實變函數教材中關于集合論的幾個術語

摘 要：大學數學專業的不同實變函數教材對一些集合論概念采用不同的術語或記號表述，其中一些教材采用的術語已不太切合當代數學文獻的主流，某些教材使用的個別術語甚至存在易被忽略的小瑕疵，鑒于一些相關術語被不少教材使用，特寫本文指出問題，與讀者商榷.本文以江澤堅等人所編的《實變函數論》第四版為例，通過對比其他被較多使用的實變函數教材的對應處理方式，指出了其在集合論相關章節中幾個學生容易混淆的術語，并介紹了這些集合論相關術語在現代數學分支中的使用習慣，供相關課程教師和學生進行對比使用.

關鍵詞：實變函數論；連續基數；一一對應；集合論

集合論作為數學基礎，其部分基本理論往往會在數學專業的“實變函數”“點集拓撲”“離散數學”等課程中進行介紹.尤其是“實變函數”課程，通常會在課程開始時對集合及其基數的有關知識進行介紹。由于歷史與習慣的原因，國內不同實變函數教材，會對某些集合論相關概念采用不同的敘述方式，這給學生進行對比閱讀帶來了一些不便.

江澤堅等［1］編寫的《實變函數論》目前已出版至第四版，此教材取材精煉、條理清晰、內容深入淺出，被許多高等院校選作本科“實變函數”課程的教材.在該教材第一章“集合及其基數”中，筆者注意到了幾處學生容易混淆的術語，并由此出發，對比了其他常見實變函數教材中相關術語的敘述方式，并討論了對應術語在現代數學分支中的使用習慣.

一、關于江澤堅等［1］的《實變函數論》中第一章第四節中的“”術語

實變函數教材的第一章往往會介紹一些與實變函數相關的集合論基礎理論.而集合論本身目前已發展成為一個非常深入的數學分支，屬于現代數學中數理邏輯領域的重要組成部分.國內一些被較廣泛使用的實變函數教材會將可數基數（自然數集瘙綃的基數）記作a，或者將連續基數（實數集瘙綆的基數）記作.但是從當今數理邏輯與集合論專業領域的學者使用習慣來看，集合論學家并不使用a來表示可數基數，也不常使用來表示連續基數.

在集合論領域，當前主要教材及主要學術論文中并不都使用記號a和來表示可數基數與連續基數，較多使用表示可數基數，使用20或c表示連續基數（在數理邏輯中也常使用ω來表示0）.表2列出了Enderton、Schindler等人編著的集合論教材使用的記號，其中參考文獻［10］到［13］為集合論專業領域國際通用的標準本科或研究生教材，參考文獻［14］為國內集合論方向優秀的中文教材.

通過上面的對比情況可以看到，表1中沒有實變函數教材同時使用記號0與20.這里額外指出如下幾點.

（1）曾經是Cantor使用過的記號之一，經了解目前只有部分以色列的學者還會在一些文獻中使用表示連續基數，但此記號在當今國際數學界已長期不通用.

（2）雖然集合論學家很少單獨使用，但會使用帶序數下標的α來表示無窮基數序列.

（3）20這一記號本身是有一定意義的，即利用特征函數的對應關系，可得20和可數集合的冪集的基數是一樣的.事實上，很多實變函數教材也提到了這個事實（如江澤堅等［1］編寫的《實變函數論》便將證明2a=c作為一道習題），但是并沒有像集合論教材那樣將20本身作為一個標準的連續基數的記號.

（4）周民強編著的《實變函數論》［7］將1記作連續基數的記號之一，這是不恰當的.在集合論領域1表示0的后繼基數，即第一個不可數基數.而連續基數c是不是1這個問題是獨立于ZFC公理系統的，換言之，ZFC公理系統與20≠1是相容的（這涉及現代集合論中很深的理論）.此處可能是作者的疏漏或者印刷錯誤.

（5）除了“實變函數”課程，集合論的一些內容還會出現在數學專業的“點集拓撲”課程中.國內“點集拓撲”課程使用相當廣泛的教材——熊金城所著的《點集拓撲講義》［15］中也使用了記號表示連續基數，但經筆者查閱發現，幾本主流的一般拓撲學英文教材（如Engelking編著的General Topology等）使用的是記號20或c，并未使用記號.

