函數思想在初中數學解題中的應用研究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）20-0036-03

數學作為一門基礎性學科，是培養學生綜合能力的關鍵學科，因而強化其教學質量顯得尤為重要.初中數學知識點繁雜，若缺乏系統性學習而僅依賴理論灌輸和概念背誦，則難以有效培養學生的思維能力與綜合素養.函數思想作為初中數學中的一種基本思想方法，對學生數學思維能力的發展具有重要作用.為此，在初中數學教學中，教師應主動采用函數思想引導學生開展解題訓練，這既能激活學生的思維活力，又能在多樣化的解題實踐中激發學生對數學的興趣，提升其學習的積極性和主動性

函數思想在初中數學解題中的重要性

1. 1 初中數學函數思想概述

函數思想作為一種核心的數學思想方法，在初中數學學習過程中具有重要地位.簡而言之，在初中數學教學中，函數思想是分析、轉化和解決數學問題的一種重要思維方式.利用函數思想思考問題、分析問題和解決問題，能夠在很大程度上降低問題的復雜性，化難為易.函數思想不僅局限于函數本身的學習，更與現實生活有著緊密的聯系.例如，在解決變量之間的關系問題時，教師可借助函數關系清晰地表達變量之間的依存和變化，從而使復雜問題簡單化，為解決問題創造便利條件.此外，函數思想能夠幫助學生構建幾何與代數之間的關系，實現“數”與“形”的有效結合，從而使復雜的數學問題直觀化，便于學生理解和解決.在培養學生的數學素養方面，函數思想的重要性更是影響深遠，教師通過學習和運用函數思想，能夠有效提升學生的邏輯思維能力和抽象思維能力，幫助學生更好地理解和掌握數學的基本概念、基本原理和基本方法

1.2 初中數學函數思想的教學意義

作為初中數學的核心內容之一，函數思想的教學意義，首先體現在培養學生的邏輯思維能力和抽象思維能力方面.通過函數思想的學習，學生能夠在數學學習過程中更好地理解變量之間的關系，掌握抽象化、模式化數學問題的處理方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.其次，函數思想的教學強調問題的內在規律和相互關系，鼓勵學生多角度、多層次思考問題和解決問題，有助于培養學生的創新思維和批判性思維，使其形成科學的思維方式和解決問題的有效策略.此外，在初中數學解題中，函數思想可以幫助學生更好地理解和掌握其他數學知識，如在解決方程、不等式、幾何等問題時，函數思想可以提供有效的解題思路.最后，通過函數思想的學習和運用，學生能夠更加熱愛數學，更加積極主動地投入數學學習，從而感受到數學的魅力和實用性.由此可以看出，函數思想的教學意義不僅在于提高學生的數學核心素養和解題能力，還在于培養學生科學的思維方式和解決問題的策略，為其全面發展奠定堅實基礎[1].

2 函數思想在初中數學解題中的應用現狀

在初中數學解題中，函數思想的應用呈現出一種逐步深化與廣泛滲透的趨勢.在當前的初中數學教學實踐中，越來越多的教師開始意識到函數思想對于提升學生解題能力和數學核心素養的重要性，并積極將其融入日常教學.一方面，函數思想在初中數學解題中的應用已經取得了一定的成效.許多教師能夠結合具體題型，引導學生運用函數思想分析和解決問題，如通過建立函數關系式解決實際問題，或者利用函數圖象輔助理解和解答幾何問題等.這種應用方式不僅提高了學生的解題效率，也增強了學生對數學知識的理解和掌握.另一方面，盡管函數思想的應用已經取得了一定進展，但仍存在一些問題和挑戰.部分教師在應用函數思想時過于注重形式和技巧，而忽視了對學生思維能力的培養.因此，一些學生在面對復雜問題時，仍然難以靈活運用函數思想進行解答.此外，由于初中數學知識點繁多，如何在有限的教學時間內有效滲透函數思想，也是教師需要面對的一個難題2.

3 函數思想在初中數學解題中的應用策略

3.1 函數思想在方程求解問題中的應用策略

在初中數學教學中，遇到難以解決的方程時，教師可引導學生嘗試把它轉化為函數形式，然后利用函數的性質解決問題.利用函數思想既能提高解題的準確性，又能夠訓練學生的函數思維，使學生更好地認識和把握各種變量之間的關系和變化規律.因此，利用函數思想可以使復雜問題簡單化，提高學生分析問題和解決問題的能力[3]

例如，在學習“二次函數與一元二次方程”時，教師可以考慮這樣一個典型問題：解方程 x²-4x+3 傳統解法可能直接利用求根公式或因式分解法，但引入函數思想，教師可以將此方程轉化函數 y =x²-4x+3 與 x 軸交點的橫坐標問題.首先，教師可以帶領學生構造二次函數 y=x²-4x+3 ，然后引導學生分析此函數開口方向、頂點坐標、對稱軸等性質，讓學生初步判斷函數圖象與 x 軸交點的大致位置.其次，教師可以利用配方法將函數化為頂點式 y =（x-2）²-1 ，從而得出其頂點坐標為（2，-1），且二次項系數為正，函數圖象開口向上，故頂點上方的圖象與 x 軸有兩個交點，即方程有兩個實數根.最后，通過求解 y=0 時 x 的值，即求函數零點，得到方程的解為 x₁=1 和 x₂=3 .這種將方程求解轉化為函數零點求解的策略，不僅豐富了解題方法，也加深了學生對函數與方程內在聯系的理解

