激活數學思維 發展核心素養

研究的緣起

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調，數學教學要將學生的發展作為根本，切實落實立德樹人的教學任務，通過課堂教學培養學生的創新意識與學科精神，發展核心素養.在這種背景下，學生的“學\"顯得愈發重要，傳統以升學考試為目的的教學時代已經過去，取而代之的是以學生長期可持續發展、關鍵能力與數學品質的提升為核心目標的教學時代.

在一次教研活動的聽課過程中，某位教師在課堂練習訓練環節，與學生共同探討了一道練習題．該教學過程引發了不少聽課者的深思，具體問題如下：

原題：分析 （x-y+2）⁵ 的展開式，其中xy的系數是（ ）

A.40 B.80 C.-80 D.-40

本題主要考查學生對二項式定理以及二項展開式的通項等內容的理解程度．一般情況下，學生看到本題會從以下兩種常見的解題思路著手分析.

第一種： ，其展開式內與 x³ 相關的項是 C₅²x³[-（y- 2）]2，同時 （y-2） 2的展開式內含有y的項是 C₂¹y（-2） ，所以 x³y 的系數是 C₅²× C₂¹×（-2）=-40. 由此可確定本題的選項是D.

第二種：關于 （x-y+2） 5的五個因式，其中三個因式取 .x ，其他兩個因式分別取-y與2，那么 x³y 的系數就是C₅³×C₂¹×（-1）×2=-40. 因此，本題選D.

然而，觀察課堂中師生的溝通情況發現，有不少學生對三數和的展開毫無頭緒.獲得正確結論的學生大部分都是應用的第一種解題思路，幾乎沒有學生自主想到用第二種思路來解決問題.

這一現象令人深思．按照常理來說，學生只要親歷過二項式定理的推導過程，就會自然而然地聯想到用第二種思路來分析問題.基于整體視域觀察本節課的教學，師生互動銜接自然，關于定理的推導與抽象都水到渠成，課堂氛圍也很好．但實踐卻表明，課堂呈現出的一派欣欣向榮的景象，具有一定的“虛假性”．顯然，學生并沒有從真正意義上掌握二項式定理的形成過程以及其本質

這一現狀引發了筆者的思考：在以核心素養為導向的數學課堂中，除了傳授知識之外，更要注重學力的提升．知識點的記憶可以依靠機械式的背誦，但在實際應用時，必然要建立在深度理解的基礎之上.課堂上，只有讓學生做到“知其所以然”，才能從真正意義上激活學生的思維，揭示知識本質，讓課堂更加生動

基于以上分析與思考，本研究以“二項式定理\"的教學為例，特別提煉出課堂遵循“生本\"理念，激發學生主動探索與思考，以揭示基于核心素養發展的課堂所遵循的基本教學規則.

教學實踐

1.聯系生活實際，促進數學表達

問題1已知兩個不透明的紙箱子內均有一些形狀、大小、質地都一樣的黑白小球，如果分別從兩個箱子內各取出一個小球，會出現哪些組合？a 表示白色的小球，b表示黑色的小球，用 _a，b 來描述可能出現的情況.

此問難度不大，學生結合自身已有的認知，很快就給出 ^aa，ab，bb 三種組合.教師則要求學生思考怎樣能明確各種情況的數量.在此問的驅動下，學生自發列式并計算出 （a+b）²= a²+2ab+b² ，由此對應到三種情況分別為： aa^? 有1種，bb有1種， ab 有2種.在此基礎上，教師又將問題進行拓展，將原本的兩個箱子增加為三個箱子，并提出問題：同樣從各個箱子內各取一個小球，會出現什么情況？由于有上一輪探索過程作為基礎，學生很快就列式并計算出 （a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³， 由此明確aaa有1種， a²b 與 ab 2各有3種，bbb有1種.

師：若繼續增加箱子的數量，例如增加為 4，5，6，…，n！ 呢？

隨著問題的拓展，學生深刻體會到各種情況的數量與展開式的系數存在直接關系．由此，教師鼓勵學生自主思考展開式系數的產生原理

設計意圖利用生活化的情境引發學生思考，不僅能為學生探索二項式定理奠定基礎，還能促使學生學會用數學眼光觀察現實世界、用數學思維思考現實世界、用數學語言表達現實世界，這是發展核心素養的重要舉措之一．在此過程中，學生將觀察到的現象用數學式子進行分析，這屬于將生活內容抽象為數學知識的過程，對發展學生的數學抽象素養有直接作用．若想進一步發展學生的思維，使課堂教學達成預期目標，還需開展更深入的探索與研究.

