基于工程應用的“最優控制理論”課程教學案例建設

摘 要：本文針對“最優控制理論”課程對數學基礎要求高、推導多的特點和理論與應用聯系不緊密的問題，建設教學案例，將工程應用中的實踐問題引入課堂，提升學生的學習興趣，改善教學效果。研究主要圍繞變分法、最小值原理、線性二次型調節器、動態規劃等重點內容建設教學案例，并將最優控制理論的新方法、新問題和新趨勢融入課堂教學，利用仿真軟件進行關鍵方法或技術的檢驗。教學案例有效銜接課程與專業實踐，鍛煉研究生的創新能力和學習主動性，體現了課程的高階性、創新性和挑戰度。

關鍵詞：工程應用；最優控制理論；教學案例

中圖分類號：O23；G642" 文獻標識碼：A

“最優控制理論”是現代控制理論的重要組成部分，作為控制專業碩士研究生的一門專業基礎課程，它可以使學生掌握實踐問題的最優控制描述與最優控制器設計方法，建立最優控制思想，為解決較為復雜的控制系統設計問題提供理論支撐。

一、“最優控制理論”課程特點

最優控制理論經典內容包含變分法、極小值原理和動態規劃等，回顧這些關鍵理論方法的發展史可以發現，最優控制理論與數學緊密結合。因此，其突出的特點是邏輯性和理論性強，尤其是變分法部分涉及泛函、微積分、矩陣論等數學基礎，學生的學習效果直接與其數學基礎相關。同時，最優控制理論因其具有性能最優的優勢，被廣泛應用于各個領域的工程實踐。

二、教學存在的困難

當前教學過程中存在的主要困難是課堂涉及的理論推導和證明較多，數學基礎要求較高，同時又以“自動控制原理”為先導課程，對學生的綜合能力要求全面，導致教師不易把握教學的深度和廣度。同時，理論與應用之間缺乏實現的橋梁，導致課程與專業實踐缺乏有效銜接，學生在知識的轉化應用上存在困難，課堂上難以跟上教師的授課節奏，聽課效果一般［1］。這些問題和困難直接影響本門課程教學目標的達成。

三、教學案例建設

為了解決以上問題，選擇案例教學法開展教學，把具體的實際案例引入課堂，把問題引入、理論的建立、研究思路與方法作為課堂講授的重點，將相關的新理論、新方法、新思路、新問題融入教學內容［2］。

案例建設便于提高研究生對理論知識進行應用研究的能力，拓寬研究生的專業視野，提升研究生的應用創新能力［3］。案例建設從實際應用出發，突出“真實需求、真實項目、真實流程”［4］。針對“最優控制理論”課程主體內容變分法、最小值原理、線性二次型調節器、動態規劃等，對應建設最速降線問題、飛行器姿態最短時間控制、倒立擺姿態控制和月球表面最優探測路徑等教學案例，通過工程實踐案例驗證理論方法的有效性，同時展示理論方法的應用技巧。

（一）最速降線問題

問題描述：如圖1所示，在忽略摩擦的情況下，物體僅在重力作用下從較高的一點（0，0）下滑到較低的一點（x1，y1），請問路徑y=y（x）如何選擇可使所用時間最短？

問題分析：設物體速度為v，則v=dsdt=1+y·2dtdx，根據能量守恒定律，得mgy（x）=12mv2v=2gy（x），綜合以上得dt=1+y·22gy（x）dx，所以總耗時為：T=∫x101+y·22gy（x）dx，則問題為求取minyT=miny∫x101+y·22gy（x）dx。

