融入數學文化培養核心素養

2025-09-30 00:00:00梁昌鎖

數學教學通訊·高中版 2025年8期

數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展1.數學不僅包括知識體系本身，還涵蓋數學史、數學家故事等文化內容.在教學中滲透數學文化，有助于培養學生的數學素養，深化知識理解，拓寬知識視野，激發學習興趣，提升創新思維與批判性思考能力.本文以“余弦定理\"教學為例，探討如何通過數學文化的融入，增強學生的學習興趣和能力，促進數學學科核心素養的發展.

教學背景

1.教材內容分析

余弦定理是在正弦定理之后，又一研究任意三角形邊角關系的重要定理．它是三角函數知識與平面向量知識在三角形中的具體應用，也是解決各類三角形問題和實際應用問題的關鍵工具.在學習本節課之前，學生已掌握三角函數、正弦定理、平面向量等相關知識，這些前期知識為學生理解本節課內容奠定了基礎.在教學中，若教師直接讓學生記憶并套用余弦定理，很難激發學生的學習興趣，進而影響課堂教學效果.基于此，教師可將數學文化融入教學，引導學生主動探究知識的發展脈絡，以此啟發學生思維，激發學習興趣，提升教學質量.

2.教學目標

（1）從具有文化情境的實際問題入手，讓學生體會研究余弦定理的必要性，感受其應用價值，激發學生學習數學的積極性；

（2）引導學生經歷計算、歸納、猜想、證明余弦定理的過程，培養學生發現、分析和解決問題的能力，幫助學生養成良好的思維習慣；

（3）引導學生學會運用多種方法證明余弦定理，在探究過程中著重培養其邏輯推理、數學建模、數學運算及直觀想象等數學學科核心素養；

（4）注重滲透從特殊到一般、數形結合等數學思想方法，讓學生體會數學文化的魅力，進一步培養學生的數學學科核心素養.

3.教學重點和難點

（1）引導學生經歷余弦定理的猜想與驗證過程，培養學生的核心素養；（2）完成余弦定理的推導與證明.

教學過程

1.復習舊知，導入新課

問題1如圖1所示，A，B分別為兩個山峰的頂點，在山腳下任意選一點C，然后使用測量儀測得點C到山峰A，B的距離，以及點C對山峰A，B的張角 ∠ACB. 你能根據以上信息，求出兩個山峰A，B之間的距離嗎？

圖1

師：你能將這個問題轉化為數學問題嗎？生1：在△ABC中，已知 BC=a，AC= ，求AB.

師：已知三角形的兩邊及其夾角，該如何求解呢？（教師預留時間讓學生思考）師：能用正弦定理來解決這個問題嗎？生1：不能.師：正弦定理主要解決哪幾類三角形問題？生2：主要解決兩類三角形問題：一是已知三角形的兩個角和其中一邊；二是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角.師：很好.這里已知的是兩邊及其夾角，確實難以利用正弦定理來求解.那類似的問題該如何解決呢？如果∠ACB=90°，能否求AB呢？

生3：可以直接利用勾股定理求解.

設計意圖從現實生活情境引入，讓學生認識到已知兩邊及其夾角求第三邊的問題具有實際意義，且難以用已有知識和經驗解決，以此凸顯探索新知的重要性與必要性，激發學生探索的積極性．教師引導學生從特殊情況入手，利用勾股定理解決問題，既能喚醒學生已有的知識儲備，檢驗知識掌握程度，又為后續探究一般性問題提供思路，有效激發學生學習數學的興趣.

2.盤活舊知，構建新知

問題2若兩邊的夾角是銳角或鈍角，能否求出第三邊的長度呢？此時，是否依然可以運用勾股定理來求解？

生4：若∠ACB是銳角或鈍角，不能直接利用勾股定理來求解，但是可以嘗試構造直角三角形，運用勾股定理來研究.

師：非常好，你想如何構造直角三角形呢？

生4：如圖2所示，當 ∠ACB 是銳角時，過點 A 作 BC 的垂線，垂足為 D. 號令 AD=m ， CD=n ，則 BD=a-n ．在RtΔABD 中， c²=m²+（a-n）²=m²+n²+a²- 2na ；在 RtΔACD 中， b²=m²+n² cosC= ，即n=bcosC.所以，c2=a2+b2-

2abcosC.

圖2

師：非常好.通過構造直角三角形，順利地解決了問題.若∠ACB為鈍角，你又想如何構造直角三角形呢？

生5：如圖3所示，過點A作BC的垂線交 BC 的延長線于點 D. 令 _AD= m，CD=n ，則 BD=a+n. 在Rt ΔABD 中，c²=m²+（a+n）²=m²+n²+a²+2na ；在RtΔACD 中， b²=m²+n² cos（π-C）= ，即 n=-bcosC. 所以， c²=a²+ （204b2-2abcosC.

圖3

師：該公式是否可以用于直角三角形呢？生6：可以，若 ∠C=90^° ，則 cosC= 0，所以 c²=a²+b²-2abcosC=a²+b² 也就是勾股定理.

