精心設計例題探究 提升一輪復習效果

復習是高中數學教學的重要環節，尤其是高考前的復習，承擔著幫助學生重現所學知識、完善認知體系、形成解題方法等重要作用，同時還蘊含著發展與鞏固數學學科核心素養的功能．高考前復習通常分為多輪，一輪復習是后續復習的基礎，承擔著承上啟下的作用，在整個復習環節中至關重要．為提升復習效果，很多教師會在復習過程中賦予一輪復習充足的時間．在時間得到保證后，若想進一步提升一輪復習的效果，還需要精心設計例題，引導學生進入探究情境，如此才能確保學生在一輪復習中有高效體驗，真正實現將數學知識轉化為解題智慧（即“轉識成智\"）．下面以“正、余弦定理”一輪復習教學為例進行說明.

“正、余弦定理”一輪復習教學關系到學生對正弦定理和余弦定理的深度理解.教學中，教師需通過多種題型，幫助學生明確正、余弦定理的使用空間；同時，學生也需要在自主練習與總結中形成解題能力.數學教師必須充分認識到，解三角形是高中數學教學的重點內容，也是高考的重要考點．而正弦定理和余弦定理作為解三角形的重要工具，引導學生掌握并靈活運用它們解決問題尤為關鍵.此類問題雖然看似不難，但對學生靈活運用正、余弦定理的能力和數學運算能力均有一定要求．在高三一輪復習教學中，教師應立足教材，深入挖掘典型例題中蘊含的知識、思想和方法，通過對典例的深入探究，加深學生對知識的理解，提升學生的運算能力和綜合運用知識解決問題的能力.

教學目標

（1）掌握正、余弦定理及其證明方法，能運用正、余弦定理解三角形；（2）體會正、余弦定理和三角函數等知識之間的內在聯系，完善知識體系，提高綜合運用知識解決問題的能力.

目標確定依據分析：之所以確定這兩點教學目標，是因為當前高考對正弦定理和余弦定理的考查較為深入，且正弦定理與余弦定理的證明過程蘊含著豐富的數學思想方法，對學生理解三角形具有重要的促進作用.從兩個定理的證明方法出發引導學生理解三角形，能夠幫助學生把握相關知識的內在聯系，從而構建完整的知識體系.同時，確定這兩點教學目標，有助于學生在面對具體題目時，能夠從知識體系中激發更多解題靈感，進入良好的解題狀態.

教學重點和難點

（1）綜合運用正、余弦定理解三角形；（2）合理選擇正、余弦定理優化求解過程

重點和難點確定依據分析：毫無疑問，運用正弦定理和余弦定理解三角形是高考考查的重點，且著重考查學生的綜合能力.如何引導學生實現這一知識點的綜合運用，對學生來說確實是學習難點．基于此，在組織實施復習時，需要結合一輪復習的基本要求精心選擇例題，并在學生解題過程中進行有針對性的觀察與評價，從而有效突破重點、化解難點.

教學過程

1.課前自測

自測題如下：

（1）在 ΔABC 中，若 （a+b+c）（b+ c-a）=3bc ，則 A=

（2）在 ΔABC 中，若 c=10，A=45^° C=30^° ，則△ABC的面積為

（3）在 ΔABC 中，若 acosA=bcosB 則△ABC的形狀為

學生獨立完成自測題，教師巡視，并點名讓學生呈現解題過程.

師：第（1）題考查的是什么知識內容？

生1：考查的是余弦定理.

師：誰來說說余弦定理及其符號表示？ （教師引導學生回顧）

師：請給出具體的求解過程.

生2：因為 （a+b+c）（b+c-a）=3bc 由余弦定理得 又角A為△ABC的內角，所以 A=60^°.

師：非常好，通過變形已知式子，然后用余弦定理輕松解決了問題

師：對于第（2）題，請說說你們的 解題思路.

生3：該題重點考查的是正弦定理的應用．根據已知易得 B=105^° ，sinB/=sin105^°=sin（45^°+60^°）=sin45^°? 根據正弦定理可知 所以 （20

師：誰來說說第（3）題如何求解呢？

生4：因為 ac0sA=bc0sB ，由正弦定理得 ，k為非零常數.所以 a=ksinA ， b=ksinB ，代人 bcosB得sinAcosA=sinBcosB，所以1 ，所以 2A=2B 或 2A+2B= π ，即 A=B 或A 所以 ΔABC 可能是等腰三角形或直角三角形.

