基于核心素養發展的問題解決策略研究

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調，高中數學課堂可通過豐富的情境啟發學生思維，引導學生深入思考，促使學生發現數學本質，從而為發展核心素養奠定基礎然而，受傳統教學模式的影響，當下仍存在一些以“教師講，學生聽\"為主的教學方式.這種教學方式不僅不利于學生掌握新知識，還嚴重阻礙了學生數學學科核心素養的形成與發展．新課標背景下的數學課堂應該是“以生為本\"的課堂，是師生共同解決問題的課堂.教師應通過創設問題情境啟發學生思維，讓學生主動發現、提出、分析與解決問題，進而揭示知識本質，提升學習能力.

教學過程設計

1.創設情境，啟發思維能力

俗話說：“良好的開端是成功的一半.\"導入環節對于一節課至關重要，教師在導入環節設置的問題若過難，會削弱學生的學習積極性；若過于簡單，會導致學生對本節課的學習不夠重視．研究表明，在導入環節設置略低于學生思維最近發展區的問題，既能促使各認知層次的學生都積極參與探究，又能讓學生初步建立學習自信，為數學學習奠定良好基礎.針對本節課的教學，教師可從以下兩個方面設計導入環節：

角和任意角α的和（差）的三角函數和任意角 α 的三角函數恒等關系，因此可在課堂導入環節設置以下問題：若用任意角β替換特殊角，則任意角 α 與β的和（差）的三角函數與 α，β 的三角函數之間存在怎樣的關聯[1]？

設計意圖第一種導入方法運用建構主義理論，依據學生已有的認知經驗和基礎設計問題，推動學生思維層層深入；第二種導入方法緊扣本節課教學重點，通過呈現具有思維深度的問題，激發學生的探索欲望，為整堂課的教學做好鋪墊.

2.問題解決，形成推理意識

第一，從建構主義理論出發，考慮學生現有的認知經驗和基礎.學生已經掌握了三角恒等變換的誘導公式，即 cos（π+α）=-cosα 與 sina.教師將這些公式板書，喚醒學生的認知經驗，讓這一經驗成為構建新知的“墊腳石”

第二，從教學重點的角度來看，可在此環節引入恰當的探究問題．由于上述兩個誘導公式描述的是特殊

問題是構成數學課堂的主線.在課堂中，教師可借助問題激發學生思考，引導學生積極主動地參與“兩角差的余弦公式\"的探索，從而對該公式的來龍去脈形成清晰的認識.具體可通過以下幾個步驟，引導學生在解決問題的過程中，逐步形成推理意識

第一步，結合圖1引導學生梳理思路：若要解決一個問題，首先需明確已知條件．觀察圖1可知，坐標系的橫軸與縱軸的垂直相交點為單位圓的圓心 o ，令 α≠2kπ+β，k∈Z ，單位圓與坐標橫軸的正半軸的交點為A（1，0） ，以坐標橫軸的正半軸作為起始邊，分別作角 α，β，α-β ，它們的終邊與單位圓的交點分別為 P₁，A₁，P. 請分別寫出點 P₁，A₁ ，P的坐標.

圖1

第二步，引導學生思考以下問題：① 解決問題時，會應用到圓的什么特征？ ② 分析線段 _AP 與 之間的關系，并說明理由.

第三步，以小組合作的模式開展探究活動.各小組完成探究后，進行班級匯報.教師在學生匯報過程中，提煉核心信息并板書記錄；同時，選取一個小組完整呈現問題解決過程，由班級其他成員進行補充完善

第四步，師生共同總結問題解決過程，具體如下：經過探索發現，在解決問題時，可以應用圓的旋轉對稱性，把扇形AOP圍繞圓心進行旋轉，當點A 轉至點 A 處時，點P處于 P₁ 處.由此可確定 與 處于重合狀態，因此 AP=A₁P₁ ．根據兩點之間的距離公式，可得 [cos（α-β）-1]²+sin²（α-β）= （sinα-sinβ）²+（cosα-cosβ）²（^?）.

第五步，教師板書 cos²α+sin²α=1 ，cos²β+sin²β=1，cos²（α-β）+sin²（α-β）= 1，并鼓勵學生自主化簡 （^*） 式.學生化簡完成后，相互比較結論，教師邀請一名學生在黑板上演示化簡過程.

第六步，教師引導學生總結兩角差的余弦公式的推導過程．通過回顧公式推導條件，把 α=2kπ+β，k∈Z 代入簡化后的公式，觀察公式是否成立.經過探索，得出結論：無論角度如何變化，圖1中的點坐標都不會因角度改變而變化，且A 1P=A，P₁ ，對于任意角 α 與 β ，均存在 cosacosβ+sinasinβ.

設計意圖層次分明的探究過程，成功揭示了兩角差的余弦公式的推導過程．這一教學設計契合學生的認知發展規律，學生在教師的引導下，通過主動思考、合作交流，對公式的形成原理有了清晰認知，為后續公式的靈活應用奠定了堅實基礎.

3.問題驅動，發展數學素養

（1）滲透思想方法

學力的發展離不開思想方法的支撐，數學思想更是提升學力的核心保障.在公式教學過程中，尤其需要注重數學思想方法的滲透，這是培養學生邏輯推理、直觀想象與抽象概括素養的關鍵路徑．以練習訓練作為數學思想方法滲透的主要載體，能引導學生在解決實際問題的過程中，深刻體會數學思想方法的重要價值，從而深化對知識的理解與應用.在學生對兩角差的余弦公式形成基本認知的基礎上，為進一步鞏固其對該公式的理解并持續發展學力，可通過設計多樣化的問題達成這一目的

問題1證明下列三個式子成立： -cosα;③cos（π-α）=-cosα.

