數學史融入小學數學教學的實踐研究

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼］A [文章編號]1007-9068（2025）23-0096-03

小學數學教育的根本任務是立德樹人，使學生逐步形成適應終身發展需要的核心素養。教育目標不僅要求學生掌握必需的數學知識與技能，更重視激發學生對數學學習的熱情，培育學生的創新意識與實踐能力。基于此，傳統的講授式教學逐漸被以學生為中心的探究式學習所取代。

“約分”作為分數運算和應用的核心，學生對“約分\"技巧的熟練程度直接影響他們在分數學習上的成效。因此，將“約分”作為教學案例進行設計，具有深遠的價值意義。本研究依托蘇教版五年級下冊教材中的“約分\"章節，并結合數學歷史資料開展教學方面的探討。

一、約分的意義

約分是數學中用于簡化分數的一種重要技巧，它的主要步驟是將分數的分子和分母同時除以它們的最大公因數，以得到一個等值但形式上更為簡潔的分數。約分的過程實質上是消除分子和分母之間的共同因數，這使得分數的表達更加簡便，便于閱讀、運算和比較。約分的概念最早可以追溯到古希臘時期，當時的數學家已經使用分數，并且他們認識到通過消除分子和分母的共同部分可以簡化分數的表示。隨著時間的推移，約分的方法經過不斷的演變和發展，最終成為現代數學教育中一個基礎且關鍵的組成部分。約分不僅使得分數的處理變得更加直觀和容易理解，而且也為各種數學運算提供了極大的便利。例如，將分數 約分為 0便能更直接地識別出這個分數所代表的是整體的一半。因此，約分作為分數運算與應用的核心，其關鍵性不言而喻。學生對約分技巧的熟練程度，通常直接影響他們在分數學習上的成果與效率。

在數學的實際應用中，約分的應用范圍遠遠超出了簡單的分數運算。它在代數、幾何領域中都發揮著重要的作用。例如，在解決代數方程的過程中，通過約分可以簡化方程中的表達式，這不僅有助于我們更直觀地理解問題，而且也使得尋找方程的解變得更加容易。此外，在幾何學領域，約分常被用于簡化比例關系，以及在計算相似三角形的邊長時，通過約分可以有效地減少計算的復雜度，從而快速準確地得到結果。約分的這些應用展示了它在數學各個分支中的普遍性和實用性，凸顯了學習和掌握約分技巧的重要性。

二、與約分相關的數學史

我國古代的數學著作包含了豐富的數學思想和方法的演變歷程。《算術書》和《九章算術》中的許多與約分相關的史料，有助于解決學生在學習約分時難點，提升學生對約分知識內容的興趣，同時他們樹立文化自信。

《算術書》側重具體問題的操作步驟，例如，其“約分”條記載：“約分：可半者半之。不可半者，母、子之數交減之，以求其等也。”表述簡潔，直接指向操作，未對“等數”的概念做額外解釋。

《九章算術》作為中國古代數學的杰作，對“約分\"法則進行了詳盡的闡釋。其中，“約分術”作為一種關鍵的約分方法，其原則為：若可均分，則均分之；若不可均分，則將分母與分子并置，以較小數減去較大數，通過反復減法運算，求得等數，再以該等數進行約分。該方法通過減法運算確定分子與分母的最大公因數，從而實現約分的目的。此法在古代數學中占據重要地位，并對后世數學發展產生了深遠的影響。

在古代數學著作中，我們能夠發現許多與“約分”相關的例題。《九章算術》方田篇第五、六條提供了相關的“約分\"算題，例如：“今有一十八分之一十二。問約之得幾何？答曰：三分之二。又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。”其中第五條在《孫子算經》中的詳細解法為：“置十八分在下，一十二分在上，副置二位，以少減多，等數得六。以此為法，約之即得。”這些例題不僅展示了古代數學家對約分方法的運用技巧，還為我們提供了豐富的實踐材料。通過分析這些例題，我們可以了解我國古代數學家是如何處理約分問題的，從而加深對約分方法的理解。

《算術書》與《九章算術》對“約分\"的記載，本質上一脈相承，核心方法一致，體現了中國古代數學對分數簡化的早期探索。而《九章算術》在《算術書》的基礎上，對“約分術”進行了規范化、系統化的整理，使其從零散的實用算法上升為具有理論性的數學法則，反映了中國古代數學從經驗積累到系統總結的發展過程。《孫子算經》則詳細介紹了“約分術”在具體案例中的使用。基于這些案例的異同，《九章算術》更適合作為約分學習的拓展內容，在特定條件下有其獨特的優勢。《孫子算經》更適合作為練習，加強學生學習興趣和鞏固學習內容。

三、數學史融入“約分\"教學

約分的重難點是找到分子和分母的公因數或者最大公因數，利用公因數進行多次約分，可以得到最簡分數。而古代求最大公因數的方法很值得借鑒和學習，也更有助于學生對約分的進一步理解和運用。

（一）以生為本，初步理解約分

為激發學生的求知熱情，本研究精心設計了一個以郵票為主題的情境導人環節。情境內容：小軍收藏了12枚郵票，他決定將這些郵票贈送給小力及另兩名伙伴，且要求三人獲得的郵票數量均不相同。在此背景下，引導學生運用分數概念描述小力所獲得的郵票數占其全部郵票總數的比例。在此過程中，學生所面臨的問題是：為何不同的分數可以表示同一個具體數量？為此，教師先帶領學生回顧分數的基本性質，隨后引導學生探索并實踐約分的方法。通過自主探索和交流，學生將發現這些不同的分數在約分后均能簡化為同一個最簡分數，從而理解為何可以用不同的分數表示同一個具體數量。