2.加強師生互動，深入探究定理

問題2在上一個教學環節中，在生活情境的驅動下，大家自主列出了式子 （a+b）^′ 接下來，我們一起來研究 （a+b） 的展開式是怎樣的.

探索此問之前，教師用“微視頻”向學生講述二項式定理的發生發展歷程，具體內容大致為：二項式定理最早應用于開高次方運算，而古代數學著作《九章算術》記載了多位正整數開平方與開立方的基本程序.

在學生對二項式定理的發展史有了初步了解之后，教師再帶領學生一起探索 （a+b）^′ 的展開式.在上一個教學環節，學生已經分別解出了 （a+ b）²=a²+2ab+b² 與 （a+b）³=a³+3a²b+ 3ab²+b³ ，初步猜想 （a+b）ⁿ 的展開式可能有 \"_n+1， 個項，每項均為 Φ_n 次，其中第一項與最后一項的系數均為1，第二項與倒數第二項的系數均為 n ，系數具有對稱相等的特點.

師：有點意思，你們是從哪些方面分析展開式規律的？

生1：分別從展開式的項、系數與項數三個方面進行分析的.

師：展開式中的各個項又是怎樣獲得的呢？

生2：關于 （a+b）^′ 的展開式，是從各個因式內任意取一項進行相乘而獲得的.

師：想法不錯，接下來請大家從多項式乘法的視角出發，重新分析二項式的項具備怎樣的特征.

此問成功激活了學生的思維，學生回過頭來重新審視 （a+b）² 的展開過程，驚訝地發現，在兩個因式 （a+b） 內，一個取 a ，一個取 b ，便可獲取 ab 項，而且幾種取法決定存在幾個 ab

問題3關于 （a+b） 2的展開式， ab 存在幾種取法的探索，還涉及什么數學內容？可從什么角度用怎樣的規律來探索？

生3：還涉及數學中的計數問題，即用組合與計數原理來分析.基本遵循以下步驟： ① 從兩個因式內確定一個取 Ω_a ，取法有 C₂¹ 種； ② 在另一個因式內取 .b ，取法有C種.由此確定 ab 的系數是 C₁¹?C₂¹=2.

師生積極交流，將這一方法遷移到 的展開式的分析中，在獲取結論的基礎上，再要求學生自主應用這種方法分析 （a+b）² 的展開式.學生將用組合數探索 （a+b）²，（a+b）³，（ a+ ^b） 4的展開式的過程羅列在一起：（ ?a+ b）²=C₂⁰a²+C₂¹ab+C₂²b² ， （a+b）³=C₃⁰a³+ C₃¹a²b+C₃²ab²+C₃³b³，（a+b）⁴=C₄⁰a⁴+C₄¹a³b+ C₄²a²b²+C₄³ab³+C₄⁴b⁴ ，由此猜想 （a+b）ⁿ 的展開式為： （a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n-1b+ C_n²a^n-2b²+…+C_nⁿbⁿ.

師：數學學科講究的是嚴謹、周密，現在大家對 （a+b）ⁿ 的展開式的認識，僅僅處于猜想階段，這一猜想是否科學呢？還需要怎么辦？

生（眾）：證明！

師：不錯，接下來請大家自主求證該猜想是否科學，可以先獨立思考，再以小組合作學習的方式進行研究

生4： （a+b） 的本質就是 個 （a+b） 相乘，因此展開式中的每一項都是從每個 （a+b） 內取出 a 或 σ_b 出來相乘，那么展開式的每一項的基本形式就是…a^n-k?b^k′′ ，此類項即為從‘ 個（ ?? b_α^′ 內取出 a ，再從 k 個 （a+b） 內取出 b .b一旦明確，那么 a 也就隨之明確．由此可見，“ a^n-k?b^k? 出現的數量即由 n 個 （a+b） 內取出 k 個 b 的組合數 C_n^k ，因此展開式內存在 C_n^k 個 ?_a^n-k?b^k′ .通過合并同類項，發現 C_n^k 為 ^?a^n?k?b^k′′ 的系數，因此得到以下結論： （a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿ+ C_n¹a^n-1b+C_n²a^n-2b²+…+C_nⁿbⁿ.