雖然這一記號并不影響學生對于有關知識點的理解，但作為一個相對陳舊的記號，已經不被當前主流數學界使用。若教材中能采用現代集合論領域內的標準記號，無疑是個很好的選擇．

二、關于江澤堅等［1］編的《實變函數論》中第一章第一節中的術語“σ域”的

在數學概念中，“σ代數”和“σ域”指的是同一個對象的兩個不同名字．在江澤堅等［1］編的《實變函數論》中，有些章節（如第一章第一節）使用的是“σ域”的術語，而有些章節（如第三章第三節）使用的是“σ代數”的術語．雖然江澤堅等［1］編的《實變函數論》在引入此概念時指明了這兩個術語表示同一個概念，但是其在教材中不同的地方使用了不同的術語，還是會讓少數學生感到稍微混亂，想知道兩者有無用法習慣上的區別．

從測度論的角度來看，術語“σ代數”可能較多地被基礎數學領域的學者使用，而術語“σ域”則較多地被概率論領域的學者使用．例如，在一些明確面向概率論方向的測度論教材中．例如，程士宏編著的《測度論與概率論基礎》［16］中使用了術語“σ域”，并未提及術語“σ代數”．但是對于未明確面向概率論方向的測度論教材，如嚴加安所著的《測度論講義》［17］中使用的術語是“σ代數”而非“σ域”．在實變函數相關教材中，選擇“σ代數”作為主要術語的相對多一些（如程其襄、周性偉等作者的教材［27］、胡適耕［9］編的教材以及Stein［18］編寫的國外經典教材），選擇“σ域”作為主要術語的要相對少一些（如江澤堅等［1］編的《實變函數論》與曹廣福［8］編的《實變函數論與泛函分析》）．這也許與實變函數相關教材旨在面向所有數學領域（而非專門概率論方向）的讀者定位更相關，當然其中的界限并不嚴格，很多教材中同時提到了這兩個術語．

從數學概念的相關性來說，一個與“σ代數”對應的相近概念是“代數”，而與“σ域”對應的相近概念是“σ環”．有些實變函數教材會在引入“σ代數”或“σ域”概念的同時，順便提及“代數”或“σ環”的概念，還有一些優秀的實變函數教材會在某些章節中進一步介紹σ環上的測度．江澤堅等［1］編的《實變函數論》在“集合環上的測度的擴張”章中介紹了σ環相關知識，這使得該教材使用“σ域”一詞變成了一個特色。有一些教材（如參考文獻［5］所示教材）也談及了AX環以及集合環上測度的擴張，但是使用術語是“AX代數”而未提及術語“AX域”．

三、關于江澤堅等［1］編的《實變函數論》中第一章第一節中的術語“示性函數”

在數學概念中，“示性函數”和“特征函數”是同一個對象的兩個不同名字．對于子集AX，其示性函數是將A中的元素映到1，將A外的元素映到0，常見的示性函數記號有1A，IA或χA等（江澤堅等［1］編的《實變函數論》采用的記號是φA）．在本文所參考的這些參考文獻［1］—［9］所示教材中，除了江澤堅等［1］編的《實變函數論》采用的是術語“示性函數”，其他教材均采用的是術語“特征函數”．這在某種程度上說明“特征函數”是一個比“示性函數”使用得更廣泛的術語．由于學生在其他課程中（如“數學分析”課程或“點集拓撲”課程）已接觸過“特征函數”這個術語，因此部分學生在后續閱讀江澤堅等［1］編的《實變函數論》時，會對術語“示性函數”產生疑問，同樣想知道兩者在用法習慣上有無區別．

無論是術語“示性函數”還是術語“特征函數”，都是從英文數學文獻翻譯而來的．其中，“示性函數”對應的是“Indicator function”，而“特征函數”對應的是“Characteristic function”，因此“示性函數”與“特征函數”并不是翻譯層面的差異，而是在英文原始文獻中就是兩個不同的術語．如前面指出，對于集合X上到值域為{0，1}的函數1A，其示性函數和特征函數沒有任何區別，可以隨意轉換．但是在一些特定的數學分支中，“特征函數”往往會用來表示一些其他函數，這時為了區分就需要保留術語“示性函數”來表示1A．下面舉兩個數學分支的例子．

例1：在概率統計中，對于隨機變量X，其特征函數為：

φX：瘙綆→瘙綇，φX（t）=E［eitX］

其中，E表示期望．在概率論領域，術語“特征函數”通常專門指上述函數，而保留術語“示性函數”，來表示本節提到的1A．

例2：在凸分析中，子集AX的特征函數有時指：

χA：X→{0，+∞}

當x∈A時，χA（x）=0；當xA時，χA（x）=+∞．這與通常的示性函數1A有所不同．

除此之外，“特征函數”一詞偶爾會被其他數學分支在某些場合使用，但就一般情況來說，除了概率統計領域中會固定使用術語“特征函數”表示例（1）中的函數φX（t），其他數學領域的學者大多習慣使用術語“特征函數”來表示1A．