然而，在練習過程中，通過師生對話和反復練習，新的問題逐漸生成。隨著分子和分母數值的增大，尋找“公因數\"和“最大公因數\"變得更為困難。例如，面對 等分數約分時，學生可能會一時無從下手。這些分數的分子和分母數值較大，尋找它們的公因數及最大公因數變得相當復雜。

（二）學習史料，突破教學難點

古代數學家早已對約分進行了深入研究，《九章算術》中的\"更相減損術\"（亦稱“約分術\"）古代的約分法則為：“可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之”。該術實質上與現代所學的\"約分\"相一致。以 為例介紹古人約分的方法：首先，若分子、分母都可除以2則同除以2，如 24÷2=12，30÷2=15 ，若不可再同除以2，則將分子、分母分別置于兩邊；然后，分母減去分子 15-12=3 ，分子減去上述的差值，直至減數和差相等 12-3=9，9-3=6，6-3=3 ；最后，這個“等數\"3即為分子12與分母15的最大公因數。同理。運用“約分術”對 進行約分， 186-155= 31，155-31=124，124-31=93，93-31=62，62-31=31 因此，155和186的最大公因數就是31， 約分得5／"6 "。

古代的約分方法，將尋找最大公因數的過程轉化為學生熟悉且易于理解的減法，這就避免了部分學生因找不到公因數或最大公因數而無法約分。該方法簡潔易懂，與學生的認知基礎相契合，不僅提升了學生的數學史素養，還增強了他們的學習興趣和文化自信。

（三）數形結合，探究數學原理

經過這樣的分析比較后，學生自然地想知道“約分術\"所蘊含的數學原理。這時候，可以讓學生畫圖思考，分子和分母能進行約分，說明它們都包含了共同的因數。所謂“可半者半之”，即如果分子分母都是2的倍數就除以2，把分子分母進行化簡；“不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之”，即用較大的數減去較小的數，然后將較小的數與產生的差值進行比較，再用較大的數減去較小的數直至減數和差相等，那么這個“等數\"就是所求的最大公因數。其原理為分子是最大公因數的倍數、分母也是最大公因數的倍數，而分母與分子的差也是最大公因數的倍數，通過不斷相減，最終得到的就是最大公因數。

例如，將 進行約分，可得到 現將逆推14°過程通過畫圖表示。

分子：分母：第一次相減： 14-9=5 （份）（對應： 98-63=35 ））差1：第二次相減： 9-5=4 （份）（對應： 63-35=28 ）差2：第三次相減： 5-4=1 （份）（對應： 35-28=7 ））差3：7就是63和98的最大公因數，但我們在輾轉相減時并不知道7就是最大公因數，因此，要繼續進行計算，直到減數與差相等。第四次相減： 4-1=3 （份）（對應： 28-7=21 ））差4：第五次相減： 3-1=2 （份）（對應： 21-7=14 ）差5：第六次相減： 2-1=1 （份）（對應： 14-7=7 ）差6：

（四）分析比較，鞏固約分方法

本研究汲取了《九章算術》中的經典約分案例，為學生提供了實踐的平臺，激勵他們自主探索適合自己的約分策略。在學生完成基礎練習后，本研究展示了《九章算術》“方田\"章節中的兩道經典例題：“今有一十八分之一十二。問約之得幾何？又有九十一分之四十九。問約之得幾何？”

通過對比“常規約分法”（通過逐步約去分子、分母的公因數，直至無法再約分的方法）與“求等數法”，學生發現當分子和分母數值較大時，古代的“約分術\"更為具體和直觀，無須經歷尋找最大公因數的抽象和煩瑣過程，僅通過整數減法運算即可得出結果。

四、教學反思與展望

從教育價值的視角審視，本案例充分展示了數學史理論的深遠意義。通過將《九章算術》中的“更相減損法”應用于分數約分的教學，學生不僅理解了這一古代約分技巧的核心原理，還發現了它與現代“常規約分法”之間的內在聯系。這種順應學生認知發展規律的教學策略，有效促進了學生掌握一般的約分技巧。同時，在探究過程中，學生潛移默化地接受了“恒等變換\"的思想，深刻體驗到數學思維的多樣性與靈活性。所選史料既蘊含人文性，又兼具趣味性與實效性，使學生切實感受到“方法之美”的教育意蘊。

通過本次教學設計的深入研究與實踐，筆者深刻認識到將數學史融入數學教學的重要意義。將數學史中的珍貴史料有機融入教學設計，不僅能有效激發學生的學習興趣，更能助力他們深刻理解數學概念與方法的本質。此外，這種教學方式還能提升學生的歷史素養，拓寬他們的知識視野。筆者將繼續探究數學史與課程內容的深度融合方式，梳理中國古代數學典籍中的相關算法，結合現代教學技術設計互動性更強的史料探究活動，以進一步強化學生的數學思維能力和文化認同感。

綜上所述，將數學典籍中的數學技巧方法融于教學課程，不僅增強了學生的學習效果，激發了他們對數學的熱情和信心，還促進了他們主動參與課堂活動的意愿。同時，這種教學方式也為教師提供了豐富的課程設計資源，為數學教育的創新和進步提供了強大推動力。

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（責編 梁桂廣）