經歷過程 深化認知 抽象本質

數學概念是數學知識體系的核心，是構建其他數學知識的基石，其在數學教學中的地位和價值不言而喻．在高中數學概念教學中，教師應注重凸顯學生的主體地位，引導學生親歷概念的形成過程，從而促進概念的理解與深化，提升概念教學質量.然而，當前部分教師在教學中過于追求結果，常直接將概念灌輸給學生記憶，隨后布置大量練習用于概念理解與強化.從短期效果來看，學生雖能熟練背誦概念，通過模仿套用解決多數問題，但從長遠來看，由于學生未親身經歷概念的形成過程，難以對概念形成全面且深刻的認識．長此以往，學生容易遺忘概念，進而影響后期概念的應用效果．因此，在概念教學中，教師需適度調整教學節奏，積極轉變教學模式與學生學習方式，創造機會讓學生深度參與概念形成過程，助力學生更好地理解概念本質，建構完整的概念知識體系，提升數學能力與數學素養.筆者以“弧度制\"概念的教學設計為例，著重探究如何以學生為中心，通過創設有效問題情境，引導學生經歷概念形成過程，深化知識理解，培養學生直觀想象、數學抽象、數學建模等核心素養.

教學內容

從教材編排體系來看，學生在前期已系統學習任意角的概念，并熟練掌握了一些單位換算方法.本節課所學知識作為銜接內容，將為后續深入學習任意角的三角函數等知識奠定重要基礎，在整個教學進程中發揮著承上啟下的關鍵作用.在初中階段，學生已接觸并掌握角度制這一度量角的方法．而弧度制與角度制一樣，同為度量角的重要方式.因此，在教學過程中，教師應著重引導學生對弧度制與角度制進行對比分析，讓學生深刻體會二者之間相互聯系、辯證統一的關系，進而強化學生對辯證統一思想的理解．同時，通過多樣化的教學手段，幫助學生精準理解弧度制的定義，熟練掌握角度與弧度之間的相互轉換方法.

教學目標

（1）理解1弧度角及弧度制的定義，能夠正確進行弧度與角度的轉換；（2）推導弧度制下的弧長公式、扇形面積公式，體會弧度制的合理性與簡潔性;（3）理解任意角的集合與實數集之間的一一對應關系；（4）引導學生經歷弧度制概念的形成過程，感悟知識背后蘊含的數學思想方法，培養學生數學抽象、數學建模等核心素養.

教學難點

（1）理解并掌握弧度制的定義； （2）熟練掌握角度與弧度的相互 轉換； （3）在弧度制下推導弧長公式、扇 形面積公式.

教學過程設計

1.感知概念問題1上一節課我們學習了“任意角\"的概念，知曉自然界存在許多周期現象，如日出日落、四季更替等，這些現象可以抽象成圓周上一點的運動.若點P沿半徑是r的圓周做勻速運動，我們可以如何描述點P的位置？

師生活動：學生積極思考、交流，教師進行歸納總結．不同學生的出發點不同，描述方法也有所差異．有的學生建立如圖 1@. 所示的直角坐標系，利用點P的坐標描述點P的位置；有的學生認為點P的位置可由半徑r和圓心角 α 決定，于是聯想用有序數對（α，r） 描述點P的位置，如圖 1（2） 所示；還有學生提出，點P的位置可由半徑r和弧長決定，于是聯想用弧長和半徑r來描述點P的位置，如圖1 ③ 所示.

圖1

追問：結合問題1的交流結果可知，點P的位置由弧長l圓心角α和半徑r決定，它們之間存在怎樣的關系？

師生活動：探究前，教師啟發學生思考以下問題：（1）角α越大，弧長越長嗎？（2）半徑r越大，弧長越長嗎？（3）如果半徑r固定，另外兩個量（角 α 和弧長I）存在怎樣的對應關系？在這些問題的啟發引導下，學生通過積極思考、交流，最終達成共識：若圓0中，當半徑r不變時，角α越大，其所對應的弧長也就越長.

設計意圖在引入環節，教師基于大單元教學理念設計教學情境，引導學生體會“周而復始”的現象，并將周期現象抽象為圓周運動，自然引出圓心角 α 半徑r和弧長l這三個變量.隨后，教師引導學生固定半徑r這一變量，讓學生感知弧長l與圓心角α大小存在正比例關系，使學生直觀認識到利用弧長表示角的大小具有可行性，從而為學生更好地理解和接受弧度制奠定基礎.

