深研立幾探究教學(xué) 提升直觀想象素養(yǎng)

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）21-0042-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)探究活動是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體之一，有助于學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的激情[1].學(xué)生在高中數(shù)學(xué)立體幾何的學(xué)習(xí)過程中，由于研究對象的圖形具有抽象性與復(fù)雜性，需要具備一定的直觀想象能力和探究活動經(jīng)驗.祖晅原理作為立體幾何的重要結(jié)論，其應(yīng)用與拓展是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力、積累探究活動經(jīng)驗的重要載體.因此，本文選擇“祖晅原理應(yīng)用\"這一專題，試圖為立體幾何的探究式教學(xué)提供一個課例.

1分析教學(xué)背景，促進教學(xué)相長

普通高中數(shù)學(xué)教科書人教A版必修二第八章“立體幾何初步”的“探究與發(fā)現(xiàn)”板塊中介紹了祖晅原理的背景與定義，并通過原理初步推導(dǎo)了柱體、錐體的體積公式.近幾年高考和各地模擬試題中祖咂原理應(yīng)用問題多有涉及，其中多數(shù)難題涉及球體、牟合方蓋及圓錐形幾何體的體積求解.應(yīng)用祖恒原理的關(guān)鍵在于，在保持與原有幾何體同高截面面積相等的前提下，找到與其同底等高的幾何體.然而，大部分學(xué)生因直觀想象能力和自主探究能力不足，較難找到對應(yīng)的幾何體

2 設(shè)計教學(xué)過程，提升探究能力

本節(jié)課采用問題串引導(dǎo)的探究式教學(xué)方式，教師先引導(dǎo)學(xué)生逐步展開直觀想象，再借助GeoGebra動態(tài)課件展示祖晅原理的應(yīng)用過程，強化學(xué)生的直觀感知.在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往立體幾何的研究經(jīng)驗，經(jīng)歷“分析圖形一提出猜想一操作論證—解決問題”的探究過程，進而歸納出解答祖晅原理應(yīng)用問題的一般步驟.

2.1 用祖恒原理探究球體體積

例1如圖1，將一個半徑為 R 的半球放在平面α 上，用與平面 α 平行的平面去截半球，其中截面與平面的距離為 h ，則截得的小圓面的面積怎么表示？該半球體積怎么表示？

問題1 圓截面的面積如何表示？圓截面的面積公式可重新理解為哪種圖形的面積？

生：可表示為 πR²-πh² ，可理解為同心圓環(huán)面積（半徑為 R 的大圓面積減半徑為 h 的小圓面積）.

問題2 高度 h 從0增加到 R 的過程中，同心圓環(huán)面積會發(fā)生什么變化？

生：同心圓環(huán)面積從 πR² 逐漸變小為0.

問題3 想象同心圓環(huán)截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，你能找到和半球同底等高的幾何體，使它們在相同高度下的截面面積總相等嗎？

生：與半球同底等高的圓柱內(nèi)部挖去一個倒放的圓錐.

問題4如圖2，通過觀察GeoGebra動態(tài)課件，你能利用祖晅原理求出半徑為 R 的半球體積嗎？

生：與半球同底等高的圓柱體積 πR³ 減去其內(nèi)部倒放的圓錐體積 ，得到

問題5 在前面問題串的引導(dǎo)下，你能總結(jié)一下探究祖晅原理應(yīng)用題的一般步驟嗎？

生：首先，觀察截面圖形，通過截面面積公式判斷可表示的新圖形；其次，觀察新圖形面積隨高度 h 增加的變化情況（關(guān)注高度 h 兩端或某中間高度 h₀ ）；最后，根據(jù)前面的判斷，想象新圖形截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，找到和原有幾何體同底等高的幾何體，使它們在同樣高度下的截面面積總相等.

設(shè)計意圖通過問題串的形式步步深人，其中問題3是本題的探究難點.教師需注意啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)同心圓環(huán)截面的小圓半徑 h 與高度 h 相等的關(guān)鍵信息，引導(dǎo)學(xué)生想象同心圓環(huán)截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化過程，直至學(xué)生得出“與半球同底等高的圓柱內(nèi)部挖去一個倒放的圓錐”這一結(jié)論，最后讓學(xué)生歸納出解決祖晅原理應(yīng)用問題的一般步驟

2.2 用祖晅原理探究牟合方蓋體積

例2 祖晅是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家，是天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出的原理“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.如圖3所示，某帳篷的造型是兩個全等圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個公共部分是牟合方蓋）.若兩個圓柱底面半徑為 R ，求此帳篷的體積.