設計意圖上述題目源于教材，借助典型例題，一方面喚醒學生已有的知識經驗，另一方面檢測學生對基礎知識的掌握情況，以便通過針對性訓練幫助學生查缺補漏，完善個體知識體系，提升學生運用知識解決問題的能力．需要指出的是，在組織復習前先進行課前自測，目的是讓一輪復習更具針對性．傳統的一輪復習通常是直接為學生梳理知識及其框架圖，再用典型例題訓練學生的解題思維；而筆者采用的一輪復習方式更強調“精準打擊”.要實現精準，就必須對學生的知識掌握情況進行檢測.此外，課前檢測的結果對學生調整復習狀態也大有好處.

2.知識梳理

師：結合已有知識經驗及以上求解過程，請歸納梳理解三角形所蘊含的相關知識內容.

教師預留時間讓學生自己歸納總結，然后分組交流，最后集中展示.學生給出內角和定理、面積公式、正弦定理、余弦定理等知識.在此基礎上，教師針對正、余弦定理所涉及的重要知識點進行進一步梳理.

師：正、余弦定理的證明方法有多種，你們還記得如何利用向量法證明余弦定理嗎？

生5：記A ，CB=a，CA=b，則 c= ，所以 c²=（a-b）²=a²+ b²-2a?b ，即 |c|²=|a|²+|b|²-2|a|?|b|. 0cosC ，所以 c²=a²+b²-2abcosC. 2

師：運用向量的數量積公式實現了幾何與代數的轉化，規避了討論角C 是銳角、鈍角或直角的情況，思路簡潔明了，過程簡單，體現了向量工具的作用.其實無論是用向量法證明正弦定理，還是用向量法證明余弦定理，其思路基本相同，都是先構建三角形中的向量等式，然后利用向量數量積運算實現幾何與代數的轉化，從而完成證明.

師：對于正、余弦定理，大家可謂是了如指掌，現在我們一起來探究其

應用.

師：如圖 1① 所示，已知 ∠A ， ∠B 及 ∠B 的對邊，用什么定理可以解三角形呢？

生齊聲答：正弦定理.

師：用什么定理可以解圖 1② 中的三角形？

生齊聲答：正弦定理

師：圖1 ③ 和圖 ④ 中的三角形分別用什么定理可以求解？

圖1

生6：都可以用余弦定理求解.

師：對于以上問題，是否還能用其他方法求解呢？

生7：圖 1（2） 中的三角形也可以用余弦定理求解，即用余弦定理構建關于c的一元二次方程，然后解方程完成問題的解決.

師：很好，你能進一步歸納總結正、余弦定理可以分別解決哪幾種類型的三角形嗎？

生8：已知兩角及其一對邊或已知兩邊及其一對角，可以用正弦定理求解；已知三邊或者兩邊及其夾角，可以用余弦定理求解.

師：非常好，合理利用正、余弦定理實現邊角互化.在解三角形時，有一個易錯點需要大家注意，那就是多解取舍，像自測題第（1）題和第（3）題中都存在多解問題．對于此類問題，取舍的一個重要依據是什么？

生9：大邊對大角，

師：我們來看這樣一個實例：在△ABC中，sinA=5

教師給出例題后，預留一定時間讓學生動手計算，接著與學生互動交流.

師：你認為求解本題的關鍵是什么？

生10：判斷角A是鈍角還是銳角，師：你想如何判斷？

生11：假設角A是鈍角，則 cosA= 所以 美1所以假設不成立，角A是銳角.

生12：由于 所以 sinB= 則 sinA 即 a

師：非常好，兩位同學利用不同方法判斷出角A是銳角．你們認為哪種方法更具一般性呢？

生13：我認為生12的方法更具一般性，直接利用“大角對大邊\"進行判斷更簡潔明了.

師：分析得很有道理，不過不同人的思維習慣也會有所不同，適合自己的方法往往是最優的.

設計意圖教師結合實例引導學生進行知識的梳理、檢測和強化，將分散、零碎的知識建立聯系，建構知識網絡，提煉解題方法，為知識的綜合運用打下堅實基礎[1]．在上述知識梳理過程中，教師著重體現學生的主體地位，這既包括讓學生面對例題時能自主總結解題思路，也包括讓學生充分體驗例題的探索過程．事實證明，這樣的主動探究不僅能激活學生復習的內在動力，還能增強復習的指向性，從而夯實一輪復習的基礎.