教師對學生的求證過程給予充分肯定，并強調數學探究離不開猜想與求證的過程．此過程所獲得的結論即本節課重點探索的二項式定理，并再次強調展開式的項數為 ⁿ⁺¹ ，二項式系數為 C_n^k（k=0，1，2，…，n）

設計意圖數學研究的目的在于解決問題．從建構主義理論出發，根據學生現有的認知水平，精心設計處于學生思維最近發展區的問題，可激發學生的潛能，提升學生的探索成效.在此環節，在教師的引導下，學生緊扣 （a+b）^′ 展開式的項系數與其形式進行分析，這不僅有效調動了學生學習的積極性，激發了學生的潛能，還讓學生的思維在“憤”\"排”狀態中得以有效提升．此外，教師在此環節通過滲透數學文化與數學思想方法，使學生切身體會到了二項式定理的形成與發展過程，感知到了從特殊到一般的思想對探索數學問題的重要性.本環節借助組合數描述系數的方法，進一步拓寬了學生的視野，幫助學生順利突破了教學重點與難點，使得課堂在循序漸進的思考與探索中動態生成．學生通過親歷“在情境中抽象數學知識 $$ 初步形成猜想 $$ 求證”的過程，獲得了“三會”能力，發展了“四基”與“四能”，提升了邏輯推理、抽象概括、數據分析等素養.

3.實際應用定理，促進數學建模

師：通過以上探索，大家已經明確了何為二項式定理，那么，如何應用該定理來處理生活實際問題呢？

問題4請大家想一想今天是星期幾？再過7天，是星期幾？過8天是星期幾呢？過8或6天，又分別是星期幾呢？

此為一個典型的生活問題，由于問題涉及“星期幾”，學生很容易聯想到用數除以7，通過觀察余數來確定具體是星期幾．逐一分析與探索這幾個問題后，大部分學生能初步感知到8天與 （7+1） 之間有所關聯，6被7除的余數與（7-1）展開式內沒有7的項的值有所聯系．基于以上分析，學生即可順利理解二項式定理的本質

設計意圖學生的數學能力與素養水平直接體現在解題過程中．基于學生現有的認知經驗創設情境問題，不僅能讓學生對 （a+b）ⁿ 的展開式的項系數以及形式形成明確的認識，還能進一步激發學生的探索欲望，使學生緊扣知識要點激活思維，在情境中主動發現并解決問題，提升“四能”.隨著問題的探索與解決，學生的認知結構將逐步趨于完善.

思考與感悟

1.注重學生的主體地位

新課標背景下的數學教學，需明確學生是課堂真正的主體，教師則是課堂的組織者與設計者．師生各司其職，二者作用均不容小．基于核心素養發展的數學課堂，不僅要追求高觀點的教學設計，還需關注學生客觀存在的個體差異，降低教學起點，確保每個認知層次的學生都能順利融人課堂，為滲透數學思想方法、提升學習能力奠定基礎.

課堂伊始，教師結合學生已有的認知經驗，創設了一個簡單的情境問題.學生通過思考、分析從箱子中取出小球的顏色，思維自然被引入到二項式定理的探索中．整個過程流暢自然，所有學生都積極主動地投入到探索活動中.在教學過程中，教師依據學生的思維最近發展區提出相應問題，促使每一名學生都能“跳一跳，摘到桃”，讓課堂在張弛有度的氛圍中動態生成.

2.整體視域看待核心素養

隨著新課改的推進，每一名教育工作者都熟知“核心素養”一詞，但大家對核心素養的理解程度究竟如何呢？從某種意義上來說，數學學科核心素養是一種關鍵能力與數學品質，是促進學生長期可持續發展的能力，因此它與數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析、數學運算等有著密不可分的聯系．作為一線數學教師，要學會從整體視角來理解核心素養，切忌將素養的各個要素割裂開來理解.例如，在本節課中，學生思考從三個箱子內取球的問題時，想到用（ ?a+ b）來描述該過程，這便是數學抽象與建模的過程；二項式定理的通項公式也在特殊到一般思想的指引下，通過數學排列組合的分析逐漸推導得出．在整個過程中，各個素養要素相互融合、相互滲透，并非完全獨立存在.因此，教師在落實核心素養時，應帶領學生從整體視域來分析問題.

3.糾正“學而不思\"現象

教育本身就是一個靈魂推動另一個靈魂的過程．只有讓學生的思維從真正意義上“動\"起來，才能促使學生主動建構知識架構，提升理解能力．然而，有些學生存在學習惰性，總是習慣性地被教師牽著走，被同學推著走，存在“學而不思\"的現象．想要改變這一現狀，最好的辦法就是激發他們的學習內驅力，讓他們主動想學、會學、樂學.達成這一目標的基本方式，可以是增加學生的課堂參與度，也可以通過創設豐富的問題情境調動學生的探索欲.本節課，不論是從箱子內取球，還是關于星期幾的研究，都成功激活了學生的思維，調動了學生課堂參與的積極性，有效避免了“學而不思\"現象的發生，讓課堂變得更加生動.

總之，新課程背景下的數學教學追求的是富有生命力的教學，通過培養學生的學習習慣以及增強其思維意識，能夠提升學生的邏輯推理、數學運算、抽象概括等素養，這些都是數學素養的核心要素.