問題求解：對于歐拉方程，根據問題的物理背景可知，y=k（常數）不是歐拉方程的最優解，則對歐拉方程同乘y·，得［5］y·Fy-ddx（Fy·）=ddxF-Fy·y·=0，則F-Fy·y·=c，即1+y·22gy-12gyy·21+y·2=c，有y1+y·2=k2，其中k2=12gc2，選擇y·=cotα，則y=k21+cot2α=k2sin2α=k22（1-cos2α）。又因為dx=dyy·=2k2sinαcosαcotαdα=k21-cos2αdα，則x=k2α-sin2α2+c1=k22（2α-sin2α）+c1。利用初值條件（x，y）|α=0=（0，0），得c1=0，則x=k22（2α-sin2α）

y=k22（1-cos2α）。取r=14gc2

θ=2α，則x=rθ-sinθ

y=r（1-cosθ）為旋輪線方程，其半徑r由終值條件（x1，y1）確定。

（二）飛行器姿態最短時間控制

問題描述：飛行器姿態控制決定飛行器控制效果，影響其功能的發揮。例如，空間探測衛星需要實時調整自己的姿態，使傳感器對準待探測區域；為了實現打擊最大效能，導彈需要以預定姿態撞擊目標，這些都需要飛行器的姿態控制。

以空間探測衛星為例，假設其滿足軸對稱，則其單軸的姿態動力學模型為θ·=ωx

ω·x=Tx/Ix，其中θ，ωx分別是衛星沿本體坐標系中主軸的姿態角、旋轉角速度；Ix，Tx分別是衛星繞主軸的轉動慣量、控制力矩。設x1（t）=θ（t），x2（t）=ωx（t），u（t）=Tx/Ix，則x·1（t）=x2（t）

x·2（t）=u（t）。衛星初始姿態x1（t0），x2（t0）非零，控制量受約束u（t）≤1，求取控制量u（t），使衛星在最短時間內回到預定位置x1（tf）=x2（tf）=0，則對應的性能指標為minuJ=∫tf0dt。

問題求解：

（1）最優控制函數的確定。

由Hamilton函數H=1+λ1x2+λ2u，得u=+1λ2lt;0

-1λ2gt;0。由伴隨方程λ·1=-Hx1

λ·2=-Hx2，得λ1=c1

λ2=-c1t+c2。由于終端狀態固定、終時不指定，所以不能由橫截條件確定c1，c2，選擇從假定控制作用下的狀態軌跡入手研究，采用圖形法輔助求取最優控制量。

（2）狀態軌跡方程的建立。

u=+1時，x·1=x2，x·2=1，解得x1（t）=12t2+x20t+x10

x2（t）=t+x20，消去t得x1（t）=12x22（t）+x10-12x220，對應的圖象是開口向右的拋物線簇，如圖2所示，圖中箭頭表示t增大時x2增大。u=-1時，x·1=x2，x·2=-1，解得x1（t）=-12t2+x′20t+x′10

x2（t）=-t+x′20，消去t得x1（t）=-12x22（t）+x′10-12x′220，對應的圖象是開口向左的拋物線簇，如圖3所示，圖中箭頭表示t增大時x2減小。將圖2、圖3的運動軌線合并，如圖4所示，兩簇拋物線中各有一條通過原點O的軌跡：其中，施加u=-1，可沿AO分支回到原點，施加u=+1，可沿BO分支回到原點，稱AOB為開關線。且兩簇拋物線均在其與開關線相交處變換控制量，而后沿開關線運動至原點。

開關線方程為：h（x1，x2）=x1（t）+12x2（t）x2（t）=0。在開關線以上，有h（x1，x2）gt;0；在開關線以下，有h（x1，x2）lt;0。因此，最優控制可表達為：

u（t）=-1h（x1，x2）gt;0

-sgn［x2（t）］h（x1，x2）=0

+1h（x1，x2）lt;0

在Simulink下進行仿真驗證，選擇x1（t0）=x2（t0）=1，仿真結果如圖5所示。由仿真可見，衛星在最短時間J=∫tf0dt=3.489s內回到預定平衡位置，控制過程中，控制量在u=-1和u=+1之間切換，而系統狀態量平滑變化。

（三）倒立擺姿態控制

問題描述：倒立擺系統是一個典型的非線性系統，可用來驗證多種控制算法。對于一級倒立擺，采用機理建模和近似線性化處理后，建立系統在平衡點附近的狀態空間模型。選擇性能指標為J=12∫∞0［xT（t）Qx（t）+uT（t）Ru（t）］dt，求控制量u（t）。