再如，在學習“一次函數與二元一次方程組的關系”時，教師可以設計這樣一個問題：解二元一次方程組 在解決此問題的過程中，教師可以引導學生將二元一次程組轉化為兩個一次函數 y =x+1 和 y=-2x+5 ，然后求這兩個函數圖象的交點坐標.首先，教師可以引導學生根據兩個一次函數相等，得到 x+1=-2x+5. 接著，教師可以讓學生解這個一元一次方程得出 x 的值.通過移項和合并同類項，最后可以得到 4.最后，教師可引導學生將 代入任意一個一次函數表達式中，求出對應的 y 值.比如，將 代入 y=x+1 ，得到 y= 因此，這兩個一次函數的交點坐標為 從而可知二元一次方程組的解為 這種策略不僅簡化了問題，還能夠加深學生對一次函數與二元一次方程組之間關系的理解，而且在處理更復雜的函數和方程組時該策略同樣有效，體現了函數思想在代數問題中的廣泛應用.

3.2 函數思想在解決幾何問題中的應用策略

在初中數學教學中，許多幾何問題可以通過構建函數圖象輔助解決，函數圖象能夠直觀地展示變量之間的關系，使復雜的幾何問題變得簡單明了.通過繪制函數圖象，學生可以清晰地看到直線、曲線的交點等關鍵位置，從而準確地解決幾何問題[4].

例如，在學習“直線與坐標軸圍成的三角形面積問題\"時，教師可以帶領學生思考一條直線與坐標軸圍成的三角形的面積問題.設直線的解析式為y=kx+b ，其中 k 和 b 為已知常數.此直線與 x 軸相交于點 A ，與 y 軸相交于點 B ，其與坐標軸圍成的三角形為 ΔOAB. 在解決此類問題的過程中，首先，教師可引導學生利用直線方程求出其與坐標軸的交點.令 y=0 ，解得 x 的值，即得到點 A 的坐標；令 x= 0，解得 y 的值，即得到點 B 的坐標.接著，教師可以引導學生觀察圖形，發現 ΔOAB 的底與高分別與坐標軸重合，因此可以利用三角形面積公式直接計算其面積.這里的底和高就是點 A 和點 B 到坐標原點的距離.然而，更深刻的理解是，這個問題實際上是在考查函數圖象與幾何圖形的結合，直線 y=kx+b 的圖象與坐標軸圍成的區域就是一個三角形.借助函數圖象，學生可以直觀地看到三角形的形狀和大小，從而更容易地計算出其面積.這種方法不僅適用于一次函數，而且可以推廣到其他函數圖象與坐標軸的交點所構成的圖形中.

3.3 函數思想在優化問題中的應用策略

在初中數學教學中，優化問題常常涉及成本、收益、距離等實際量的最值求解，這些問題本質上都可以轉化為函數的最值問題.通過構建目標函數，并分析其性質，如單調性、極值點等，教師可以引導學生找到使目標函數達到最優變量的取值.這種方法不僅能夠使優化問題的求解過程更加清晰、系統，而且能夠培養學生的數學建模能力和邏輯思維能力，促進學生全面發展[5].

例如，在學習“矩形圍墻面積最大化問題”時，教師可以設計這樣一道題目：某單位計劃建造一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為 L ，問矩形的長、寬各為多少時，才能使圍成的矩形面積最大？首先，教師可引入函數的概念，設定矩形的面積為 s ，長為 x ，則矩形圍墻的寬為 0.5L-x ，根據矩形的面積公式可得 S=x（0.5L-x） .接著，教師引導學生利用函數的性質分析此問題.為了找到面積的最大值，教師可以引導學生將 S=x（0.5L- x ）轉化為頂點式.通過觀察，學生可以發現這是一個圖象開口向下的二次函數，其最大值出現在對稱軸上，即 x=0，25L 時，矩形的面積為 s 最大.在此過程中，函數思想幫助學生構建了解決問題的數學模型，并通過分析函數性質，找到了問題的最優解.

4結束語

在初中數學教學中，將函數思想運用到數學解題中，既能有效幫助學生攻克數學難題，又能激發學生的思維活力，拓寬學生的知識視野，并促使其從多個角度探索解題思路，從而全面提高綜合素質.在解題過程中，將復雜的數學問題向更為簡單直觀且易于理解的形式轉化是有效運用函數思想的關鍵.在教學過程中，教師應將函數思想貫穿始終，引導學生在解題過程中恰當運用函數思想，使其對函數思想有更深刻的認識和理解

參考文獻：

[1］王麗.數形結合思想在初中數學解題中的應用：以“二次函數與幾何圖形”問題為例[J].數理化解題研究，2024（2）：38-40.

[2］覃仕山.數形結合思想在初中函數教學中的應用：以人教版數學八年級下冊“一次函數”教學為例[J].廣西教育，2024（1）：58-61.

[3］楊遠鴻.數形結合思想在初中數學解題中的應用：以初中函數問題為例[J].數理天地（初中版），2023（1）：52-53.

[4］賈慧梅.數形結合思想在初中數學解題中的應用：以一次函數為例[J].文淵（中學版），2024（3）：272 -274.

[5］肖秀珍.初中數學教學中數形結合思想的應用：以函數教學為例[J].數理化解題研究，2022（32） ：56 -58.

[責任編輯：李慧嬌]