淺談“聯想思維”在高三數學二輪復習教學中的應用

數列是高考重要考點與高中數學教學難點，其在教學中的地位不言而喻．在高三二輪復習時，教師開展專題訓練，引導學生構建知識網絡，提升解題能力十分必要.筆者以“等差數列和等比數列的判斷與證明\"為專題開展復習，通過專項訓練鞏固學生的基礎知識與基本技能，完善知識體系，提高綜合能力與素養.

教學過程

1.課前測試，鞏固知識

為檢測學生對基礎知識的掌握情況，鞏固和強化基礎知識與基本技能，教師在課前給出如下練習：

（1）已知數列 {a_n} 是首項為2，公 差為2的等差數列，若 ， 求證：數列 {b_n} 是等比數列

（2）已知數列 {a_n}，{b_n} 分別為公 比 和q Ψ（p≠q，n∈N^*） 的等比數列，若 {c_n} 滿足 c_n=a_n+b_n ，求證：數列 {c_n} 不 是等比數列.

（3）設數列 {a_n} 的前 Φ_n 項和為 S_n 若 與 a₁ 的等差中項是 ，求證：數列 {a_n} 是等差數列.

（4）等差數列 {a_n} 的公差為 d ，前 n 項和為 S_n ，若 ?dgt;0 ，且滿足 a₂a₄=65 ， a₁+a₅=18.

① 求數列 {a_n} 的通項公式；

② 是否存在常數 ?k ，可使得數列 為等差數列？若存在，請求出滿足條件的常數 ;若不存在，請給出你的理由.

課上，教師點名讓學生解答題目，針對學生暴露出來的問題查缺補漏，以此完善學生的知識結構．鑒于高三復習時間緊、任務重，教師合理安排時間，鼓勵學生在課前以小組合作的方式分析錯誤、提煉方法，防止復習進度受阻，從而提升二輪復習效果.

2.方法聯想，形成策略

師：課前測試我們重點研究了哪幾類問題？

生1;重點研究了兩類問題：其一，等差數列或等比數列的證明;其二，探索等差數列或等比數列成立的條件.

師：很好！對于等差數列或等比數列的證明，我們可以采用哪些方法呢？

生2：證明一個數列是等差數列，常用的方法是定義法和等差中項法.與等差數列相類比，證明一個數列是等比數列，可以應用定義法和等比中項法

師：非常好！那我們該如何探索等差數列成立的條件呢？

生3：可以根據已知條件求出數列的前3項，再結合等差數列的定義，利用這前3項求出參數，最后代入檢驗

生4：還能設出等差數列通項公式的統一形式，依據已知條件求出參數，然后進行驗證.比如第（4）題，由① 得 S_n=2n²-n ，假設常數 k 存在，不妨令 ，則 2n²+（k-1）n=a²n²+ 2abn+b² 對于任意 n∈N^* 恒成立，由此就能求出k值.

師：不錯！此方法是解決此類問題的常用方法．對于等比數列，這種方法同樣適用，只不過由于等比數列求和公式比較復雜，實際應用頻率不高.相比之下，更側重于先證明前3項是等比數列，然后求出相關參數再進行驗證.

設計意圖通過此環節，為學生創造提煉解題策略的機會，引導他們歸納總結解決數列問題的通用方法，積累基礎解題經驗，進而為提升學生的數學能力與成績夯實根基.

3.舉一反三，提升能力

已知數列 {a_n} 是首項為1的正數數列，設數列 {a_n} 的前 項和為 S_n ，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1 對于一切 n∈N^* 都成立.

（1）求證：當 λ=1 時，數列 {a_n} 是 等比數列.

（2）實數 為何值時，可以使數列{a_n} 為等差數列.

題目提出后，教師引導學生先獨立思考，然后聯系課前測試問題，找到合理的解題切入點，進而構建解題策略.

師：對于第（1）問，你想如何求解呢？

生5：將 λ=1 代人 （S_n+1+λ）a_n=（S_n+ 1）a_n+1 ，得 （S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1 ，由此獲得數列和與項的關系，再通過遞推化簡可得項與項的關系，問題迎刃而解

師：是個不錯的想法．你們還有其他方法嗎？

生6：可以利用特殊值法求解.先通過計算得出數列的前3項；接著猜想數列的通項公式；最后驗證通項公式

師：也不錯，以上兩種方法是證明一個數列是等比數列的常用方法.當然，對于同一問題往往存在不同的解題策略.例如，將遞推式子 （S_n+1+1） ·an=（Sn+1）an+變形為 ，構造常數列 得出 S_n+1=2a_n ，后面同理得證.課下大家可以繼續嘗試應用不同的方法求解該題.

