中考數學二次函數專題復習策略研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918(2025)27-0047-04

二次函數在初中數學體系中占據關鍵地位，不僅是代數知識的重要延伸，更是溝通代數與幾何的橋梁。在中考數學試卷里，二次函數相關試題頻繁出現，題型豐富多樣，涵蓋選擇、填空、解答等各類題型，分值占比可觀。這些題目綜合性強，融合了函數性質、方程求解、幾何圖形特征等多方面知識，對學生的思維能力、運算能力和知識綜合運用能力提出了較高要求。然而，在教學實踐中發現，學生在學習二次函數時面臨諸多困難，如對函數概念理解不透徹、圖像性質把握不準確、在實際問題中難以靈活運用知識等。因此，深入探究中考數學二次函數專題復習策略，對提升學生數學素養和中考成績具有重要的現實意義。

一、二次函數在中考中的地位與考查特點

(一)分值與題型分布

通過對近年來各地中考數學試卷的分析可知，二次函數相關內容的分值平均占總分的 15% ~20% 。以部分地區中考試卷為例，在某地中考數學試卷中，二次函數在選擇題中有1~2道，主要考查函數的基本性質，如開口方向、對稱軸等；填空題通常有1道，涉及函數值計算或簡單的圖像特征；解答題則作為壓軸題或次壓軸題出現，分值在 10～ 15分，綜合考查學生對二次函數知識的深度理解和運用能力。在另一地的試卷中，二次函數的考查形式也類似，且在解答題中常與幾何圖形（如三角形、四邊形)相結合，形成復雜的綜合問題。

（二）能力考查維度

中考對二次函數的考查，從能力層面可分為三個維度。一是基礎知識的記憶與理解。這要求學生掌握二次函數的定義、三種解析式形式（一般式、頂點式、交點式)及其相互轉化，以及函數圖像的基本性質，如開口方向由二次項系數 α_a 的正負決定，當 a>0 時開口向上， a<0 時開口向下；對稱軸公式為 等。

二是知識的應用能力。學生需要能夠運用二次函數的性質解決簡單的實際問題，如利潤最大化、物體運動軌跡等問題，以及分析函數圖像與坐標軸的交點情況，通過判別式 Δ=b²-4ac 來判斷方程，通過 ax²+bx+c=0 的根的個數。

三是綜合創新能力。這類題目往往將二次函數與其他知識板塊深度融合，如在幾何圖形的動態變化中構建二次函數模型，考查學生的邏輯思維、創新思維和知識遷移能力。

二、學生學習二次函數的困難分析

(一)概念理解障礙

二次函數的概念較為抽象，學生在理解時存在一定困難。例如，對函數表達式 [y=ax²+bx+c(a eq0 ）]，學生難以理解其中參數 a，b，c 對函數圖像和性質的具體影響。特別是在學習初期，部分學生對 a 的“縮放”作用 ?_?b 對對稱軸位置的影響，以及 c 與函數圖像和 y 軸交點的關系認識模糊，導致在后續學習中無法準確把握函數的特征。

(二)圖像與性質的運用困難

二次函數圖像的性質繁多，學生在實際運用時容易混淆。比如，在判斷函數的單調性時，學生常常不能準確根據對稱軸的位置來確定函數在不同區間的增減性。對函數圖像的平移規律，“左加右減自變量，上加下減常數項”，學生在應用時也容易出錯，不能根據平移后的圖像正確寫出對應的函數解析式。

例如，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，點 D 為 OA 中點，動點 P 從點 o 出發，沿oc 以每秒1個單位速度運動，連接 PD 并延長交AB 于點 E ，求 ΔPAE 面積的最大值。

解析：錯因：未正確分析動點軌跡，實際應通過相似三角形或坐標法建立二次函數關系（正確解析式為 S=-t²+4t ，最大值為4）。

(三)綜合問題解決能力不足

當二次函數與幾何圖形、方程等知識結合時，題目難度大幅提升，學生往往不知所措。在處理這類綜合問題時，學生難以找到各個知識點之間的聯系，無法構建有效的解題思路。例如，在二次函數與三角形面積結合的問題中，學生不能將三角形的邊長與函數的坐標建立聯系，從而無法運用二次函數的知識求出面積的最值。

三、中考數學二次函數專題復習策略

（一)知識體系構建策略

思維導圖梳理：在復習初始階段，引導學生繪制二次函數的思維導圖。以二次函數的定義為核心，向外拓展出解析式、圖像性質、與方程的關系、實際應用等分支。在每個分支下，詳細羅列相關知識點，如在解析式分支中，注明一般式、頂點式、交點式的表達式及相互轉化方法；在圖像性質分支中，列舉開口方向、對稱軸、頂點坐標、單調性、最值等性質，并配以簡單的圖像示例。通過繪制思維導圖，幫助學生將碎片化的知識系統化，加深對知識的整體理解。

