基于波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)集的多元數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析

本文以波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)集為樣本，運(yùn)用方差分析、因子分析及回歸分析展開研究。方差分析檢驗(yàn)多個(gè)因素對(duì)房?jī)r(jià)均值影響差異，需滿足正態(tài)性、方差齊性和獨(dú)立性假設(shè)；因子分析基于原始變量由公共和特殊因子構(gòu)成假設(shè)，提取公共因子簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；回歸分析包括單因變量、多因變量和邏輯回歸，研究變量間定量關(guān)系。通過回歸分析，發(fā)現(xiàn)部分變量對(duì)房?jī)r(jià)有顯著影響，該結(jié)論可為政策制定提供參考；方差分析得出多個(gè)變量對(duì)房?jī)r(jià)有顯著影響；因子分析提取并旋轉(zhuǎn)因子，推測(cè)出各因子代表的潛在概念。三種方法相輔相成，共同服務(wù)于數(shù)據(jù)的分析與解讀，從而揭示房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。

一、研究背景與意義

在我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長的大背景下，房地產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，房?jī)r(jià)問題備受矚目。其影響因素繁雜，涵蓋經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、環(huán)境等多個(gè)維度。房?jī)r(jià)是各地區(qū)的重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，因此，探尋影響房?jī)r(jià)的重要因素并分析這些因素對(duì)房?jī)r(jià)的影響方式和程度具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義。波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)集為深入探究房?jī)r(jià)規(guī)律提供了良好樣本。本文運(yùn)用方差分析、因子分析及回歸分析方法，對(duì)該數(shù)據(jù)集展開系統(tǒng)研究。

二、波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)描述

（一）數(shù)據(jù)來源

本文所用《波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)集》數(shù)據(jù)來源于：

https：//gitcode.com/Resource-Bundle-Collection/bc57d/

（二）變量選取和說明

波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)集包含506個(gè)樣本，每個(gè)樣本均包括以下屬性：CRIM（犯罪率）、ZN（住宅用地比例）、INDUS（非零售商業(yè)用地比例）、NOX（氮氧化物濃度）、RM（每棟住宅平均房間數(shù)）、AGE（1940年以前建成的自住單位比例）、DIS（與波士頓五個(gè)就業(yè)中心的加權(quán)距離）、RAD（輻射性公路的接近指數(shù)）、TAX（每一萬美元的全值財(cái)產(chǎn)稅率）、PTRATIO（城鎮(zhèn)師生比例）、B（黑人占比）、LSTAT（低收入人口比例）和MEDV（自有住房的中位價(jià)值）等。

三、回歸分析應(yīng)用

（一）變量的選擇和模型的構(gòu)建

為了探究多個(gè)自變量對(duì)因變量CHAS（查爾斯河變量，地區(qū)邊界是河，取值1，否則取值0）的影響，選擇一系列變量進(jìn)行回歸分析。采用二元回歸模型，公式為：

=-3.581-0.272×CRIM+0.002×ZN+0.095×INDUS+3.162×NOX+……+0.069×MEDV

P表示CHAS=1的概率，1－P表示CHAS=0的概率。通過該模型嘗試揭示各變量對(duì)變化的影響程度。

（二）模型的估計(jì)和結(jié)果解釋

1.模型的估計(jì)

使用統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)上述模型進(jìn)行估計(jì)，得到CRIM（犯罪率）、ZN（住宅用地比例）、INDUS（非零售商業(yè)用地比例）、NOX（氮氧化物濃度）、RM（每棟住宅平均房間數(shù)）、AGE（1940年以前建成的自住單位比例）、DIS（與波士頓五個(gè)就業(yè)中心的加權(quán)距離）、RAD（輻射性公路的接近指數(shù)）、TAX（每1萬美元的全值財(cái)產(chǎn)稅率）、PTRATIO（城鎮(zhèn)師生比例）、B（黑人占比）、LSTAT（低收入人口比例）和MEDV（自有住房的中位價(jià)值）等屬性的Logit回歸分析和線性回歸分析數(shù)據(jù)。

2.邏輯回歸結(jié)果解釋

INSUS：回歸系數(shù)為0.095，且在0.05水平上顯著，表明非零售商業(yè)用地比例的增加會(huì)對(duì)CHAS產(chǎn)生顯著的正向影響。

RAD：回歸系數(shù)為0.219，且在0.01水平上顯著，表明輻射性公路的接近指數(shù)增加會(huì)對(duì)CHAS產(chǎn)生顯著的正向影響。

MEDV：回歸系數(shù)為0.069，且在0.05水平上顯著，表明自有住房中位價(jià)值的增加會(huì)對(duì)CHAS產(chǎn)生顯著的正向影響。

TAX：回歸系數(shù)為-0.009，且在0.05水平上顯著，表明全值財(cái)產(chǎn)稅率的增加會(huì)對(duì)CHAS產(chǎn)生顯著的負(fù)向影響。

