 。

【設計意圖】該題考查學生對積的變化規律的掌握情況。

題 2.A÷B=80 。 ① 如果A乘10，B乘10，商是（ ）； ② 如果A乘4，B除以20，商是（ ）； ③ 如果A（ ），B（ ），商是240。

【設計意圖該題考查學生對商的變化規律的掌握情況。

（二）結果分析

通過測試，筆者發現學生對積（商）的變化規律基本的問題掌握尚可，但是遇到稍有變化的題目就會犯錯，具體情況如下。

1.題1完成情況分析

表1各校學生關于題1的正答率

由表1可知，題1中的第 ① 題正答率是最高的，第 ② 題的正答率次之。當一個乘數乘幾，另一個乘數除以幾，乘除混搭時，學生便不了解積的變化規律。第 ③ 題的分析說理正答率最低，說明學生用語言表達規律的能力還比較弱

筆者通過分析還發現，答對的學生也存在水平差異，具體情況見表2。

表2學生答題水平

根據以上分析，可以知道關于積的變化規律，學生總體掌握得較好，但是學生的思考過程、規范表達等存在差異。

2.題2完成情況分析

表3各校學生關于題2的正答率

由表3可知，關于商的變化規律題目的正答率整體比題1的低，第 ① 題、第 ② 題的錯答情況見表4。

表4第 ① 題、第 ② 題錯答情況

續表

第 ③ 題的正答率是最低的，且答對的學生層次參差不齊（見表5）。

表5第 ③ 題正答情況

根據學生的錯誤情況，筆者查閱了戴再平教授《數學習題理論》的錯誤分類，他將數學錯誤分為知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤和心理性錯誤。本次測試，學生的錯誤主要體現在知識性錯誤和心理性錯誤兩個方面。知識性錯誤是指學生運用知識時，由于對相關知識的理解不正確或運用不當而產生的錯誤，知識性錯誤包括程序性錯誤與計算性錯誤；心理性錯誤指解題者雖然具備了解決問題的技能，但由于緊張、注意力不集中或某些心理原因而產生錯誤，也叫感知性錯誤。依據戴再平教授的錯誤分類，筆者將學生的錯誤類型整理如下（見表6）。

表6學生的錯誤類型

通過對作業結果的分析，筆者根據學生的錯誤類型，有針對性地教學，以此讓學生對積（商）的變化規律的本質加深理解。

三、作業結果應用

對作業的設計、分析是為了更好地改進教學，服務于學生。以上作業結果的評估，為后續教學指明了方向。可以從以下幾個方面入手改進教學，提升教學質量。

（一）明理知法，減少知識性錯誤

知識性錯誤的產生，說明學生對知識的本質理解不足。教師要進行系統化教學，幫助學生梳理知識的來龍去脈，串珠成線，構建知識體系。

1.豐富教材，彌補不足

積（商）的變化規律學生理解起來有些難度，導致屢錯屢犯。深究課堂教學肯定是存在問題的，于是筆者從研讀教材人手，解讀不同版本教材，取長補短，為我所用，從而達到事半功倍的教學效果。

筆者對北師大版和人教版教材關于積（商）的變化規律的內容進行了對比，發現兩個版本的教材多處涉及了此內容，但是不同點明顯，整理如下。

北師大版教材：從三年級開始涉及積（商）的變化規律的內容一共21個課時，都是在相關內容教學后，出現在習題上，除了一節乘法規律探索和商不變規律課，幾乎沒有一節專門課是用來探究積（商）的變化規律。學生只靠幾道零散的課后習題無法系統掌握此內容。

人教版教材：三到六年級的教材涉及此內容的共23個課時，除了在習題上出現積（商）的變化規律內容，還在四年級上冊單獨安排了積的變化規律和商的變化規律的課時，而且把商不變的規律放在商的變化規律這個大知識背景里面，具有系統性。

基于上述分析，筆者認為用北師大版教材的教師在教學時可以補充兩節積和商的變化規律課，后續再補充一節綜合練習課，把知識放在一個體系中去教學，會比原本教材安排的教學效果好。

