指向數學學科核心素養的“集合\"單元教學設計

所謂“單元教學”，是教師基于對教學內容的整體設計和結構化思考，從提升學生數學學科核心素養的角度出發，以重要的數學概念或核心知識、數學思想方法或數學學科核心素養等為主線組織教學[．在單元教學設計的基礎上設計課時教學，將教學內容置于整體中去把控，更多地關注教學內容的本質及其蘊含的思想，有利于素養教學的實施.鐘啟泉教授指出“核心素養—課程標準一單元設計一課時計劃\"是環環相扣的教師教育活動的基本環節，要理解單元設計的價值和作用，它是撬動課堂轉型的一個支點[1本文以預備知識的\"集合\"單元為例，嘗試形成目標整體、結構呼應、內容關聯的單元整體教學設計，使數學學科核心素養真正落實于課堂教學.

教學要素分析

教學要素分析是單元教學設計

的起點，從內容分析、課標分析和教學分析的角度說明何以成為一個單元.

1.內容分析

集合的本質是“類\"的對象.“數學嵌套在集合論”，數學的各分支就是研究相同屬性的某類事物的集合，如代數的本質是研究數的集合，幾何的本質是研究點的集合．集合是由組成它的元素確定的，研究集合實質就是研究元素.

集合是表述一類事物的語言.集合作為一種數學語言，用來表示數學對象的意義與內涵，有文字語言、符號語言和圖形語言三種形式．文字語言通俗明確但冗長，符號語言簡潔精煉但抽象，圖形語言直觀形象但需構造，三種形式優勢互補有機結合[2]集合語言具有概括性和抽象性的特點，同一數學對象可以用集合語言的不同形式表達.

集合是刻畫一類事物的工具.

集合的工具性體現在對語言和思想的統領性：用集合語言表述數學概念，用集合思想理解數學概念.例如，用集合語言描述函數的定義域、值域，從集合對應的角度理解函數的概念；用集合語言描述不等式（或不等式組）的解集、方程（或方程組）的解集，用交集、并集的思想理解解不等式（組）的過程；用集合語言描述圓、橢圓、雙曲線、拋物線，以整體的思想理解動態軌跡；用集合語言描述概率中的事件及關系，通過類比集合的關系理解事件關系，等等.

2.課標分析

集合作為高中數學課程的起始單元，屬于“預備知識”《普通高中數學課程準（2017年2020年修訂）》對預備知識的要求不僅是知識層面的初高中銜接，還承載著指導學生如何學習高中數學，對整個高中數學課程的學習心理、學習方式都有重要影響

課標對集合部分的總體要求是：通過集合部分的學習，要使學生學會用集合的語言簡潔地、準確地表達數學的研究對象，學會用數學的語言表達和交流問題，積累抽象思維的經驗，提升數學抽象素養[3]．我們應該盡可能地以義務教育階段數學課程內容為載體，結合學生的生活經驗，組織合適的現實情境或數學情境，從中概括出數學對象的一般特征，用集合語言予以表達[4．學生在實際使用中逐漸熟悉三種語言的形式并能進行相互轉化，這也是后續用集合語言表達數學概念和學習其他數學語言的基礎[5].

3.教學分析

學生在小學和初中接觸過集合的思想及相關內容，這些知識經驗都為集合概念奠定了基礎，但知識點相對零散，高中繼續學習集合，是為了系統地用集合的語言簡潔精確地描述數學對象的研究范圍，提升學生數學表達的抽象層次.

集合單元將內容明線、思想暗線和素養串線相結合.內容明線包括集合的含義與表示、集合的基本關系和集合的基本運算．在集合概念中，通過對數學對象本質屬性異同點的明確劃分，滲透了分類討論思想；在集合的關系和運算中，符號語言的運用推動數學抽象向形式化方向發展，此時需借助圖形將數學問題具體化、直觀化，體現了數形結合思想；集合相等能夠通過集合間的包含關系在邏輯上進行推導，蘊含著轉化與化歸思想.