對比歸納總結：組織學生對二次函數的不同知識點進行對比歸納。例如，對比二次函數的三種解析式，分析它們的特點和適用場景。一般式適用于已知任意三點坐標求函數解析式；頂點式能直觀地反映函數的頂點坐標和對稱軸，適用于已知頂點坐標或最值的情況；交點式則便于求函數與 x 軸的交點坐標，當已知函數與 x 軸的兩個交點時使用較為簡便。通過這樣的對比歸納，讓學生在不同情境下能快速選擇合適的解析式進行解題。

(二)題型分類突破策略

基礎題型強化訓練：針對二次函數的基礎題型，如求函數的解析式、判斷圖像性質等，進行專項強化訓練。設計一系列有針對性的練習題，從簡單到復雜逐步提升難度。在練習過程中，注重對解題方法的指導，如在求解析式時，若已知頂點坐標，優先設頂點式；若已知與 x 軸的交點，優先設交點式。通過大量的練習，學生可以熟練掌握基礎題型的解題技巧，提高解題的準確性和速度。

綜合題型解法指導：對二次函數的綜合題型，如與幾何圖形結合的動態問題、函數與方程的綜合應用等，加強解法指導；引導學生從題目條件出發，分析各個知識點之間的聯系，找到解題的突破口。例如，在二次函數與幾何圖形結合的問題中，教會學生通過建立坐標系，將幾何圖形中的點坐標與函數表達式聯系起來，利用函數知識解決幾何問題；同時，培養學生的分類討論思想和數形結合思想，提高學生在復雜情境下的解題能力。

（三)思維能力培養策略

一題多解與一題多變訓練：在復習過程中，選取典型例題進行一題多解和一題多變訓練。一題多解可以拓寬學生的思維視野，讓學生從不同角度思考問題，培養學生的發散思維。例如，對一道求二次函數最值的題目，可以引導學生分別用配方法、公式法、利用函數圖像的性質等多種方法求解。一題多變則通過對題目條件或結論的改變，讓學生在變化中掌握知識的本質，培養學生的應變能力和創新思維。例如，將“已知二次函數 y= x²-2x-3 ，求其在 x∈[1，4] 上的最值”這道題，改變為“已知二次函數 y=x²-2x-3 ，若 y?0 ，求 x 的取值范圍”，讓學生體會不同問法下的解題思路差異。

數學建模思維培養：結合實際生活中的問題，培養學生的數學建模思維。例如，以銷售利潤問題為例，假設某商品的進價為每件30元，售價為x 元，銷售量 y 與售價 x 之間滿足 y=-2x+100 ，求利潤的最大值。首先，引導學生根據利潤公式[利潤 σ=σ （售價-進價） × 銷售量]，建立二次函數模型[利潤 ；然后，運用二次函數的知識求解最大值。通過這樣的實際問題建模訓練，學生可以學會將實際問題轉化為數學問題，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。

（四)分層教學策略

1.學生分層

根據學生的學習成績、學習能力和學習態度等因素，將學生分為基礎層、提高層和拓展層。基礎層學生基礎知識相對薄弱，學習積極性不高；提高層學生基礎知識掌握較好，但在知識的綜合運用和思維能力方面有待提升；拓展層學生學習能力較強，對知識有較高的追求，希望進一步拓展思維。

2.目標分層

針對不同層次的學生制訂不同的復習目標。基礎層學生以掌握二次函數的基礎知識和基本解題方法為目標，能夠正確求出函數的解析式、判斷圖像性質等；提高層學生要求在掌握基礎知識的基礎上，能夠熟練運用知識解決中等難度的綜合問題，提高解題的準確性和速度；拓展層學生則注重培養創新思維和綜合運用能力，能夠解決高難度的壓軸題，在中考中沖擊高分。實際問題建模（利潤最大化、拋物線型建筑高度計算）幾何綜合（與三角形、四邊形結合的動態問題），如2023年成都卷第26題，將矩形運動與二次函數最值結合，考查坐標法建模能力。

3.練習分層

教師曾多次和具有自卑心理的學生溝通，發現部分學生之所以不愿學習，是因為學習難度與自身學習能力不匹配，無法成功解題，從而產生畏難情緒、自卑心理，不愿意直面學習。因此，在教學過程中，教師需要平衡作業以及考試的難度，在題目設置中，不可一味追求壓軸題、競賽題，而是要根據班級孩子的學習情況，布置作業。在新授知識點階段，選擇難度較低的習題能夠幫助學生更好地理解知識點，同時幫助他們建立自信。對愿意挑戰較高難度題目的學生，可以要求他們主動找老師，由老師額外發放習題，一方面可以實現分層式教學，兼顧各層次的學生；另一方面，還能夠激發學生的挑戰心理，探索自己的學習潛能。根據學生分層和目標分層，設計分層練習。基礎層學生的練習以基礎知識和簡單題型為主，注重鞏固基本概念和公式；提高層學生的練習增加中等難度的題目，加強知識的綜合運用和解題技巧的訓練；拓展層學生的練習則以高難度的綜合題和創新題為主，培養學生的思維能力和創新能力；同時，鼓勵學生根據例如典型題型分類與錯因分析：