（1）牟合方蓋幾何體的定義及其性質(zhì)

師：牟合方蓋幾何體的定義：做一個正方體，然后分別從上下和左右兩個方向做正方體內(nèi)切圓柱時，重疊部分得到的幾何體

問題1 如圖4，通過觀察GeoGebra動態(tài)課件，你能得到牟合方蓋幾何體的哪些性質(zhì)？

生：由圖5得，牟合方蓋是對稱的幾何體；牟合方蓋有外接正方體；牟合方蓋和其外接正方體有同一個內(nèi)切球;用與正方體上下兩側(cè)面平行的平面截牟合方蓋，所得橫截面都是正方形

設(shè)計意圖本題以帳篷背景引入，介紹牟合方蓋幾何體及其性質(zhì).首先分析牟合方蓋的形成定義，并利用GeoGebra動態(tài)課件展示其形成過程；接著引導(dǎo)學(xué)生分析牟合方蓋的外接幾何體、內(nèi)切幾何體及其截面圖形；最后總結(jié)其相關(guān)性質(zhì)，為后續(xù)求牟合方蓋的體積做鋪墊.

（2）利用牟合方蓋的對稱性，先求1/8牟合方蓋幾何體的體積

師：由牟合方蓋幾何體的對稱性，用求解祖恒原理應(yīng)用問題的一般步驟可求得1/2牟合方蓋的體積.更簡潔的，數(shù)學(xué)家祖晅利用祖晅原理先求出了1/8牟合方蓋的體積，那么他是怎么進行研究的？

設(shè)計意圖先預(yù)設(shè)學(xué)生的兩條探究思路：一是用求解祖晅原理問題的一般步驟求得1/8牟合方蓋的體積；二是用求解祖晅原理問題的一般步驟，先求出“1/8小外接正方體”在其“1/8牟合方蓋”外部的幾何體體積，再間接求得1/8牟合方蓋體積，重現(xiàn)偉大的數(shù)學(xué)家祖晅的求解過程

問題2如圖6，將高為 R 的1/8牟合方蓋放在平面 α 上，用與平面 α 平行的平面去截1/8牟合方蓋，其中截面與平面的距離為 h ，試求牟合方蓋的體積

生：如圖6，截面與平面的距離為 h 時，截得的截面是以 為邊長的小正方形，因此截面面積表示為 R²-h²

學(xué)生小組1：如圖7，截面面積公式可重新理解為正方環(huán)面積（以 R 為邊長的大正方形面積減去以h 為邊長的小正方形面積）.高度 h 從0增加到 R 的過程中，正方環(huán)面積 R²-h² 變小.注意到正方環(huán)截面的小正方形邊長 h 與高度 h 相等，直觀想象正方環(huán)截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，得到與1/8牟合方蓋體積相等的幾何體是“以 R 為邊長的正方體內(nèi)部挖去一個同底等高的倒放棱錐”.接著用以 R 為邊長的正方體體積 R³ 減去其內(nèi)部倒放的棱錐體積 R³/3 ，得到此1/8牟合方蓋的體積為 2R³/3 ，因此該牟合方蓋的體積為 16R³/3

學(xué)生小組2：如圖8，截面與平面的距離為 h 時，“1/8牟合方蓋外部”的截面面積為 R²-（R²-h²） Ω=h² ，可理解為以 h 為邊長的正方形面積.高度 h 從0增加到 R 的過程中，正方形面積變大.如圖9，注意到正方形截面的邊長 h 與高度 h 相等，直觀想象出正方形截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，得到與\"1/8牟合方蓋外部”體積相等的幾何體是“以 R 為邊長的正方體內(nèi)部的一個同底等高的倒放棱錐”，其體積為 R³/3 ，間接得出1/8牟合方蓋的體積為 2R³/3 ，因此該牟合方蓋的體積為 16R³/3

（3）利用比例關(guān)系求牟合方蓋幾何體的體積.

還有其他求牟合方蓋幾何體體積的方法嗎？數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，發(fā)現(xiàn)了球體體積公式出錯.為了得到正確的球體體積公式，他找到牟合方蓋幾何體，并通過研究牟合方蓋性質(zhì)，如圖5，得到 進而得到V牟合方蓋·V_PH⊥ABE=4?π. ，接著，只需先求得牟合方蓋的體積，就能推導(dǎo)球體體積公式.但劉徽始終未能求得牟合方蓋的體積.直到后來，祖晅用祖晅原理先求出牟合方蓋的體積，再借助比例關(guān)系得出了球體體積公式.由于學(xué)生已預(yù)先知曉球體體積公式，因此引導(dǎo)學(xué)生利用比例關(guān)系求解牟合方蓋體積的思路與數(shù)學(xué)家們的研究路徑相反.

3 結(jié)束語

本文基于教學(xué)背景，通過問題串引導(dǎo)探究活動步步深人展開，再借助GeoGebra動態(tài)課件，突破了圖形轉(zhuǎn)化后動態(tài)想象的難點，加深了學(xué)生對直觀想象過程的理解，提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出探究祖晅原理應(yīng)用的一般步驟后，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般、再從一般到特殊的學(xué)習(xí)應(yīng)用過程，這為其積累了研究祖晅原理應(yīng)用問題的活動經(jīng)驗

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.