數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐研究

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)知識的靈魂，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展、完善和應(yīng)用過程中逐漸形成，包含數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點及其形成過程.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)文化滲透進數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，以此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，從而提升課堂教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)品質(zhì)[1]將數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅有助于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的教育功能，還能讓學(xué)生更清晰地把握數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)，感受抽象知識背后蘊含的智慧思想與人文情懷.這既能拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，也能讓學(xué)生認識到：數(shù)學(xué)知識的積累與問題的解決，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思想方法的運用過程，而數(shù)學(xué)文化恰似肉體的靈魂，在其中發(fā)揮著不可替代的作用．此外，在數(shù)學(xué)課堂中融入數(shù)學(xué)文化，并非單純地講述文化故事，其追求的應(yīng)是自然且深入的有機融合.

在教學(xué)“等比數(shù)列前 項和\"時，筆者不是直接將相關(guān)結(jié)論及其推導(dǎo)方法告知學(xué)生，而是從數(shù)學(xué)文化的視角出發(fā)，將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，重視呈現(xiàn)知識自然發(fā)生、發(fā)展的過程，以此讓學(xué)生認清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進知識的內(nèi)化，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)探究

情境1一農(nóng)場主將一塊地租給農(nóng)戶耕種，第一年收取租金1元，第二年收取租金2元，第三年收取租金4元，租金金額依次倍增，若租種15年，該農(nóng)戶共需支付多少租金？

師：結(jié)合以上情境可知，每年的租金構(gòu)成一個等比數(shù)列，其和為S15=1+2+2²+2³+…+2¹⁴ ，如何求和呢？

生 1：S₁=1=2-1，S₂=3=2²-1，S₃=7= 2³-1，… ，由此猜想 S₁₅=2¹⁵-1

師：很好，從特殊出發(fā)，得到猜想.還有其他方法嗎？

生 2：1+1=2，2+2=2²，2²+2²=2³，2³+ 2³=2⁴，…，2¹⁴+2¹⁴=2¹⁵ ，逐漸累加，整理得 ：S₁₅=1+1+2+2²+…+2¹⁴-1=2¹⁵-1. （2

生3：結(jié)合生2的研究方法，可以這樣求解： S₁₅=1+2+2²+2³+…+2¹⁴+2¹⁵- 2¹⁵=1+2（1+2+2²+2³+…+2¹⁴）-2¹⁵ ，即 S₁₅= 1+2S₁₅-2¹⁵ ，解得 S₁₅=2¹⁵-1 業(yè)

設(shè)計意圖從生活實例出發(fā)，一方面展示研究等比數(shù)列前 項和的必要性，另一方面引導(dǎo)學(xué)生運用從特殊到一般的思想方法提出猜想，從而提升學(xué)生觀察、分析和解決問題的能力．這里的情境創(chuàng)設(shè)不僅服務(wù)于數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，客觀上也有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)文化.情境中融合生活元素與數(shù)學(xué)元素，能夠讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)與生活密不可分—數(shù)學(xué)的發(fā)展源于生活需求，同時又推動生活產(chǎn)生新的需求．學(xué)生在這樣的情境中，能夠感受到數(shù)學(xué)服務(wù)生活的價值，以及生活中數(shù)學(xué)缺位帶來的局限性．高中生已具備相應(yīng)的認知能力，教師在教學(xué)中若能從數(shù)學(xué)文化角度給予適當(dāng)啟發(fā)，學(xué)生便能展開深入思考．因此，所創(chuàng)設(shè)的情境客觀上可成為本節(jié)課教學(xué)中數(shù)學(xué)文化生長的土壤.

情境2我國《孫子算經(jīng)》中記載著這樣一道有趣的數(shù)學(xué)題：今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色．問各幾何？共幾何？

師：結(jié)合以上情境，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：堤岸、樹木、樹枝、鳥巢、大鳥、小鳥、羽毛、毛色構(gòu)成一個等比數(shù)列，其和為 S₈=9+9²+9³+…+9⁷.

師：怎么求呢？

學(xué)生結(jié)合情境1的研究經(jīng)驗，仿照生3的解法順利求解.在此基礎(chǔ)上，教師順勢追問：已知等比數(shù)列{a_n} ，其首項為 a₁ ，公比為 q ，其前 項和是多少？該如何計算？

設(shè)計意圖通過經(jīng)典問題作為情境導(dǎo)入，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，將抽象、枯燥的數(shù)學(xué)知識變得生動有趣，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲．這一情境中的元素與數(shù)學(xué)文化直接關(guān)聯(lián)，作為我國古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要文獻，其記載的數(shù)學(xué)題兼具寫實與寫意的意味．當(dāng)學(xué)生運用數(shù)列知識解決該問題時，便能形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗：明白抽象的數(shù)學(xué)知識能夠解決實際問題．實際問題可滿足學(xué)生的直接興趣，而抽象數(shù)學(xué)知識所展現(xiàn)的解釋功能，更體現(xiàn)出基于邏輯的數(shù)學(xué)魅力．當(dāng)學(xué)生獲得這樣的體驗與收獲，數(shù)學(xué)文化的種子便

會破土而出.