師：非常好，由此得到了我們本節課所要研究的余弦定理.公元前3世紀，歐幾里得在《幾何原本》中提出命題12（鈍角三角形）和命題13（銳角三角形），用幾何法表達了類似余弦定理的關系： c²=a²+b²?2abcosγ. 在此基礎上，后人繼續研究，得到了我們今天所學的余弦定理.后續數學家又給出了其他證明方法，如笛卡爾利用解析幾何的方法證明余弦定理，德國數學家約翰內斯·開普勒提出用三角函數表示余弦定理的公式，到18世紀，數學家開始使用向量和矩陣來表示和計算三角形中的邊角關系，

問題3結合以上探究過程，你認為勾股定理和余弦定理具有怎樣的關系？

生7：從特殊與一般的關系來看，余弦定理可視為勾股定理的推廣.

師：根據剛才所學的公式，同學們嘗試推導出其他相關公式.

生8： a²=b²+c² -2bccosA， b²=a²+c²- 2accosB.

師：很好！以上三個公式即為余弦定理的符號表示，誰能用文字語言闡述一下？

（教師先讓學生闡述余弦定理，隨后用PPT展示余弦定理的內容及其表達.）

師：已知三角形三邊，能否求出它的內角呢？

生9：只要將余弦定理進行簡單變形即可，如 a²=b²+c²-2bccosA?cosA= 同理， cosC=

問題4結合余弦定理公式，你認為余弦定理可以解決哪幾類三角形問題？

學生結合余弦定理及其公式變形，歸納出余弦定理主要解決兩類三角形問題：其一，已知三角形兩邊及其夾角，求解三角形；其二，已知三角形三邊，求解三角形.

設計意圖教師引導學生從特殊情形入手，以勾股定理為線索，親身體驗余弦定理的生成過程，從而深化對知識的理解．在教學過程中，教師融入數學史內容，讓學生感悟自己能夠像數學家般思考，以此增強學習信心，激發學習興趣．同時，通過數學史的滲透，幫助學生認識到數學知識的產生與發展是一個長期過程，進而樹立正確的學習觀，提升創新意識，在探究環節，教師秉持以學生為中心的理念，創造機會引導學生參與知識形成過程，并指導學生合理推導變形公式，這有助于培養學生邏輯推理和數學運算等核心素養.

問題5在前面學習正弦定理的過程中，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理.那么，你能否運用向量法來證明余弦定理呢？

生10：在 ΔABC 中，記A ，則，所以，所以，（20 ，即 a²=b²+c²-2bccosA

師：很好，剛剛我們以勾股定理為線索，分 ∠C 為鈍角和銳角兩種情況對余弦定理進行了證明.該證明思路雖然簡單，但計算過程比較煩瑣，現在，我們應用向量法簡便地證明了余弦定理.

問題6向量可以用坐標來表示，而根據兩點坐標能求線段的長，由此你想到了什么？

生11：建立直角坐標系，利用解析法解決問題.

師：非常好！請大家動手試一試，看看能得到什么結論？

（教師預留時間，讓學生先獨立思考，再進行組內交流.）

生12：如圖4所示，以點 C 為坐標原點，以 CB 為軸建立直角坐標系.在△ABC中， AC=b，BC=a ，則 B（a，0），（bcosC-a）²+（bsinC）²=a²+b²-2abcosC.

圖4

設計意圖引導學生運用代數法研究幾何問題，滲透數形結合思想方法，有助于培養學生數學運算與邏輯推理等核心素養．同時，通過引導學生采用多種方法證明余弦定理，能夠有效培養其發散思維能力，拓展思維的廣度與深度，進一步提升數學學科核心素養.

3.拓展知識，提升能力

問題7你們聽過“三斜求積術\"嗎？

師：我國著名數學家秦九韶在《數書九章》中提出“三斜求積術”他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，“求積\"指的是求三角形的面積，“術\"即方法．三斜求積術的公式為，其中 ^a，b，c 分別為 ΔABC 的小斜、中斜、大斜邊長.

師：結合以上信息以及已有的知識和經驗，你能證明三角形面積公式

生13：余弦定理簡單變形后得即，則 .又 1-cos²A=sin²A ，所以S△ABC 業

設計意圖從式子的結構特點出發，引導學生運用余弦定理解決問題，既能深化學生對余弦定理的理解，又有助于提升學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養．同時，在教學過程中，教師注重滲透數學文化，讓學生充分感受數學文化的魅力，進而培養學生對數學的學習興趣

問題8你能利用正弦定理推導余弦定理嗎？

生14：在 ΔABC 中，由正弦定理得a 即 bsinA=asinB ① csinA=asin（A+B）= asinAcosB+acosAsinB. 又 sinA≠0 ，所以c=acosB+bcosA，即bcosA=c-acosB ② 將 ①② 兩邊平方后相加，得 b²=a²+c²- 2accosB.