師：對于第（2）問，你想如何求解呢？生7：令 ?_n=1 ，得 a₂=1+λ ；令 ?_n=2 ，得

a₃=（1+λ）² 要使 {a_n} 為等差數列，必

須滿足 2a₂=a₁+a₃ ，解得 λ=0. （204號師：這樣就完整了嗎？生齊聲答：不完整，需要進一步

驗證.師：很好，誰來補充完整？生8：當λ=0時，Sn+1an=（Sn+1）an+1，

且 a₂=a₁=1 當 n?2 時， S_n+1（S_n-S_n-1）=

（S_n+1）（S_n+1-S_n） ，整理得 則

化簡得 S_n+1=S_n+1 ，所以 a_n+1=1 綜上所

述， a_n=1（n∈N^*） .所以，當 λ=0 時，數

列 {a_n} 是等差數列.

師：非常好！通過聯想課前測試問題中的相關解法，我們不僅找到了問題的突破口，還認清了處理遞推式的常用方法本質—將其轉化為等差（比）數列.

設計意圖通過探究典型例題，幫助學生進一步梳理歸納數列的定義、通項公式及前 項和公式；并借助一題多解，總結處理遞推式問題的方法，揭示不同方法的本質，從而促進學生知識深化與能力提升.

4.總結歸納，拓展提升

師：相信通過運用聯想方法探究相關題目，大家對“等差數列和等比數列的判斷與證明”已有深刻認識實際上，聯想方法不僅適用于數列問題，在數學的其他章節同樣存在類似的應用.結合大家已有的知識和經驗，你們能想到哪些類似的問題呢？

生9：在探索函數奇偶性成立的條件時，既可以利用定義法將問題轉化為恒成立問題進行求解，也可以先用特值法求出參數，之后再進行檢驗.而要證明一個函數既不是奇函數也不是偶函數，只要舉出反例即可.

生10：在解析幾何中，對于定點定值這類問題，我們既可以從正面嚴格研究，也可以選取特殊位置求出參數，再代入原式進行驗證.

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師：同學們說得非常好！有些數學問題表面上看似毫無關聯，但經過深入分析，我們不難發現它們之間存在諸多共性.在數學學習過程中，大家要突破單一知識點和單一章節的限制，善于運用聯想思維去思考問題，構建完整的知識體系，實現數學知識的融會貫通.

設計意圖教師通過引導學生運用聯想思維，幫助學生體會數學知識之間的內在邏輯聯系，拓寬學生的知識視野，培養學生思維的深度與廣度，助力學生構建系統的數學知識網絡，進而提升學生分析和解決數學問題的綜合能力.

教學思考

在高三數學二輪復習教學中，教師應重視引導學生時刻聯想已復習的知識內容.這樣不僅可以有效避免因復習周期過長而引發的遺忘問題，還能通過類比聯想，助力學生構建系統的知識網絡，使學生在解題時能夠靈活調用知識，切實提高數學知識應用能力，發展數學思維.值得注意的是，這種聯想不僅包括同一專題內的相似聯想，還涵蓋不同章節間的方法聯想.在教學實踐中，教師可通過創設有效問題情境啟發學生聯想，以此拓寬知識廣度，深化數學思維深度，有效提升學生的知識遷移應用能力，培養數學學科核心素養.

此外，在二輪復習教學中，教師需合理把控教學節奏，切忌因追求進度而讓學生回回吞棗，進而影響整體復習效果.在實際教學過程中，教師應給予學生充分的思考時間，鼓勵學生表達所思所想，從而激發思維活力，提升思維品質，促進數學素養的發展

總之，在二輪復習教學中，教師需深入研究教學內容，精心挑選典型例題，善于引導學生從多角度分析和解決問題，助力學生構建完善的知識網絡，增強綜合應用能力．同時，教師應充分了解學生的學習情況，創造多元課堂參與機會，指導學生開展知識聯想，讓學生真正成為學習的主體，實現數學素養的全面提升.