2.探索發(fā)現(xiàn)，生成公式

師：大家得到等比數(shù)列的前 項和為 S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ，你是如何計算的呢？

生5 ：S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1+ a₁qⁿ-a₁qⁿ=a₁+q（a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1）- a₁qⁿ ，即 S_n=a₁+qS_n-a₁qⁿ ，解得 S_n=

師：很好，結(jié)合之前的解法，通過構(gòu)造S得到了等比數(shù)列的前 項和公式.觀察一下 ，是否有需要補充的呢？

生6：這里 ，若 ，則

設(shè)計意圖通過與之前的解法相類比，推導(dǎo)出等比數(shù)列的前 n 項和公式，滲透從特殊到一般、類比、方程等數(shù)學(xué)思想方法．學(xué)生在這一學(xué)習(xí)過程中的體驗主要源于數(shù)學(xué)思想方法.無論是從特殊到一般的思維路徑，還是類比與方程的靈活運用，都揭示了一個客觀事實：數(shù)學(xué)問題的解決雖依托數(shù)學(xué)知識，但選擇何種知識解決具體問題，實則取決于數(shù)學(xué)思想方法的指引．這原本是數(shù)學(xué)教學(xué)中的常識，然而在許多課堂上，學(xué)生卻難以感知其重要性，這反映出傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的不足．意識到這一不足，并引導(dǎo)學(xué)生更充分地體驗數(shù)學(xué)思想方法的運用，實際上是為數(shù)學(xué)文化的融入注入養(yǎng)分，有助于數(shù)學(xué)文化在日常課堂中生根發(fā)芽、茁壯成長.

師：我們通過添加項，運用方程思想方法推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前 項和公式．那么，如果不添加項，能否直接求和呢？（教師預(yù)留時間，讓學(xué)生思考、實踐、交流．）

生 7：S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1=a₁+ q（a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-2）=a₁+qS_n-1. （204

師： S_n-1 又該如何處理呢？

生7：當(dāng) n≥2 2時， S_n=S_n-1+a_n ，即 S_n-a_n ，將其代人 S_n=a₁+qS_n-1 ，得 S_n=a₁+ q（S-an），由此推導(dǎo)出S= （204號 （q≠1） ：

師：非常好，這種“提取因式法”的推導(dǎo)過程通俗易懂，極具數(shù)學(xué)美感

設(shè)計意圖從學(xué)生視角出發(fā)，引導(dǎo)挖掘 S_n 與 S_n-1 之間的內(nèi)在聯(lián)系，用“提取因式法\"推導(dǎo)出等比數(shù)列的前 項和.在學(xué)生完成推導(dǎo)過程后，教師點明該方法不僅通俗易懂，還極具數(shù)學(xué)美感，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信∴ ，增強其學(xué)習(xí)興趣.

師：換一個思路，如果從等比數(shù)列的定義出發(fā)，結(jié)合合分比定理，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？（教師讓學(xué)生以小組為單位，換一個思路繼續(xù)推導(dǎo)等比數(shù)列前 項和公式．）

生8：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知 an，由合分比定理可得 ，即 q ，整理得

師：很好，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中有該種方法的詳細推導(dǎo)過程.（教師通過PPT展示《幾何原本》中記載的推導(dǎo)過程.學(xué)生通過對比分析發(fā)現(xiàn)，雖然該推導(dǎo)過程與生8給出的推導(dǎo)過程有所不同，但是本質(zhì)相同，有異曲同工之妙.）

師：剛剛我們用不同方法推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前 Φ_n 項和公式.類比等差數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)方法，大家想想，是否還有其他推導(dǎo)方法呢？

師：我們之前是用什么方法推導(dǎo)出等差數(shù)列前 ?_n 項和的？

生齊聲答：倒序相加法，師：倒序相加法的本質(zhì)是什么？生9：利用數(shù)列的對稱性，把正序排列的數(shù)列和倒序排列的數(shù)列相加，得到一個常數(shù)列的和，進而求出原數(shù)列的和.