類比實數的研究，集合單元的學習遵循“背景—概念—關系—運算”的一般化套路，加強了對“如何研究一個數學對象\"的指引．其學習路徑為其他高中數學對象（如數列、復數、平面向量等）提供了基本范式.研究套路與研究方法相互融合，以隱性的方式串聯在單元教學設計中，實現整體布局與數學學科核心素養的有效落地，具體如圖1所示.

重點：通過集合的相關概念，學會用數學語言表達和交流問題，積累抽象思維的經驗.

難點：集合語言的學習過程中重 點提升數學抽象素養.

G 單元教學目標

單元教學目標上承課程目標，下統課時目標，可將“學什么\"“怎么學”和“學會什么\"作為一個整體進行設計.“四基\"以打好數學學習基礎為核心，體現出基礎性、整合性、結構性；“四能\"立足問題解決活動，體現出情境性、過程性、探索性；“三會\"立足行為養成，體現出實踐性、創新性、發展性[6.具體內容如表1、表2、表3所示.

圖1

表1“四基\"層面的教學目標

表2“四能\"層面的教學目標

表3“三會\"層面的教學目標

單元教學框架

集合的概念、基本關系和運算三個子單元的教學內容聯系緊密，層層遞進.構建集合概念，旨在解決如何刻畫作為研究對象的“類\"問題；研究集合間的關系，既能深化對集合的認識，也為集合運算鋪平道路；集合的運算，則使集合作為思想與工具具有更大的威力與價值.集合語言的學習是本單元的核心問題，各子單元學習流程相似，都體現了數學表達逐級抽象的過程：提取數學對象，表達數學對象，不同形式轉化.每個子單元都為下一個積累學習經驗，實現從“學會\"到\"會學\"的單元教學價值.

單元課時設計

以單元主題統領各個課時，衍生出課時教學目標、課時重難點及課時教學活動，以此呈現單元與課時教學的連貫性和一致性.下面以“集合的基本關系\"為例，呈現單元整體設計下的具體課時教學設計.

1.課時教學目標

基于數學學科核心素養設計課時教學目標，形成宏觀（課程目標）—中觀（單元教學目標）—微觀（課時目標）的整條目標系統鏈.以下通過四個維度確定課時教學目標，支撐單元教學目標，貫通學生活動，最終達成目標體系（具體見表5）.

2.課時教學重點和難點

重點：集合包含與相等的含義.難點：區別元素與集合，屬于與包含關系等概念及符號表示.

3.課時教學過程

環節1設計活動，抽象概念活動1整體構建學習路徑問題：上節課我們學習了集合的概念和表示方法，這節課我們要學習什么內容呢？類比實數的研究路徑，你能提出集合的研究路徑是什么嗎？用什么方法研究呢？

表4“集合\"單元教學框架

表5數學抽象素養下的教學目標

設計意圖相近的數學學習對象，有相似的知識結構，引導學生回顧實數的研究路徑，明確本節課的研究內容是集合的關系，明晰集合的整體研究規劃.

活動2創設情境抽象概念

情境問題：如果一個班級中所有同學組成的集合記為S，而所有女同學組成的集合記為 F ，你覺得集合S和F之間有怎樣的關系呢？[4]

過程分析從情境中抽象出數學對象一確定分析問題的角度一列舉類似的實例—形成概念—符號語言簡約表示.

設計意圖創設符合學生生活經驗和認知規律的情境，從中抽象出元素和集合，分析它們之間的關系，再引導學生列舉數學實例，進一步理解“集合中任意一個元素都屬于該集合”．由此概括出子集的定義并用符號表示，讓學生經歷抽象一個數學概念的完整過程．這個過程是在熟悉的現實情境中直接抽象出數學概念，并用數學語言予以表達，實現了從自然語言到符號語言的進階.

活動3借助圖形理解抽象

思考1在數學上，一個數學對象不但可以用自然語言、符號語言來表達，還可以用圖形語言來描述.關于集合，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖.你能用Venn圖來描述情境中的集合 F 是S的子集嗎？

過程分析用圖形語言表示數學概念—從圖形中抽象出子概念—列舉類似的實例—形成概念—符號語言簡約表示.