問題求解：針對此線性二次型調節器（Linear Quadratic Regulator，LQR）問題，最優控制量u=-R-1BTPx=-Kx，其中P通過Riccati方程-PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0求解。利用MATLAB的LQR函數K=lqr（A，B，Q，R）可以求出LQR對應的K陣。

選取R=1，Q=1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0，其中，Q1，1代表小車位置的權重，而Q3，3是擺桿角度的權重，求得K=［-1.0000 -1.6567 18.6854 3.4594］。LQR控制的階躍響應如圖6所示。其中，實線代表擺桿的角度，虛線代表小車位置。從圖中可以看出，響應的超調量很小，但穩定時間和上升時間偏大。增加Q1，1使穩定時間和上升時間變短，且使擺桿的角度變化減小。取Q1，1=5000，Q3，3=100，得K=［-70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238］。對應的階躍響應如圖7所示，可見響應的穩定時間和上升時間減小，系統響應速度提升。

（四）月球表面最優探測路徑

問題描述：月球車從初始位置開始，經過各分區域到達目標點，在各分區域存在多個可選過渡點，各點之間的能量消耗已知，如何選擇一條最優路徑，使月球車從初始點A到目標點E所消耗的能量最小。

問題求解：該問題可表述為最短路徑問題，求A到E的最短路徑，兩點之間的數字表示從起點到終點之間的距離。

如果采用窮舉法，需要進行3×3×3×2=54次加法計算，總共要進行3×3×2-1=17次比較。

采用動態規劃方法逆序求解，從最后一級反向計算，將一個N級決策問題化為N個單級決策問題，即將一個復雜問題化為多個簡單問題進行求解。此最短路徑問題為4級決策。首先，從最遠端D點N=4級決策開始計算：S（D1）=5，S（D2）=2。其次，計算C點N=3級決策：S（C1）=min{3+S（D1），9+S（D2）}=8，S（C2）=7，S（C3）=12。再次，計算B點N=2級決策，S（B1）=min{12+S（C1），14+S（C2），10+S（C3）}=20，S（B2）=14，S（B3）=19。最后，計算A點N=1級決策：S（A）=min{AB1+S（B1），AB2+S（B2），AB3+S（B3）}=19。所以，A到E的最短路徑為A→B2→C1→D1→E，共進行18次加法計算、11次比較，計算量減少。

結語

本文針對碩士生課程“最優控制理論”教學問題，分別對變分法、最小值原理、線性二次型調節器、動態規劃等關鍵理論方法建設基于工程應用的教學案例。通過工程實踐案例的問題引入、問題分析、問題求解環節開展課堂講授，將枯燥的理論與生動形象的現實應用結合起來，并適時融入最優控制理論的新方法、新問題和新趨勢，提升學生的創新能力和學習主動性，提升課程的高階性、創新性和挑戰度。

參考文獻：

［1］嚴曉飛，楊翔宇，祁玥.基于案例教學法的“環境影響評價”教學模式改革策略［J］.大學，2024（1）：101104.

［2］張啟敏，馬婧英，王站平.案例教學法在現代控制理論課程教學中的應用［J］.科教導刊，2020（6）：113114.

［3］韓耀振，王常順，侯明冬，等.專業碩士計算機控制教學案例庫建設［J］.高教學刊，2024，10（34）：8488.

［4］陳穎璐，李晶，李小峰，等.面向深度學習的個性化教學探索：以“機器學習”課程為例［J］.大學，2024（S1）：7779.

［5］曾祥遠.最優控制［M］.北京：清華大學出版社，2022.

基金項目：火箭軍工程大學教學成果立項培育項目“夯實專業基礎、提升科研素養——《線性系統與最優控制》課程教學創新與實踐”（編號：JXCG202410）

作者簡介：宋海濤（1983— ），男，漢族，河南鄧州人，博士研究生，副教授，研究方向為控制理論與應用。