其他變量則對(duì)CHAS沒有顯著影響。

綜上分析發(fā)現(xiàn)INDUS、RAD和MEDV對(duì)CHAS有顯著的正向影響，TAX對(duì)CHAS有顯著的負(fù)向影響，而其他變量則對(duì)CHAS沒有顯著影響。若希望提升房?jī)r(jià)，可以考慮在政策上促進(jìn)非零售商業(yè)發(fā)展、改善交通基礎(chǔ)設(shè)施或穩(wěn)定住房?jī)r(jià)值，同時(shí)避免過高的財(cái)產(chǎn)稅率。

3.線性回歸結(jié)果解釋

在線性回歸分析中，重點(diǎn)觀察P值，發(fā)現(xiàn)有兩項(xiàng)數(shù)據(jù)INDUS和AGE的值比較大，意味著該自變量對(duì)因變量的影響不顯著。把這兩項(xiàng)數(shù)據(jù)去掉，再進(jìn)行一次擬合，根據(jù)結(jié)果可知，擬合效果有了一定的提高。

環(huán)境因素：NOX對(duì)因變量有較大的負(fù)向影響，說明環(huán)境質(zhì)量在該模型所研究的情境中至關(guān)重要，污染程度高會(huì)顯著降低因變量水平。而RAD有正向影響，反映出交通便利性對(duì)因變量所代表的現(xiàn)象具有促進(jìn)作用，可能與經(jīng)濟(jì)交流、人員流動(dòng)便利性有關(guān)。

社會(huì)經(jīng)濟(jì)因素：TAX的負(fù)向系數(shù)表明較高的稅率不利于因變量的提升，這可能影響了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的積極性。PTRATIO的負(fù)向關(guān)系顯示出教育資源分配的某種影響，或許意味著當(dāng)前的師生比例狀態(tài)對(duì)整體發(fā)展有一定抑制作用。LSTAT的負(fù)向系數(shù)則暗示了收入結(jié)構(gòu)對(duì)因變量的負(fù)面效應(yīng)，可能反映出經(jīng)濟(jì)活力和消費(fèi)能力等方面的不足。

地理與住房因素：DIS的負(fù)向作用突出了就業(yè)機(jī)會(huì)的地理臨近性的重要性，距離就業(yè)中心遠(yuǎn)會(huì)降低因變量表現(xiàn)。RM的正向系數(shù)體現(xiàn)了住房的規(guī)模特征對(duì)因變量的正向貢獻(xiàn)，可能與居住品質(zhì)和潛在價(jià)值有關(guān)。而CHAS的較大正向系數(shù)表明河流邊界這一地理特征對(duì)因變量有顯著的提升作用，可能是由于景觀、資源等優(yōu)勢(shì)。

人口結(jié)構(gòu)因素：B有正向影響但系數(shù)較小，說明其在模型中的影響力相對(duì)較弱，但仍存在一定的正向關(guān)聯(lián)。CRIM的負(fù)向系數(shù)顯示犯罪情況對(duì)因變量不利，治安狀況是影響該地區(qū)發(fā)展的一個(gè)因素。ZN的正向系數(shù)反映出住宅用地的占比對(duì)整體有一定的促進(jìn)作用，可能與居住功能的完善和社區(qū)發(fā)展相關(guān)。

四、方差分析應(yīng)用

（一）因素假定與假設(shè)檢驗(yàn)

在對(duì)波士頓房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)集進(jìn)行方差分析時(shí)，考慮了前文提到多個(gè)因素對(duì)住房?jī)r(jià)格的潛在影響。假定這些因素可能會(huì)對(duì)住房?jī)r(jià)格產(chǎn)生影響，且不同水平的因素可能導(dǎo)致住房?jī)r(jià)格的顯著差異。

在進(jìn)行方差分析前，需要檢驗(yàn)不同組別的方差是否相等。若方差不齊，可能會(huì)影響方差分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。通常采用Levenes檢驗(yàn)等方法來檢驗(yàn)方差齊性。

此外，還需假設(shè)每個(gè)觀測(cè)值（每個(gè)住房的價(jià)格數(shù)據(jù)）之間是相互獨(dú)立的。這意味著一個(gè)住房的價(jià)格不受其他住房?jī)r(jià)格的影響。

（二）方差分析結(jié)果與解釋

通過方差分析（如表1所示），發(fā)現(xiàn)多個(gè)變量之間存在顯著差異。

由表1，可以得出以下結(jié)論：

INDUS、NOX、RM、DIS、PTRATIO、MEDV對(duì)住房?jī)r(jià)格有顯著影響。這是因?yàn)榉橇闶凵虡I(yè)用地比例的增加可能會(huì)帶來更多的商業(yè)活動(dòng)，從而影響住房?jī)r(jià)格；氮氧化物濃度越高，可能代表環(huán)境質(zhì)量越差，進(jìn)而降低住房?jī)r(jià)格；每棟住宅平均房間數(shù)越多，住房可能更具價(jià)值；與就業(yè)中心距離越近，住房?jī)r(jià)格可能越高；城鎮(zhèn)師生比例可能反映教育資源情況，進(jìn)而影響住房?jī)r(jià)格；自有住房中位價(jià)值本身與住房?jī)r(jià)格有很強(qiáng)的相關(guān)性。

