高中數學分層解題教學模式初探

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）21-0061-03

近年來，隨著新課程改革的持續深化，培養學生數學核心素養與提升解題能力成為數學教學的核心目標[1].在高中數學教學中，排列組合問題因其具有概念抽象性強、思維跨度大、解題方法靈活多樣等特點，一直是教學難點和重點.面對學生個體差異化的學習需求和能力水平，傳統的“一刀切”教學模式已難以契合教學實際需求.基于此，探索一種適應不同層次學生需求的分層解題教學模式具有重要的現實意義.本文以高中數學排列組合問題為例，通過構建分層解題教學模式，設計差異化的解題路徑和教學策略，旨在幫助不同層次的學生掌握解題方法，提高解題能力，落實因材施教的教學目標[2].

1分層解題教學模式的構建

1. 1 分層標準的確定

在高中數學分層解題教學模式中，科學確定分層標準是整個教學模式構建的基礎和前提.本研究依據布魯姆教育目標分類理論，結合學生的實際情況，將學生的排列組合解題能力分為三個層次：基礎層、提高層和拓展層.基礎層主要面向基礎知識掌握不牢固、解題思路不清晰的學生.這類學生雖能理解排列組合的基本概念和公式，但在解題時常出現混淆與錯誤.這一層次的標準為：能準確識別排列組合的基本模型，熟練掌握基本公式，并能運用公式解決簡單的計數問題.提高層針對具備一定解題能力且知識基礎較好的學生，他們已掌握基本知識點，能夠靈活運用多種解題方法.該層次的標準為：能分析較復雜的排列組合問題，熟練運用不同的解題策略，具備較強的數學思維能力.拓展層面向學習能力突出、富有探究精神的學生.這類學生不僅擁有扎實的知識基礎，還具備較強的創新思維.該層次要求學生能夠解決綜合性問題，主動探索多種解題方法，具備卓越的數學推理能力與創新思維能力.

1. 2 解題路徑的設計

在分層解題教學模式中，設計科學合理的解題路徑直接關乎教學效果，其核心目標是讓不同層次的學生循序漸進地掌握解題方法，實現從基礎到進階的能力提升，從而在數學學習中建立解題自信，全面提升排列組合解題能力.基礎層解題路徑以“模型識別一公式應用一分步解答”為主線.教師首先幫助學生識別排列組合的基本模型，如簡單排列、簡單組合等，引導學生精準匹配對應的計算公式.在具體解題過程中，采用分步驟、分層次的解析方式，確保學生清晰理解每一步的推理邏輯與計算依據.例如，在教學“不同物品的排列”問題時，教師可以引導學生先明確排列的對象和性質，再選擇恰當的排列公式，最后按步驟完成計算.提高層解題路徑強調“多元思維一方法整合一靈活應用”.在這一層次中，教師注重培養學生多角度分析問題的能力，引導他們靈活運用多種解題策略，如枚舉法、分類討論法、數形結合法等.通過對比不同解法的優劣，幫助學生建立多樣性的解題思維，提高解決復雜問題的能力.拓展層解題路徑突出“方法創新一思維拓展一舉一反三”.針對這一層次的學生，教師鼓勵其探索新穎的解題方法，培養創造性思維.通過設計開放性的問題，學生可以深人思考問題的本質，歸納規律，構建知識間的聯系，從而提高解決綜合性問題的能力，

2分層解題教學模式的實施策略

2.1 基礎層次解題指導

針對基礎層次學生的解題指導，其核心在于夯實基本概念與掌握標準化解題流程.教師應通過合理的教學設計，引導學生逐步建立排列組合問題的解題思路和方法.例如，在教學“簡單組合問題”時，可以從具體情境人手：從5名同學中選出3名參加比賽.引導學生理解“組合”的概念，即不考慮順序的選擇問題，然后通過繪制樹形圖或列舉法，幫助學生直觀理解選擇的過程，最后引入組合公式 C₅³ 通過這種由具體到抽象的過程，學生能夠更好地理解組合的本質.在解題訓練中，教師應注重基礎題型的分類和歸納.如將排列組合問題分為“不同物品的排列”“相同物品的排列”“簡單組合”等類型，針對每種類型設計遞進式的練習題目.例如，先讓學生解決“從4個不同水果中選擇3個排成一排”這樣的簡單排列問題，再過渡到“4個蘋果和3個橘子排成一排”的相同物品排列問題.教師要及時發現學生在解題過程中的常見錯誤和困惑，如排列組合的混淆、公式使用不當等問題，通過詳細講解和針對性練習，幫助學生克服這些困難.在練習過程中，采用“一題多解”的方式，通過展示不同的解題思路，幫助學生建立對排列組合問題的全面認識.

2.2 提高層次解題訓練

針對提高層次學生的解題訓練，其重點在于培養學生的思維能力和解題策略應用能力.教師應通過深入的教學設計，引導學生系統掌握排列組合問題的解題方法和技巧.例如，在教學“復雜組合問題\"時，可以從問題分析入手：在8名男生和6名女生中選出5人組成代表隊，要求男生不少于3人.教師可引導學生理解這是一個分類討論的問題，即需要將選擇的情況按照男生人數分類討論，通過樹狀圖或列表法，幫助學生系統梳理所有可能的情況，最后歸納為 C₈³×C₆²+C₈⁴×C₆¹+C₈⁵×C₆⁰ .這種由表象到本質的分析過程，使學生能夠更好地把握復雜排列組合問題的解題要領.在解題訓練中，教師應注重解題思路的多樣性和靈活性.比如將復雜的排列組合問題分為“分步計算型”“分類討論型”“補集轉化型”等類型，針對每種類型設計層次遞進的練習題目.例如，先讓學生解決“從4個不同顏色的球中取出2個，再從剩下的球中取出1個排成一列\"這樣的分步計算問題，再過渡到“8本不同的書放在4個相同的書架上，要求每個書架至少放1本書”這樣的分類討論問題.教師要及時歸納學生在解題過程中的典型思路和方法，比如“容斥原理”“數形結合”“代數化處理”等策略，通過案例分析和比較，幫助學生掌握這些高效的解題方法.在訓練過程中，采用“一題多解”的方式，引導學生從不同角度思考問題，培養其解題思維的靈活性和創造性.