3.典例講解

例1在 ΔABC 中， B=2A a=3，b= ：

（1）求cosA的值；

（2）求c的值.

該題難度不大，解題方法也比較靈活.教師鼓勵學生應用不同方法解決問題，以此夯實基礎知識，積累解題經驗，促進一輪復習目標的達成．對于第（1）問，學生結合已知條件，利用正弦定理求出 對于第（2）問，學生提出了不同的解題方法，教師讓學生簡述其求解過程.

生14：由余弦定理可以得到關于c 的一元二次方程 c²-8c+15=0 ，解得 c= 5或 c=3 若 c=5 ，利用余弦定理，求得 所以 cos2A= ，所以 B=2A ，滿足條件；若 c=3 ，此時 a=c=3 ，則 A=C ，又B=2A ，所以 ΔABC 是等腰直角三角形，但 a²+b²≠c² ，不滿足條件.綜上所述， c=5.

師：你們還有其他解法嗎？

生15：由cosA=V6 所以 sinA= 又 B=2A ，所以 cosB=2cos²A-1= ，所以sinB=V1-cosB=2V2 在△ABC中， sinC=sin（A+B）=sinAcosB+ 根據正弦定理得

師：很好，求出 sinC ，利用正弦定理順利解決了問題.還有其他方法嗎？

生16： C=π-A-B=π-3A ，則 sinC= sin3A，根據正弦定理得c=asin3A 12sin2A.由（1）得cosA=√6 所以 所以 c=5. （20

師：非常好，合理應用正、余弦定理找到了多種解題方法．對于同一問題，往往有不同的解題方法，我們在日常學習過程中要多思考、多總結，找到適合自己的最優解法.

設計意圖通過典型例題進一步鞏固基礎知識，強化基本技能，積累基本活動經驗，提升學生發現、分析和解決問題的能力．同時，通過一題多解培養學生發散性思維，提高學生綜合運用知識解決問題的能力.

4.課堂練習及課堂小結（略）

教學思考

1.立足基礎，回歸教材

眾所周知，高考著重考查“四基”因此，在高三一輪復習教學中，教師應回歸教材，充分發揮典型例習題的示范性與關聯性，深度挖掘其中蘊含的數學思想和方法．通過合理整合教材資源，幫助學生串聯重要知識點，構建知識網絡，切實落實“四基”，推動一輪復習目標的實現．此外，高考也關注數學學科核心素養的發展，雖然核心素養并非直接的考查內容，而是體現在學生解題過程中，但教師在一輪復習時，應基于核心素養的內涵要素，引導學生在例題研習與習題解答中獲得相應體驗，從而在考試時進入核心素養驅動的應考狀態

2.突出探究，提升能力

高三數學復習具有時間緊、任務重、要求高的特點，部分教師為追求效率，習慣使用“滿堂灌\"的方式開展復習教學.然而，“滿堂灌\"難以調動學生參與課堂的積極性，不利于引發學生深層思考，影響學生自主學習能力的提升與個體知識體系的建構.因此，在一輪復習教學中，教師應精心研究教材，精選典型例題，為學生提供獨立思考與合作探究的時間和空間.以此喚醒學生的已有知識和經驗，促使學生主動參與知識體系的建構，有效激發思維活力，發展思維能力，提升課堂教學效率與品質，落實數學學科核心素養[2].

總之，若一輪復習教學依然停留在知識的簡單重復和羅列上，將影響學生參與課堂的積極性，降低復習效果；反之，如果能夠激活學生自主復習的動力，讓學生根據自身實際情況有針對性地查漏補缺，將很好地提升一輪復習的成效．因此，在高三數學一輪復習教學中，教師要適時、適度地放手，創造機會讓學生自主發現、創造、歸納，以此發展學生的聯想、歸納、推理等思維能力，提升復習教學的有效性.

參考文獻：

[1]黃慧美.優化數學認知結構提升一輪復習效率——以\"函數零點\"復習課為例[J].中學數學研究，2024（4）：9-10.

[2］任泳洲.提升高中數學復習課教學效率的探究[J].文理導航（中旬），2024（7）：43-45.