問題2已知圓 o 的半徑為 若圓心角 α 分別為 560^°，180^°，90^° 時，其所對應的弧長分別是多少？弧長與半徑r的比值又分別是多少？

師生活動：學生結合已有知識和經驗得出 360^° 180^° 新 90^° 所對應的弧長分別是 ，弧長與半徑的比值分別是 .為了更清晰地呈現它們之間的關系，教師展示表1，引導學生進行對比觀察

表1

追問：觀察表1，若圓心角 α 的度數為定值，則隨著半徑r的變化，弧長l如何變化？表1中不變的是什么？

師生活動：學生通過觀察、交流，發現圓心角 不變時，其所對應的弧長會隨著半徑r的變大而變長，但是無論r如何變化，不會變.由此，學生自然猜想：能否用一來描述角的大小？r設計意圖教師給出特殊圓心角，讓學生計算這些特殊圓心角所對的弧長，進而發現 ?α，r ，之間存在的內在聯系．當圓心角 α 固定時，弧長l與半徑的比值也就固定，可見用二來描r述角的大小是可行的．另外，該比值為實數，相較于角度制更具優勢，借此能自然激發學生探究弧度制的熱情.

2.生成概念

問題3我們用弧長與半徑之比定義一個角的度量，相較于角度制，你認為這種新的度量方式可以叫什么名字呢？

師生活動：學生通過對比分析，認為用\"弧度制\"來描述最為貼切.在此基礎上，教師給出1弧度角的定義.

問題4 180^° 等于多少弧度，如何計算？

師生活動：學生結合表1直接給出答案： 180^° 等于 π ，即 r

追問： 1^° 等于多少弧度？2rad等于多少度？

師生活動：因為 180^° 等于 πrad ，所以 rad.同理，

角度與弧度的互化是本節課的重難點.為突出重點、突破難點，教師列舉了一些特殊角，引導學生進行角度與弧度的轉化，并將轉化過程與結果板書呈現，具體內容如表2所示，同時，教師強調學生記住“半圓 1π ”這個口訣，以輔助學生理解和掌握角度與弧度的換算關系.

表2

設計意圖通過對比，引導學生體會角度制和弧度制均為描述角的大小的計量單位，且二者能夠相互轉化，由此自然引出本節課的重難點—孤度制與角度制的轉化．在教學過程中，教師以半圓作為橋梁，構建角度制與弧度制之間的聯系，從而使二者的相互轉化更易理解與掌握．同時，借助角度制與弧度制的互化，幫助學生認識到角的集合與實數集合之間存在一一對應關系，為后續學習任意角的三角函數奠定基礎

問題5既然已經有了角度制，且它易于理解和掌握，為什么還要引入弧度制呢？新的角度計量單位的優勢體現在哪里？

師生活動：學生先獨立思考，隨后小組交流討論，之后教師歸納總結：引入弧度制能直接建立角度與長度之間的聯系，使角度和弧長的進制統一．如此一來，便可以借助函數方法研究角的問題，為后續三角函數的學習奠定基礎、提供便利.

設計意圖在數學教學過程中，不僅要向學生傳授知識內容，即告知學生“是什么”，更要引導學生探究知識背后的原理，讓學生明白“為什么”只有幫助學生梳理清楚知識的來龍去脈，學生才能更輕松地理解知識，在實際應用時也能更加游刃有余.在本節課的教學中，教師先給出弧度制的定義，引導學生掌握弧度和角度互化的方法，在此基礎上，進一步引導學生思考引入弧度制的優勢，旨在讓學生深刻體會引入弧度制的重要性，從而揭示數學學習探究本質、追尋原理的核心要義.

3.應用概念

問題6把下列各角從弧度化成角度：

問題7把下列各角從角度化成弧度：（1） 252^° ;（2）35.15°.

師生活動：學生先獨立完成題目，隨后教師選取學生進行板演（具體解題過程略）.

設計意圖通過練習，幫助學生熟練掌握角度與弧度的互化方法，深入體會角的集合與實數集之間的一一對應關系．同時，引導學生通過對比觀察，明確角度的單位不能省略，而弧度的單位在書寫時可以省略.