師：非常好！利用倒序相加法，其目的就是通過倒序相加消除干擾項，從而簡化求和過程.那么，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，我們能否利用這種方法消除干擾項呢？

（學(xué)生利用倒序相加法嘗試推導(dǎo)，但發(fā)現(xiàn)此方法無法實現(xiàn)．）

師：大家發(fā)現(xiàn)了嗎？用倒序相加法，無論怎么求和，都無法消除干擾項.那么，有沒有其他更好的方法，能達到消除干擾項的目的呢？

生10：可以嘗試構(gòu)造一個等式，讓它和原等式有很多重復(fù)的項，通過作差來簡化計算

師：不錯的思路！那么，具體如何構(gòu)造呢？

生 ?10：S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1① 在等式 ① 的左右兩邊同時乘上公比q ，則 qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ② ，這樣等式 ② 中就出現(xiàn)了許多與等式 ① 相同的項.由①-②，得（1-q）Sn=a-aq，所以s=a（1-q\"）

師：非常好，大家的想法與瑞士數(shù)學(xué)家歐拉不謀而合，這種方法被稱為錯位相減法.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列的推導(dǎo)過程，通過深入探究，讓學(xué)生明確消項是數(shù)列求和的基本方法.學(xué)生在掌握這一基本方法后，根據(jù)等式的結(jié)構(gòu)特征，自然想到在等式兩邊同時乘上公比 q ，從而引出錯位相減法．在此過程中，沒有刻意引導(dǎo)，而是從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，使問題的解決自然流暢，這有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，深化知識理解．尤其值得關(guān)注的一個教學(xué)細節(jié)是，教師在評價時將學(xué)生的想法與數(shù)學(xué)家的想法相結(jié)合，這不僅是對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的肯定，還能將數(shù)學(xué)家的思想方法融入學(xué)生的思維中．這在客觀上能增強學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感，同時也讓數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵融入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．如果說前面的教學(xué)引導(dǎo)能讓數(shù)學(xué)文化落地生根，那么這樣的課堂教學(xué)實踐實際上就是在讓數(shù)學(xué)文化開花結(jié)果.

師：結(jié)合生10的推導(dǎo)過程，你還能找到其他推導(dǎo)方法嗎？

生11：也可以在等式兩邊同時乘上\"-q”，通過累加法進行推導(dǎo).

生12：還可以在等式兩邊同時除以“q”，這樣也能構(gòu)造出許多相同的項.

師：非常好，同學(xué)們探索出來的方法雖然形式不同，但本質(zhì)一致.這說明只要我們能認清問題的本質(zhì)，那么問題即可迎刃而解.

設(shè)計意圖在“錯位相減法”的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生嘗試運用多種方法消項，以此加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，培養(yǎng)其思維的靈活性與深刻性.

3.應(yīng)用公式，深化理解

例1在等比數(shù)列 {a_n} 中，已知 a₁= 6，q=2，a_n=192 ，求數(shù)列 {a_n} 的前 n 項和S

例2 在等比數(shù)列 {a_n} 中， ?a_n.

例3求 1+a+a²+a³+…+aⁿ（a≠0） 的和.

問題提出后，教師讓學(xué)生獨立解題．從學(xué)生的解題反饋來看，在求解例2、例3時，部分學(xué)生因忽視分類討論而出現(xiàn)了錯誤.教師及時捕捉并合理利用這些錯誤資源，引導(dǎo)學(xué)生分析錯因，從而強化他們對知識的理解

設(shè)計意圖通過問題解決，深化學(xué)生對等比數(shù)列前 項和公式的認識與理解，使其體會到在等比數(shù)列的五個量中，已知任意三個量即可求解另外兩個量．同時，在教學(xué)過程中，教師注重滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識，進一步加深學(xué)生對等比數(shù)列前 項和公式的理解與應(yīng)用.

4.總結(jié)歸納，升華認知

師：我們運用了哪些方法推導(dǎo)等比數(shù)列的前 項和公式？請結(jié)合推導(dǎo)過程及實際應(yīng)用，談?wù)勀愕氖斋@

設(shè)計意圖通過師生互動交流，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)生歸納概括能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與核心素養(yǎng).

教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視從數(shù)學(xué)文化視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展的過程.通過這種親身實踐，幫助學(xué)生理解公式內(nèi)涵，認清數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握推導(dǎo)方法，進而提升認知水平，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，

在本節(jié)課教學(xué)中，教師著重滲透等比數(shù)列的發(fā)展史，通過創(chuàng)設(shè)合理問題情境，引導(dǎo)學(xué)生循著數(shù)學(xué)家的思維路徑進行思考與驗證.這一過程能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是一個不斷完善、持續(xù)發(fā)展的學(xué)科，啟發(fā)學(xué)生以發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

總之，數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，將其融入日常數(shù)學(xué)課堂應(yīng)成為教師的教學(xué)自覺.作為課堂教學(xué)的引領(lǐng)者，教師既要重視學(xué)生的主體地位，從“生本\"視角探尋數(shù)學(xué)文化的融入路徑，又要深入挖掘數(shù)學(xué)知識背后的文化背景，注重引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)家的思維方式分析問題，使學(xué)生在獲取知識的過程中，掌握研究數(shù)學(xué)問題的方法，提高創(chuàng)新與實踐能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1］覃淋，喻曉婷.HPM視角下“等比數(shù)列的前 項和公式\"的教學(xué)［J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（4）：1-4.