2.循序漸進，理解規律

對于積（商）的變化規律，在實際教學中部分教師輕過程、重結果，強調的是幾句程序性語言的記憶。其實，對一個知識點的真正掌握，一定要知道它的“根\"在哪里。只有明白了變化規律的本質，才能明理知法，真正掌握規律，以不變應萬變。

例如，在教學積不變的規律時，出示算式 8×4 ）80×4，800×4 后，一定要讓學生明白乘數的變化規律和積的變化規律的聯系，以及引導學生進行充分地討論、說理、交流，感悟變化的過程，再讓學生自主舉例，加深對積的變化規律的理解。

3.對比教學，提升能力（1）題組訓練，加深理解

很多時候單獨拎一個知識點出來，學生的正答率會高，但當相近的題目同時出現時，學生就容易混淆。因此，對易混易錯的內容以題組的形式進行對比練習效果為佳。

例如，算一算，照樣子再寫出一組算式。

3×7= 30×7= 300×7= 63÷9=630÷9=6300÷9=

教師可引導學生仔細觀察，發現規律，逐步滲透積（商）的變化規律。必要的時候還可讓學生討論積的變化規律和商的變化規律區別在哪里，讓學生在對比中自覺分析錯誤的原因，從而達到避免錯誤的目的。

（2）錯解分析，深入本質

在實際教學中，部分教師對作業的講評很多時候是就題論題，略去探索過程，這樣教師講得越多，學生思考得越少，從而屢犯錯誤。因此，在教學中，教師可以把典型的錯解題放在一起，讓學生對比分析、辨析討論，達到糾正錯誤的目的。

積的變化規律、商的變化規律、積（商）的變化規律綜合應用時處處都要有比較。有個學生是這么理解積（商）的變化規律的：這些規律中只有除數變化和商的變化相反，記住這個“調皮”的除數就可以了。這個方法得到了其他學生的認可。

（3）一題多變，應對萬變

一題多變可以有效提高學生的學習興趣、思維品質，有效避免“題海戰術”。教師可以培養學生獨立思考、舉一反三的學習態度。如前測作業就是從一類題目出發，不斷變化，從而把有關知識串起來。又如在作業講評后，可以設計以下拓展提升題，以滿足不同學生的學習需求。

（二）培養習慣，減少心理性錯誤

提升作業質量和教學實效，最終要落實到學生身上。學生只有提升自我反思的能力，他們才會主動改正錯誤。教師可以從以下幾個方面推進。

1.養成認真審題的習慣

認真審題是提高作業質量的前提。教師可以 引導學生默讀題目，圈一圈關鍵詞和符號，避免看 錯數字和符號。

2.養成認真書寫的習慣

教師要花時間去引導學生嚴格按照規范書寫，如書寫時要做到左對齊，這樣錯誤訂正時就可以用不同顏色的筆訂正在右邊部分；畫圖、連線時要用鉛筆，以此促進學生養成良好的書寫習慣。

3.養成規范用草稿的習慣

學生的作業正答率和規范用草稿的習慣息息相關，有些學生喜歡口算，不習慣打草稿。教師要讓學生用統一的草稿本，讓它成為做數學題的必備品，同時要規范書寫，對于表現優秀的學生給予表揚和獎勵，使學生正確、高效地用草稿。

4.養成及時檢查的習慣

及時檢查和回看自己的作業，這是學生非常欠缺的習慣。日常要培養學生及時回看自己作業的習慣，用重算、分析等方法檢查自己的作業，在反思中自我改進。對于表現出色的學生，教師要加以表揚鼓勵，讓學生養成檢查作業的習慣。

總之，在今后的教學中，教師要一如既往地注重作業的精準分析及作業結果的巧妙運用，讓其對教學產生事半功倍的效果，使教學質量真正走向優質高效。

［參考文獻]

[1］雷燕，趙晶.指向補救教學和改進教學的作業結果應用：以“小數的意義”中的一道作業為例[J].小學數學教師，2024（4）：17-21.

（責編黃露）