CRIM、ZN、AGE、RAD、TAX、B、LSTAT對(duì)住房?jī)r(jià)格沒有顯著影響。這并不意味著這些因素完全不影響住房?jī)r(jià)格，可能在當(dāng)前的數(shù)據(jù)集中，這些因素的影響不明顯或被其他顯著因素所掩蓋。

五、因子分析應(yīng)用

（一）因子的提取和旋轉(zhuǎn)

1.因子的提取

如表2中的數(shù)據(jù)顯示，樣本數(shù)據(jù)適合進(jìn)行因子分析，且變量之間存在相關(guān)性。可以進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)間的因果關(guān)系和趨勢(shì)。

2.因子的旋轉(zhuǎn)

為使因子載荷矩陣更易于解釋，采用一種合適的旋轉(zhuǎn)方法——方差最大旋轉(zhuǎn)法，對(duì)提取的因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到表3數(shù)據(jù)。

（二）因子分析的結(jié)果解釋

首先分別觀察因子在各個(gè)變量上的載荷情況，然后對(duì)因子進(jìn)行分析，得出結(jié)論，推測(cè)因子的實(shí)際意義。

從旋轉(zhuǎn)后的因子載荷系數(shù)來看，CRIM在因子2上的載荷系數(shù)較高，為0.74。這表明因子2可能與犯罪相關(guān)因素有密切聯(lián)系。

ZN在因子1上有較高的負(fù)載荷。這意味著與ZN因子1存在較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)關(guān)系。因子1可能代表了與城市土地利用結(jié)構(gòu)或城市功能分區(qū)相關(guān)的潛在因子，且在這個(gè)因子所代表的概念中起到反向作用。

INDUS在因子1上的載荷系數(shù)為0.687，表明INDUS與因子1有較強(qiáng)的正相關(guān)。因子1可能與區(qū)域商業(yè)發(fā)展特征或經(jīng)濟(jì)活動(dòng)類型相關(guān)。

NOX在因子1上有相對(duì)較高的載荷。這暗示因子1可能與環(huán)境污染因素相關(guān)，特別是與氮氧化物這種典型的大氣污染物相關(guān)。因子1可能代表了與環(huán)境質(zhì)量，尤其是大氣環(huán)境質(zhì)量相關(guān)的潛在因子。

RM在因子3 上載荷系數(shù)為-0.871，表明RM與因子3存在較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)。因子3可能涉及到居住環(huán)境特征相關(guān)的潛在因子，且在這個(gè)因子概念中是反向作用的。

AGE在因子1上的載荷系數(shù)為0.823，顯示AGE與因子1有較強(qiáng)的正相關(guān)。由此推測(cè)因子1可能還與區(qū)域的建筑年代和歷史風(fēng)貌相關(guān)。

DIS在因子1上載荷系數(shù)為-0.889，說明DIS與因子1存在較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)。因子1可能與區(qū)域的經(jīng)濟(jì)地理區(qū)位或就業(yè)便利性相關(guān)。

RAD在因子2上的載荷系數(shù)為0.850，表明RAD與因子2有較強(qiáng)的正相關(guān)。因子2可能與區(qū)域的交通網(wǎng)絡(luò)特征或交通便利性相關(guān)。

TAX在因子2上有0.809的載荷系數(shù)，說明TAX與因子2存在較強(qiáng)的正相關(guān)。因子2可能與區(qū)域的經(jīng)濟(jì)政策或財(cái)政環(huán)境相關(guān)。

PTRATIO在因子3上載荷系數(shù)為-0.581。這表明因子3可能還與教育相關(guān)因素有一定聯(lián)系。

B在因子2上有-0.635的載荷系數(shù)，表明B與因子2存在較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)。因子2可能與社會(huì)人口結(jié)構(gòu)相關(guān)。

LSTAT在因子3上的載荷系數(shù)為0.668，顯示LSTAT與因子3有一定的正相關(guān)。因子3可能與區(qū)域的經(jīng)濟(jì)社會(huì)結(jié)構(gòu)相關(guān)。

MEDV在因子2上有-0.265的載荷系數(shù)，表明MEDV與因子2存在一定的負(fù)相關(guān)。因子2可能與區(qū)域的經(jīng)濟(jì)和財(cái)富特征相關(guān)。

綜上所述，可以大致推測(cè)：因子1可能與城市土地利用和經(jīng)濟(jì)地理區(qū)位相關(guān)，涉及到住宅用地比例、非零售商業(yè)用地比例、與就業(yè)中心的距離等變量；因子2可能與社區(qū)治安和社會(huì)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)相關(guān)，涉及犯罪率、建筑年代、自有住房中位價(jià)值、城鎮(zhèn)師生比例等變量；因子3可能與環(huán)境質(zhì)量、交通便利性和經(jīng)濟(jì)社會(huì)結(jié)構(gòu)相關(guān)，涉及氮氧化物濃度、每棟住宅平均房間數(shù)、輻射性公路接近指數(shù)、財(cái)產(chǎn)稅率、黑人占比、低收入人口比例等變量。

（作者單位：天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院）