指向“三會(huì)\"發(fā)展的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究

指向“三會(huì)\"能力發(fā)展的課堂教學(xué)，不僅要將教學(xué)目標(biāo)落實(shí)于教學(xué)成果，更應(yīng)貫穿于教學(xué)過程.具體而言，可將“四能\"作為基本載體，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，推動(dòng)其學(xué)力發(fā)展[1．當(dāng)前，“小鎮(zhèn)做題家\"這一戲稱雖帶調(diào)侃意味，卻引發(fā)深刻思考：教育的本質(zhì)究竟是什么？教育的核心目的又是什么？在這樣的背景下，探索能夠高效提升學(xué)生創(chuàng)造力的教學(xué)模式顯得尤為迫切.因此，本研究以“基本不等式\"第一課時(shí)教學(xué)為例，從以下幾個(gè)方面展開深入探索與研究.

還能有效培養(yǎng)學(xué)生觀察與思考問題的能力．從某種意義上來說，結(jié)合課標(biāo)要求、教材內(nèi)容與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平來設(shè)計(jì)教學(xué)方案，可為發(fā)展學(xué)生的“三會(huì)\"能力夯牢根基.以“基本不等式\"第一課時(shí)的教學(xué)為例，教師需結(jié)合學(xué)情制定教學(xué)目標(biāo)，從而促使學(xué)生積極投身于課堂學(xué)習(xí)，發(fā)展整體思維，形成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)能力.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.實(shí)操導(dǎo)入，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界

心概念，學(xué)生很難真正理解其本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境可有效突破這一難點(diǎn)，學(xué)生能夠從熟悉且感興趣的事物中逐步培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力，從而為揭示教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)奠定基礎(chǔ).

情境2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國北京召開，大會(huì)會(huì)標(biāo)受趙爽弦圖的啟發(fā)設(shè)計(jì)而來．將其抽象為典型的數(shù)學(xué)圖形（見圖1），可以從中發(fā)現(xiàn)與基本不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)律．趙爽弦圖不僅是探索勾股定理最早、最簡潔的方法之一，還突出了“數(shù)形結(jié)合\"“代數(shù)與幾何\"思想的重

教學(xué)設(shè)想

新課改背景下的課堂教學(xué)，教師需與時(shí)俱進(jìn)，及時(shí)革新教學(xué)理念，將課標(biāo)要求落實(shí)到教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié).教師應(yīng)全面觀察并深入理解教材要求，從單元整體視域設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，這不僅能讓教學(xué)活動(dòng)直指教學(xué)核心，

“基本不等式\"的第一課時(shí)是在等式與不等式基本模型的基礎(chǔ)上展開的，這部分內(nèi)容是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)不等式實(shí)際應(yīng)用以及探索最值問題的基石．因此，本節(jié)課在知識(shí)體系中具有承上啟下的作用.同時(shí)，處于該階段的學(xué)生尚未形成用整體眼光觀察事物的能力，若在課堂上直接呈現(xiàn)核要性，并且在基本不等式教學(xué)中，借助該會(huì)標(biāo)能很好地幫助學(xué)生理解不等式的幾何意義.

圖1

問題1通過對(duì)圖1的觀察，從中能發(fā)現(xiàn)哪些相等與不等關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師用多媒體展示圖片，學(xué)生自主觀察并分析圖中的相等與不等關(guān)系.經(jīng)過小組合作討論，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)大正方形ABCD中存在四個(gè)全等的直角三角形.若將各個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別設(shè)定為^a，b ，那么 則為正方形的邊長.由此可以看出四個(gè)直角三角形的面積之和是 ?S₁=2ab ，大正方形的面積是S₂=a²+b² ，通過對(duì)圖1的觀察，容易發(fā)現(xiàn) S₁2 ，換而言之就是 2ab2+b².

設(shè)計(jì)意圖爽弦圖與國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)均是我國數(shù)學(xué)史上的璀璨瑰寶．將這一極具代表性的會(huì)標(biāo)融入課堂教學(xué)，具有多重意義：其一，能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美素養(yǎng)，深化數(shù)學(xué)文化的浸潤與滲透；其二，有助于培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力，學(xué)生從會(huì)標(biāo)中抽象出數(shù)學(xué)圖形，不僅能夠鍛煉數(shù)學(xué)抽象思維，還能發(fā)展直觀想象能力；其三，通過圖形揭示數(shù)學(xué)問題的教學(xué)方式，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與空間想象能力，使學(xué)生逐步掌握主動(dòng)觀察、抽象圖形的方法，從而為數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與創(chuàng)新能力的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

問題2分別取 ^a，b 的若干特殊值，開展大小關(guān)系的對(duì)比研究，并將所得結(jié)論整理至表格內(nèi)，以方便觀察、對(duì)比與分析.

