拓展隔板法在高中數學解題中的應用

隔板法又稱“插法”，是組合數學中非常經典的一種解題方法，將“實際分配問題”或復雜的“球盒問題”轉化為“球板模型”.拓展隔板法是在傳統方法的基礎上進行優化，可以更加靈活地處理如空盒、多約束條件等問題，目前多應用于解決高中數學中的排列組合、概率統計等問題（關于人員分配、展開式項數計算以及帶編號球放入盒中），如求解 n 個相同元素分配到 Ψ_m 個不同組中，根據給出的具體約束條件抽象出對應數學模型，實現計算求解

1 隔板法基本原理

隔板法是非常經典的數學組合解題方法，目前主要用于解決高中數學排列組合問題，傳統隔板法是通過在元素間插入隔板的方式來簡化問題求解.考慮到傳統隔板法在處理允許盒子空或盒子數量多的問題中暴露出了局限性（例如將5個相同的球放在3個盒子中，允許盒子為空，傳統隔板法是無法直接應用)，便在原有的基礎上對其進行優化，形成“拓展隔板法”，其本質是通過隔板方式將實際問題拆解為若干部分，并按照隔板的位置與數量確定不同的組合的可行性，這種方式在保留傳統隔板法優勢的同時靈活調整隔板插入方式，實現對傳統問題的解決[1].采用拓展隔板法可以拓展學生解題思路，讓排列組合問題或概率問題更加清晰明了，同時又能提升解題效率，讓學生結合題干信息，更加快速地找到解題切入點，以培養其邏輯思維能力.

目前拓展隔板法主要解題步驟為：步驟1，根據題干信息找到解題突破口，判斷題目是否使用隔板法解決；步驟2：將實際問題抽象為“球盒模型”，根據題目設定具體的隔板數量與位置；步驟3：分析是否有特殊的約束條件，例如不充許空盒或者是特定元素分組等，對隔板法進行調整；步驟4：使用組合公式計算存在的組數.在具體解題中，拓展隔板法是解決數學排列組合問題的有效方式之一，數學教師有必要引入并引導學生理解隔板法的基本原理，靈活應用，以增強學生的數學素養2].

2 隔板法在高中數學解題中的應用

2. 1 人員分配問題

例1某公司派出5名工程師前往3個技術部門協助研發，要求每位工程師只能去一個部門，每個部門至少安排1名工程師，根據項目要求，甲、乙兩位工程師必須在不同的部門，則有（ ）種分配方法.

(A)124. (B)246. (C)114. (D)108.

分析本題目使用拓展隔板法解決，將5名工程師分配到3個部門，且每個部門至少1人，甲乙兩位工程師必須在不同的部門，需要先計算出總分配數（無約束)，后再計算出甲乙同部門的分配數，采用捆綁法，將甲乙視為一個整體，剩余3位工程師獨立，共有4個元素需要分配到3個部門，且每個部門至少有1個元素，最后減掉甲乙同部門的情況.

詳解 在這道題目中，先不考慮甲和乙兩位工程師則有 3+1+1 和 2+2+1 的兩種分配方案， 3+ 1+1 有 C₅³A₃³ 個結果， 2+2+1 則有 個結果，由此可以得到

當甲和乙工程師在同一個部門，且甲乙所在部門只有2位工程師，會得到 C₃³A₂² ；甲乙所在同一部門有1個工程師，此時可以得到 C₃¹A₂² 個結果， C₃¹ (C₃²A₂²+C₃¹A₂²)=36 ，后得到了 150-36=114. 因此選擇(C）選項.

2.2 展開式項目問題

例2求 (x₁+x₂+x₃+x₄)¹⁰ 的展項開式共有多少項？

分析本題目是一道拓展隔板法的問題，根據題干信息，在 (x₁+x₂+x₃+x₄)¹⁰ 展開式的通向式可以寫成 ρx₁^aρx₂^bρx₃^cρx₄^d ，其中 p 為系數且 a+b+ c+d=10 ，將其轉化后可以使用隔板法.通常在解決此類型題目的時候，可以將其理解為較為熟悉的盒子與小球題型“將 n 個相同的小球放置到 Ψ_m 個不同的盒子當中，盒子可能為空”.

詳解結合題干信息，當 x₁，x₂，x₃ 和 x₄ 相當于四個不同的小盒子，可以將冪指數10看作為10個大小形狀相同的小球，將這10個小球放置到4個不同的盒子里面，且因為盒子可能為空，基于隔板法可以知道 C₁₃³=286 （項）.

2.3帶有編號的球放入盒子的問題

例3 帶有編號1，2，3，4，5的五個球，則（ ）

（A）全部投入4個不同盒子，共有 4⁵ 種放法.(B)放入到不同的4個盒子內，每個盒子至少1個，共有 C₄³ 種放法.

（C）將其中的4個球放入到4個盒子里的任意一個，（另外1球不放入），共有 C₅⁴C₄¹ 種放法.(D)將全部球放到不同的4個盒子里（沒有空盒），共有兩 C₅²C₄⁴ 種不同的放法.

分析本題目考查學生對排列組合的應用能力，根據題目要求，考慮全部投入、每盒至少一個、一個球不投人以及沒有空盒等在內的多種情況，并對其分別進行計算，找到相對應的正確答案.

詳解本題考查了排列組合的實際應用、分步乘法計算原理，四項具體計算如下：每個球都可以放入4個不同盒子中，則有 4×4×4×4×4=4⁵ 種方法；按照題干信息，將其全部投放到4個不同的盒子當中，每個盒子至少有1個，相當于將其中的2個球捆綁為1個球，在對其進行排列，后可以得到 C₅²C₄⁴= 240種放法；按照題干中給出的先選擇4個球，有 C₅⁴ 種，再選擇一個盒子，有 C₄¹ 種，故共有 C₅⁴C₄¹ 種方法；若全部投放到4個不同的盒子當中，且沒有空盒，相當于將其中的2個球捆綁成為1個球，對其進行排列，得到 C₅²C₄⁴=240 種放法.

3結語

拓展隔板法是傳統隔板法的進一步發展與延伸，其目的在于高效處理高中數學排列組合問題中的復雜情境，例如存在空盒、球數量較多等.通過應用拓展隔板法，在培養學生邏輯思維能力與問題解決能力的同時提升學生的解題效率，在日常教學中，教師應引導學生深入理解隔板法，并掌握拓展隔板法在不同情境下的應用，以便更有效地解決數學問題.

參考文獻：

[1]周霞.隔板拓展法在高中數學排列組合問題中的應用[J].中學生數理化(教與學)，2020(06)：93.

[2」毛惠明.拓展隔板法在高中數學解題中的應用LJ」.現代職業教育，2019(17)：80—81.