問題8半徑為r的圓中，1rad的圓心角所對的弧長 l= ;2rad圓心角所對的弧長

追問1：根據以上問題的解決，你認為弧長與弧度具有怎樣的關系？

師生活動：問題8雖然難度不大，但對于初學弧度制的學生而言，理解起來可能存在一定障礙.教師引導學生寫出完整的推導過程，幫助學生逐步理解其中蘊含的關系．根據弧長公式l=nr l=r. 180同理，2rad=360 所以 l=2r ，結合以上探究過程，學生給出結論： l=αr.

追問2：上節課我們推廣了角的概念，知道角可以分為正角、負角和零角，由此可見弧度可正可負，而弧長一定是非負的，你認為我們規定的 l= αr 是否能表示任意角對應的弧長呢？

師生活動：在教師的啟發和指導下，學生認為需要給 α 加上絕對值符號，即 l=|α|r， ，這樣就能表示任意角對應的弧長.

問題9在角度制下，扇形的面積公式是什么？在弧度制下，如何表示？

師生活動：教師組織學生以小組為單位進行推導．學生給出如下推導過程：因為 S_?ering=πr²，360^°=2π ，若圓心角弧度大小為 α ，則 1|a|r2又l=la|r，所以s扇=

設計意圖教師啟發和指導學生將角度轉化為弧度，在鞏固和強化學生基礎知識和基本技能的同時，還讓學生體會弧度制下扇形的弧長和面積公式的簡約美，彰顯弧度制在簡化三角公式方面的價值[1]

4.回顧概念

問題10回顧本節課的研究過程，闡述我們是如何開展弧度制研究的？同時，說明弧度和角度有哪些區別與聯系？

問題11你認為利用弧度制能夠解決哪些問題？

師生活動：學生自主回顧、歸納和總結，教師適時給予點撥和提煉：角度制是用角的大小來度量角，而弧度制則是以弧長與半徑的比值（與長度相關）來度量角；角度度量采用的是六十進制，弧度度量采用的是十進制.角度和弧度能夠相互轉化，在轉化過程中，需牢記“ 180^°=π 弧度\"這一核心公式，如此便能在轉化時得心應手．此外，弧度制把角從角度形式轉化為實數形式，為角度與代數的運算搭建起了一座橋梁，為三角函數的學習奠定了基礎.

設計意圖通過引導學生反思回顧本節課的研究內容和研究思路并加以歸納總結，不僅旨在讓學生掌握知識與技能，更要使其知曉研究新單位制的方法路徑，從而促進學生對知識的理解與深化，推動學生能力與素養的發展和提升.

教學思考

好的數學教學不是學生被動地接受知識，而是從教學實際出發，通過創設有效的問題啟發學生思考，把握數學內容的本質，體會數學學習的真正價值，從而讓學生能夠全身心地參與，化被動為主動，從學會走向會學[2]．例如，在本節課教學中，若教師直接向學生講授弧度制的概念，并通過相應練習讓學生進行弧度與角度的轉化，學生雖能理解和掌握，但勢必會產生困惑：已有角度制，為何還要大費周章地研究弧度制？因此，在實際教學中，教師要引導學生思考學習新概念的必要性，使其充分體會引入新概念的重要意義，從而調動學生學習的主動性，幫助學生建立新知與舊知的聯系，明晰知識的來龍去脈，完善認知結構，提升發現、分析和解決問題的能力.

此外，數學概念具有高度抽象性，學生面對抽象概念時，容易產生厭煩情緒，進而影響學習效果．為改善這一狀況，教師基于學生的最近發展區，精心設計問題.這樣一來，既能調動學生參與課堂的積極性，激發思維活力，又能通過問題解決，幫助學生理解知識結構，把握內在聯系，認清數學內容的本質，使學習更加主動、高效.

總之，在高中數學概念教學中，教師要充分發揮主導作用，精心設計教學活動，引導學生經歷概念的生成、發展和應用過程，助力學生全面深刻地理解概念，把握數學概念的本質，實現深度學習．同時，教師應注重引導學生提煉新知的研究思路，使學生在掌握知識與技能的過程中，獲得可持續學習能力，提升綜合素養.

參考文獻：

[1］林偉芬.基于四個理解的“弧度制”教學設計[J].中國數學教育，2022（Z2）：55-62.

[2]鄭鋒，黃錦濤.數學教學應融過程性、遷移性和發展性于一體一核心素養培育導向下的高中數學教學實例研究[J].福建教育，2024（28）：45-48.