學(xué)生選擇a，b分別為1，1；1P1;16，4;2，2等，經(jīng)整理形成表1.

問題3根據(jù)表1內(nèi)的各組數(shù)據(jù)，可初步形成怎樣的猜想？

經(jīng)討論，學(xué)生自主形成以下幾個(gè)猜想：第一，假設(shè) ^{agt;0，bgt;0} ，且 a≠b ，則 ；第二，假設(shè) a=b 則， ；第三，假設(shè) _{alt;0，blt;0} ，且 a≠b ，則 ；第四，假設(shè) ablt;0 ，則 沒有意義.

表1

問題4基于以上分析，可初步得到怎樣的結(jié)論？

此問題是對(duì)上述探索過程的總結(jié)，于是學(xué)生很快得出“若 agt;0，bgt;0 ，則 ”的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖若教師直接要求學(xué)生提煉結(jié)論，學(xué)生往往會(huì)感到手足無措；而鼓勵(lì)學(xué)生以特例作為思維起點(diǎn)，則能有效打開學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的思路，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，將文本化的數(shù)學(xué)內(nèi)容還原為數(shù)學(xué)家探索問題的初始狀態(tài)，這種教學(xué)模式不僅有助于學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與形成過程，掌握數(shù)學(xué)家研究問題的基本方法，還能促使學(xué)生深入思考，逐步領(lǐng)悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，從而為提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2.嚴(yán)謹(jǐn)求證，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界

在上一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會(huì)了使用幾何畫板觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象的方法，并通過自主探索與合作交流，切身體會(huì)到不等關(guān)系中存在的相等條件，進(jìn)而完善了不等式的相關(guān)結(jié)論，具體如下： ① 如果 a，b∈R⁺ ，那么 2ab?a²+b² ②如果a，b∈R+，那么√ab≤a+b

問題5如何用不同的方法對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行證明？

在這一問題的引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)入了主動(dòng)思考狀態(tài).經(jīng)過討論，他們提出可以分別運(yùn)用代數(shù)法與幾何法進(jìn)行證明，具體過程如下：

第一種，用代數(shù)法求證.

證法1：用作差法求證.

因?yàn)?a²-2ab+b²=（a-b）²?0 ，所以2ab?a²+b² ，當(dāng) a=b 時(shí)，取等號(hào).在用這種方法求證時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn) ^a，b 的值可以是所有實(shí)數(shù)．由此能看出學(xué)生已進(jìn)入深入思考的狀態(tài).

證法2：用分析法求證.

在 的條件下，求證 僅需證明 ，即證明 ，也就是 很顯然，該式是成立的，因此，Vab≤+b 成立，當(dāng)a=b 時(shí)，取等號(hào).

為了進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)代數(shù)法求證過程的理解，夯實(shí)學(xué)生的基本不等式基礎(chǔ)，教師在此處分別滲透“幾何平均數(shù)\"與\"算術(shù)平均數(shù)\"的概念：對(duì)于兩個(gè)正數(shù) 為 ^a，b 的幾何平均數(shù)， 為 _a，b 的算術(shù)平均數(shù).關(guān)于基本不等式√ab≤a+b 可描述為：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

第二種，用幾何法求證.

如圖2所示，已知 AB 是圓 o 的直徑，點(diǎn)C在AB上，令 1C=a，BC=b 經(jīng)過點(diǎn) c 作弦 DE 與 _AB 垂直，連接 _?AD，BD ，結(jié)合射影定理可得 ．因?yàn)镽t ΔOCD 內(nèi)的直角邊 CD 短于斜邊 OD ，所以 .由此可確定，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) c 與圓心 o 重合時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，等號(hào)成立.

圖2

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過獨(dú)立思考與合作交流，發(fā)現(xiàn)可運(yùn)用代數(shù)法或幾何法求證基本不等式．其中，代數(shù)法包含作差法和分析法；幾何法則借助圓中半徑與半弦的關(guān)系，揭示基本不等式的幾何意義．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅加深了學(xué)生對(duì)基本不等式本質(zhì)的理解，還有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維與邏輯推理能力.