2.3 拓展層次解題探究

針對拓展層次學生的解題探究，其重點在于培養學生的創新思維和數學探究能力.教師應通過開放性的教學設計，引導學生深人探索排列組合問題的本質規律和解題方法的創新.例如，在教學“復雜排列組合綜合問題”時，可以從問題變式人手：有8個不同的球，將它們分別放入3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放1個球，且第一個盒子的球數必須是奇數，求不同的分配方案數.教師可引導學生發現這是一個需要多重條件結合的問題，既要考慮分配的可能性，又要滿足奇數個數的限制，通過建立數學模型或構建邏輯框架，幫助學生系統分析問題的各個維度，最后通過容斥原理或生成函數等高級方法求解.這種由表及里的探究，使學生能夠更深入地理解排列組合問題的內在聯系.

在解題探究中，教師應注重解題方法的創新性和系統性.比如將高階排列組合問題分為遞推型、生成函數型、數學歸納型等，針對每種類型設計開放性的研究課題.例如，先讓學生探究“ n 個不同的球放入 n 個不同的盒子，要求每個盒子恰好放一個球的方案數與 n 的關系”這樣的遞推問題，再過渡到“將 n 個不同的球放入 m 個相同的盒子，使得任意兩個盒子中的球數之差不超過1的方案數”這樣的綜合性問題.教師要及時引導學生發現問題中的數學規律，比如遞推關系、對稱性質、不變量等特征，通過深入研究和論證，幫助學生建構系統的解題思維體系.在探究過程中，采用問題鏈的方式，引導學生通過變換條件、推廣結論等方式，形成對排列組合問題的深層認識

3分層解題教學模式的反思與優化

3.1 分層解題教學模式的優勢

分層解題教學模式在實踐中展現出明顯的優勢，它能夠滿足不同層次學生的學習需求，實現因材施教的教學理念.基礎層學生在循序漸進的學習中鞏固基礎知識，提高層學生在多樣化的解題訓練中提升思維能力，拓展層學生則在開放性探究中發展創新思維這種模式有助于提高課堂教學效率，教師可以有針對性地設計教學內容和策略，避免“一刀切”的教學方式.分層教學有利于激發學生的學習積極性，讓每個層次的學生都能體驗到成功的喜悅，建立學習自信

3.2 分層解題教學模式的常見問題

分層解題教學模式在實施過程中暴露諸多現實問題.其一，層次劃分標準的執行不夠科學.部分教師過度依賴考試成績進行分層，忽視了學生的思維特點、學習潛力和進步速度等因素，甚至出現“一考定終身”的現象，導致學生難以在不同層次間流動，嚴重影響學習積極性和自信心的建立.其二，教學資源分配出現明顯的失衡現象.許多教師將主要精力投入到提高層和拓展層學生的培養中，對基礎層學生的關注不夠，導致“兩極分化”現象加劇.部分學校甚至出現重點班級配備優秀教師，而基礎班級師資力量薄弱的情況.其三，教學實施方式存在僵化傾向.教師在課堂上機械地按層次安排教學活動，缺乏靈活性和互動性

3.3分層解題教學模式的改進建議

針對分層解題教學模式存在的問題，提出以下具體改進建議.（1）完善層次劃分機制.建立動態的評價體系，將學生的學習態度、思維能力、進步幅度等多維指標納入分層標準；定期進行層次調整，建立科學的晉升通道，讓學生能夠根據自身進步情況靈活流動，以激發學習動力；采用多元化的評估方式，比如單元測試、課堂表現、作業完成質量等綜合評定學生層次.（2）優化教學資源配置.實施教師輪崗制度，確保各層次學生都能得到優質的教學資源；加強教師培訓，提升教師的分層教學能力和個性化指導水平；建立教師合作機制，通過集體備課、經驗分享等方式，整體提升教學團隊的專業水平.（3）創新教學實施方式.設計多樣化的教學活動，如層次間互助學習、分組討論等，促進不同層次學生之間的交流與合作；注重培養學生的解題思維過程，通過設置開放性問題、鼓勵多種解法等方式，激發學生的思維潛能.

4結束語

分層解題教學模式是新課程改革背景下的一種創新性教學探索，它突破了傳統“一刀切”的教學模式局限，為實現因材施教提供了可行路徑.通過對排列組合問題的分層教學展開實踐，可以發現這種模式能夠有效滿足不同層次學生的學習需求，提升教學效果.盡管在實施過程中仍存在一些問題，但只要在教學實踐中不斷完善和優化，這種教學模式必將在提升學生的數學核心素養、培養創新人才方面發揮重要作用.

參考文獻：

[1］施友芝.高中數學解題中存在的問題與對策探究：以“排列組合”教學為例［J].數理天地（高中版），2024（19）：20-21.

[2］陸效敬.高中數學排列組合推理的教學思考[J].中學課程輔導，2014（12）：72-73.

[責任編輯：李慧嬌]