設計意圖在子集定義的基礎上，通過對子集圖形語言描述和具體情境的分析，經分類、辨析、抽象、推理等思維過程，得出真子集的概念和集合相等的定義．這個過程既用直觀圖形解釋概念，又進一步抽象出新概念與規則，經歷了從圖形語言到自然語言，再到符號語言的抽象過程.

活動4利用推理抽象性質

思考2類比實數的大小關系，你還能得到哪些子集的性質呢？請填表，并說明理由.

表6課堂活動

過程分析從現實情境抽象出圖形一從圖形中抽象出關系一符號語言簡約表示命題—通過類比推理猜想結論并說明理由一總結子集的性質.

設置意圖梳理子集的性質時，設計兩個思考題，給學生提供了兩個抓手：一個是基于情境和圖形，另一個是基于實數學習經驗的相似性.這一過程旨在讓學生能夠解釋數學概念的含義，理解數學命題，從熟悉的數學情境中抽象出數學問題，并能夠類比模仿已學過的數學方法提出并解決問題.

環節2例題練習，鞏固應用

例1 （1）寫出集合 {a，b} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.（2）寫出集合 {a，b，c} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集（3）寫出集合 {a，b，c，d} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.（4）通過歸納，你能得到一般結論嗎？

設計意圖鞏固子集和真子集的概念和性質，體會分類的原則和方法.通過歸納概括得到結論，培養數學抽象素養.

例2觀察下列集合，判斷集合A是否為集合B的子集，并說明理由.（1）A={1，2，3} ， B={x∣x 是8的約數 } ;（2）A={x|x 是長方形， B={x∣x 是兩條對角線相等的平行四邊形}.

設計意圖檢驗學生對子集概念的掌握情況，進一步明確判斷兩個集合之間關系的基本方法—定義法.

練習用適當的符號填空.

（1）{1，2，3} {1，2，3，5}； （2）{x|x²=1}{x||x|=1} （3）0 {0，1}； （4） _{0}； （5）3 （2號 [4，+∞） ： （6）

設計意圖通過簡單應用數學符 號，區分符號“ ∈ ”和“”，進一步理 解子集的含義.

環節3歸納提升，形成結構

（1）兩個集合間的基本關系是什么？如何判斷呢？（2）包含關系與屬于關系有什么區別？（3）研究一個新的數學對象的一般路徑是什么？

設計意圖從知識內容和研究方法兩個方面對本節課進行小結，使學生對本課時有一個全面、系統的結構化認識，積累相應的研究問題的經驗.

單元教學思考

單元教學設計站在宏觀高度整體分析單元內容，改變碎片化教學，有助于知識體系的建立、知識的遷移與應用，亦有助于思維品質的提升，是培養學生數學學科核心素養的有效途徑[8]．單元整體教學體現在：教學要素的分析不僅立足于章節、學科，更著眼于問題、方法與思想；教學目標的構建不僅要考慮知識和技能，還需涵蓋過程和經驗、素養和能力、情感和品格：課時教學的實施不僅要駕馭學科知識，更要引領一般觀念、滲透思想方法、提升核心素養.單元教學設計將教材單元轉化為能夠引領學生學習的課程單元，實現從知識點教學向核心知識整體化教學的轉變，這正是其價值所在

參考文獻：

[1]陳彩虹，趙琴，汪茂華，等.基于核心素養的單元教學設計一全國第十屆有效教學理論與實踐研討會綜述[J].全球教育展望，2016，45（1）：121-128.

[2]姚林.集合語言能力的培養[J].中學數學教學參考，2016（Z3）：4-6.

[3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4]黃根初.指向學生核心素養培育的高中數學集合單元教學研究[J].上海課程教學研究，2019（12）：57-60.

[5]關健.統領\"集合\"思維[J].數學通報 ，2016，55（1）：24-25+30.

[6]黃翔，童莉，李明振，等.從“四基”“四能\"到\"三會”—一條培養學生數學核心素養的主線[J].數學教育學報，2019，28（5）：37-40.

[7］李昌官.“集合的概念\"研究型單元教學［J].中學教研（數學），2021（9）：27-31.

[8］孔繁晶.核心素養視域下集合單元教學設計研究［J]．高中數學教與學，2021（12）：8-10.