3.實(shí)際應(yīng)用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界

例1張大媽準(zhǔn)備用籬笆圈出一塊 100m² 矩形的綠化地，那么該綠化地的長與寬分別是多少時(shí)，所用的籬笆最少？

例2張大媽有一段36米長的籬笆，她準(zhǔn)備用這一段籬笆圈出一塊矩形綠化地，那么矩形綠化地的長與寬分別為多少時(shí)，其面積最大？

師生活動(dòng)：在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生自主思考與分析這兩個(gè)問題，一致發(fā)現(xiàn)可用基本不等式來探索最值，通過積與和的轉(zhuǎn)化獲得結(jié)論

具體為：對(duì)于 x，y∈R⁺ ① 如果

xy=p為定值，唯有在 的情況下， x+

y 可取得最小值為 ② 如果 x+y=

σ_s 為定值，唯有在 x=y 的情況下， xy 可

取得最大值1

要求學(xué)生在獲得結(jié)論后，以小組合作的形式開展交流與反思，共同探討如何運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)格式與專業(yè)語言，完整且準(zhǔn)確地描述研究過程，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的習(xí)慣，提升其數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生對(duì)用籬笆圍綠化地的生活情境十分熟悉，選取這一典型場(chǎng)景作為教學(xué)情境，既能激發(fā)學(xué)生的探索欲望，啟發(fā)其思維，又能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展夯實(shí)根基．這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，不僅能鞏固學(xué)生的基本不等式的知識(shí)基礎(chǔ)，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，還能有效培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象與應(yīng)用等能力.

思考與感悟

1.生活情境是提升數(shù)學(xué)眼光的基礎(chǔ)

“數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活”，這句話闡釋了數(shù)學(xué)與生活有著重要聯(lián)系.“三會(huì)\"能力的發(fā)展是落實(shí)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而用數(shù)學(xué)眼光觀察世界又是培養(yǎng)“三會(huì)\"能力最基本的環(huán)節(jié).根據(jù)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，在課堂中創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活相關(guān)的教學(xué)情境，可促使學(xué)生主動(dòng)用數(shù)學(xué)眼光觀察生活實(shí)際，為發(fā)展“三會(huì)\"能力奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課，教師在課堂導(dǎo)入階段，以富含文化底蘊(yùn)的數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)及趙爽弦圖為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察生活實(shí)際的能力，為后續(xù)抽象基本不等式做好鋪墊，在知識(shí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師用生活情境引導(dǎo)學(xué)生將課堂所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用于實(shí)際問題，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力．由此可見，生活情境不僅是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的基礎(chǔ)，更是滲透數(shù)學(xué)文化、提煉數(shù)學(xué)方法、解決數(shù)學(xué)問題的重要載體.

2.嚴(yán)謹(jǐn)證明是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的核心

數(shù)學(xué)作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，若想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，首要任務(wù)便是發(fā)展其數(shù)學(xué)抽象能力．這要求學(xué)生能夠主動(dòng)從紛繁復(fù)雜的生活現(xiàn)象里，提煉出科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而構(gòu)建完整的認(rèn)知體系．在本節(jié)課的教學(xué)中，為引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，教師摒棄了直接灌輸基本不等式等號(hào)成立條件的傳統(tǒng)方式，而是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與興趣特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)特征.學(xué)生在形成初步認(rèn)知后，通過獨(dú)立思考與合作交流，對(duì)所得結(jié)論展開嚴(yán)謹(jǐn)證明．在此過程中，學(xué)生完整經(jīng)歷了數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的全過程，深刻認(rèn)識(shí)到任何定理或公式的形成及廣泛應(yīng)用，都離不開嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的論證，這正是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵所在.

課堂上，師生以圓為工具，共同探究基本不等式的幾何意義．這一教學(xué)活動(dòng)不僅加深了學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，還充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，使其能夠自主提煉數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)代數(shù)法與幾何法的靈活運(yùn)用，從而完善自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在基本不等式的求證環(huán)節(jié)，師生攜手逐步深入探索，有效揭示了知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵.通過親身體驗(yàn)，學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)了基本不等式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，逐步養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考世界的良好習(xí)慣.

3.數(shù)學(xué)建模是精準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá)的 靈魂

數(shù)學(xué)建模是從生活實(shí)際中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，即運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析生活問題，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述.實(shí)踐表明，學(xué)生在課堂中將新知用于解決實(shí)際生活問題，不僅能提升數(shù)學(xué)建模意識(shí)，還能發(fā)展語言表達(dá)能力，掌握用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言描述世界的技能．在本節(jié)課中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象與建模，揭示“一正、二定、三相等\"的核心本質(zhì)，從而對(duì)基本不等式形成深刻理解，這對(duì)發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有積極作用.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開“三會(huì)\"能力的支撐．教師在教學(xué)中應(yīng)精準(zhǔn)把握知識(shí)本質(zhì)，借助豐富的情境創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)問題，啟發(fā)學(xué)生思維，提升學(xué)生的觀察能力、思考能力與語言表達(dá)能力，為落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1］陸一烽.在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐探究一從一道高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢題談起[J].教師教育論壇，2021，34（12）：50-52.