(1)基礎題型：解析式求解與圖像性質。

易錯點1：頂點式符號混淆

例：將頂點(-2，3)代入頂點式時，誤寫為 y= a(x+2)²-3[ 正確應為 y=a(x+2)²+3] O

錯因：未明確頂點式 y=a(x-h)²+k 中，頂點坐標為 (h，k) ，符號需嚴格對應。

典型題例(2022年南京卷T19)

已知二次函數圖像經過點（0，5)，頂點為（2，1)，求解析式并化為一般式。

解析：設頂點式 y=a(x-2)²+1 ，代入(0，5)得4a+1=5 ，解得 a=1 ，故解析式為 y=a(x-2)²+1= x²-4x+5 。

(2)綜合題型：幾何動態與函數最值。

解題策略：建立坐標系，將幾何量轉化為代數表達式，利用二次函數頂點性質求最值。

1.案例(2024年廣州卷T24)

在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，點 D 為 OA 中點，動點 P 從點 o 出發，沿 OC 以每秒1個單位速度運動，連接 PD 并延長交 _AB 于點 E ，求 ΔPAE 面積的最大值。

解析：錯因：未正確分析動點軌跡，實際應通過相似三角形或坐標法建立二次函數關系（正確解析式為 S=-t²+4t ，最大值為4）。

2.案例(2020·山東菏澤·中考真題）

一次函數 y=ax+b 與二次函數 y=ax²+bx+c 在同一平面直角坐標系中的圖像可能是 （ ）

答案：B

解析：解：A.二次函數圖像開口向上，對稱軸在 y 軸右側，∴ a>0，b<0，∴ 一次函數圖像應該過第一、三、四象限，A錯誤;B.∵二次函數圖像開口向上，對稱軸在 y 軸左側，： a>0，b>0 ，一次函數圖像應該過第一、二、三象限，B正確；C.·二次函數圖像開口向下，對稱軸在 y 軸右側，： a<0，b> 0，一次函數圖像應該過第一、二、四象限，C錯誤;D.：二次函數圖像開口向下，對稱軸在 y 軸左側，： 一次函數圖像應該過第二、三、四象限，D錯誤。故選：B。

本題考查了二次函數的圖像以及一次函數圖像與系數的關系，根據 a，b 的正負確定一次函數圖像經過的象限是解題的關鍵。

四、復習效果的評估與反饋

(一)測試評估

在復習過程中，定期進行單元測試和模擬考試，測試內容涵蓋二次函數的各個知識點和題型。通過測試，了解學生對知識的掌握情況，發現學生在復習過程中存在的問題。例如，在一次單元測試中，發現部分學生在二次函數與幾何圖形結合的題目上失分較多。這表明學生在綜合運用知識方面還存在不足，需要在后續復習中加強這方面的訓練。

(二)學生反饋

鼓勵學生積極反饋復習過程中的學習感受和遇到的困難，可以通過課堂提問、課后交流、問卷調查等方式收集學生的反饋信息。例如，因學生反饋對二次函數圖像的平移規律理解困難，教師可以針對這一問題，在課堂上進行專項講解和強化練習，幫助學生突破難點。

(三)教學調整

根據測試評估和學生反饋的結果，及時調整教學策略和復習進度。如果發現學生對某一知識點掌握不夠扎實，就需要增加相應的練習和講解；如果復習進度過快或過慢，就要根據學生的實際情況進行調整，確保復習效果。適當放緩復習節奏，根據學生的接受速度和掌握情況，適當放緩復習節奏，確保學生能夠充分理解和消化所學內容。在關鍵知識點和難點處，增加復習時間和練習量，確保學生能夠扎實掌握。靈活調整復習計劃，每周進行一次復習進度評估，根據學生的掌握情況和反饋意見，靈活調整復習計劃，如對已經掌握較好的知識點，可以適當減少復習時間；對存在薄弱環節的知識點，則需要增加復習時間和練習量。本次教學方案的調整實施，旨在幫助學生更好地掌握二次函數專題的知識點，提高解題能力和應試技巧；同時，也希望通過這次調整，能夠進一步優化教學策略和復習進度，確保中考數學復習工作取得更好的效果。

五、結論

中考數學二次函數專題復習是一個系統工程，需要教師深人研究教材和考綱，了解學生的學習困難和需求，制訂科學合理的復習策略。通過構建知識體系、分類突破題型、培養思維能力和實施分層教學等策略，幫助學生鞏固二次函數的基礎知識，提高解題能力和思維水平；同時，要注重復習效果的評估與反饋，及時調整教學策略，以達到最佳的復習效果。在今后的教學實踐中，教師還應不斷探索和創新復習方法，關注數學教育的新動態和新趨勢，為學生的數學學習和中考成績提升提供更有力的支持。

參考文獻：

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