四、關于江澤堅等［1］編的《實變函數論》第一章第二節中的術語“A和B是對等的”

江澤堅等［1］編的《實變函數論》第一章中，關于“兩個集合是對等的”定義在敘述語言上存在小瑕疵，相關敘述可能會對讀者造成一定的理解誤導．該教材的相關定義與其他常見教材的敘述風格不太一樣，甚至受其影響較深的程其襄［2］等人編著的《實變函數與泛函分析基礎》已對相關定義的敘述進行了修正，而江澤堅等［1］編的《實變函數論》目前已經出版至第四版，卻仍沿用原敘述方式。因此，本文特指出該定義敘述中可能存在的語言誤導問題．

該教材中關于“兩個集合是對等的”定義如下：設A和B是兩個集合，如果存在兩者元素之間的一個對應關系φ，使A中任意元素x，通過φ都恰與B中的一個元素y對應，而B中任意的y也一定是A中某一x（通過φ）在B中的對應元素，則我們說A和B是對等的．

上述定義的敘述不夠嚴謹，此定義描述的φ只是一個滿射，而非雙射．目前定義的條件里并未蘊含φ一定是單射的事實：“A中任意元素x，通過φ都恰與B中的一個元素y對應”只說明了φ不能“一對多”，即φ是一個映射（這個條件其實和前面的“對應關系φ”表達意義重復）；而“B中任意的y也一定是A中某一x在B中的對應元素”只說明了φ是一個滿射．

上述定義的敘述問題較難被人發現，究其原因就是人們普遍將“恰與B中一個”理解為“與且只與一個”，并認為這表明映射為單射．這正是容易令人疏忽之處：當把“恰與”理解為“與且只與一個”時，原句“A中任意x，通過φ都恰與B中的一個元素y對應”會被理解成“對A中任意x，通過φ都只與B中唯一的y對應”，即x不能既與y1又與y2對應，從而說明定義開頭提到的對應關系φ是個映射，即φ（x）是定義良好的，但此句話并不能說明映射為單射．

因此，當把“恰與”理解為“只與”時，需要把原句改為（或在原句中加上）“B中任意y，都恰與A中的一個x對應”才能說明映射為單射．原句中的“恰與”并不蘊含改后的“恰與”的意思．例如，A是自然數集合，B={0，1}，按照原定義的字眼，允許把奇數都映射到0，偶數都映到1（因為定義只是說每個自然數不能既映到0又映到1，以及0和1都有原像即可）．

當然，由于江澤堅等［1］編的《實變函數論》中給出的是偏描述化的定義，上述理解可能只是文字上的而非數學上的偏差．原句“A中任意x，通過φ都恰與B中的一個y對應”在中文語境中似乎是可以有“A中不同的x，通過φ都與B中不同的y對應”之意，若這樣理解原句，則表達了單射的意思．可能大多數讀者也是這么理解的（這需要讀者在頭腦里已經有了正確的單射概念）。只從邏輯層面來講，把原句中的“恰與”理解為“只與”，原定義是存在瑕疵的．

結語

本文從“實變函數”課程教學過程中注意到的幾個術語出發，對一些容易讓學生混淆的術語進行了探討．“實變函數論”“點集拓撲學”課程作為數學專業學生了解集合論有關理論的窗口，在課程中介紹主流的數學記號和區分相近的數學術語，對學生進行對比閱讀和后續學習是非常有益的．

參考文獻：

［1］江澤堅，吳智泉，紀友清.實變函數論［M］.4版.北京：高等教育出版社，2019.

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［15］熊金城.點集拓撲講義［M］.4版.北京：高等教育出版社，2011.

［16］程士宏.測度論與概率論基礎［M］.北京：北京大學出版社，2004.

［17］嚴加安.測度論講義［M］.2版.北京：科學出版社，2004.

［18］STEIN E，SHAKARCHI R.Real analysis［M］.New Jersey：Princeton University Press，2005.

基金項目：河北省高等學校科學技術研究項目（QN 2023009）

作者簡介：彭程（1987— ），男，漢族，河北石家莊人，博士研究生，講師，研究方向為數理邏輯。