學生自主用 C_α-β 對上述三個式子進行推導求證（過程略）.

設計意圖此問旨在引導學生學會用從一般到特殊的思想方法解決問題，以進一步完善認知結構，形成良好的邏輯推理與辯證分析能力.

（2）公式的應用

學生對公式的掌握程度體現在公式的應用中.若學生能夠靈活運用公式解決問題，則體現出其扎實的知識與技能基礎.為了訓練學生思維的靈敏度與深度，教師可以通過問題引導，幫助學生突破思維的局限性例如，教師可要求學生自主解決以下問題：

問題2求 sin105^°sin60^°+cos105^° 的值.

在學生思考與分析的過程中，教師可適時點撥并提出問題：“可否由右到左逆向應用公式 ?C_α-β？ \"此問為學生的思維開辟了一條新路徑，讓學生發現公式 C_α-β 的應用不僅可以從左到右，還可以從右到左，從而幫助學生形成良好的數學理解能力，提升其思維的靈活度與深度．為了進一步發展學生逆向應用公式的技能，教師又可布置一道計算題：求 sin15^°sin105^°+ cos15^°cos105^° 的值.

問題3計算 cos（-15^°）

針對本題，學生聯系已有的認知經驗，結合本節課所學的新知，呈現出兩種解法（具體解法略）.

設計意圖建構新知的主要目的之一在于解決新問題．在這一教學環節中，教師引導學生運用兩角差的余弦公式解決新問題，不僅進一步夯實了學生的知識與技能基礎，還有效拓展了學生思維的廣度與深度，使學生學會從“從左到右\"和“從右到左”兩個維度分析與思考問題，充分體現了數學知識應用的靈活性.

（3）創造條件解題

數學問題豐富繁雜，部分問題無法直接運用公式求解．因此，教師在日常教學中需注重培養學生的創造意識，引導學生學會主動創造條件，進而分析并解決問題.

問題4計算 cos20^°cos65^°+cos70^°. cos25^°.

針對此問，在教師的引導點撥下，學生通過創造條件對公式進行變形，并嘗試求解（解題過程略）．學生在解題過程中發現，在處理三角函數求值類問題時，常用“變角\"法可揭示問題的本質，從而為解題指明方向.需要注意的是，在公式應用過程中，務必重點關注角的范圍、特殊角以及三角函數值的正負情況.

設計意圖當遇到不能直接運用公式解決的問題時，創造條件變形公式是一種有效的解題思路．本環節通過問題4啟發學生思維，讓學生切實感受“變角\"法的實際應用價值，以此培養和發展學生的數學創新意識.

4.變式應用，揭示數學本質

注重問題推導過程，揭示知識內在規律與探索方法，能夠將問題背后蘊含的數學原理清晰地展現給學生，為揭示數學本質創造條件．變式教學是實現上述目標的重要手段，例如在教學中，通過講解例題引導學生體會“已知三角函數值求角\"類問題的探究方法，明確此類問題需要緊密聯系三角函數值和角的范圍.

問題5已知sin（α+B）=5√3 同時α，β∈ ，那么β的值是多少？

關于此題，學生通過自主探索，得出答案為 ，為了引導學生透1過現象看本質，培養理性思維，教師可在本題的基礎上提出變式：已知 ，那么 cos（β-γ） 的值是多少？

變式帶給了學生新鮮感，學生迅速進入思考狀態，并給出如下解題過程：由題意可知β= ， 因此

設計意圖此題的分析鞏固了學生對兩角差的余弦公式的理解，變式題的提出進一步拓寬了學生的視野，使學生能夠學會從具體問題中提煉數學本質，掌握有效的解題策略，從而培養和發展學生的邏輯推理、抽象概括與數學運算等核心素養.

思考與感悟

1.“問題解決\"可助推推理能力發展

我國教育的發展在很大程度上受傳統教學理念的影響.在數學命題或公式教學中，許多教師存在“重應用結論，輕探索過程\"的現象，這導致學生對命題或公式的理解僅停留在表面，難以深人領會其本質，無法“知其所以然”．問題解決教學方法能夠有效彌補這一不足：學生在問題解決過程中親歷命題或公式的形成過程，從而對結論的來龍去脈形成清晰認知.因此，問題解決策略可讓學生經歷知識的“再創造”與“再發現”過程，進而培養良好的數學邏輯推理能力．以本節課“兩角差的余弦公式”的探索教學為例，教師運用問題解決策略，引導學生循序漸進地經歷五個步驟，促使學生主動抽象出公式，實現了數學推理能力的提升.

2.“以生為本\"可促使學生主動參與

新課標背景下的課堂，更關注學生的“學”，因此需將\"以生為本\"的教育理念落到實處[2].實踐表明，基于“以生為本\"理念開展課堂教學，能夠有效激發學生的學習主動性，促使學生積極主動地投入知識探索，為培養學生的學習能力奠定基礎．本節課運用“問題解決\"策略進行教學，始終將學生置于課堂的核心位置，不僅凸顯了學生的課堂主體地位，還顯著提升了學生參與探究的積極性，切實提高了教學效率．課堂因學生的深度參與而充滿了活力與智慧

3.“變式拓展\"可實現數學思維 進階

問題解決策略的研究不能僅靠就題論題實現，變式應用能夠引導學生由淺入深地發展思維，逐步完善知識結構.課堂練習訓練雖對發展學生學力有一定幫助，但由于有教師的引導與點撥，部分投機取巧的學生并未真正主動思考，思維存在依賴性.長此以往，這部分學生會因缺乏良好的思考習慣，導致學習能力下降，而變式拓展能有效避免此類現象的發生，在師生共同討論完原題后，設計變式促使學生主動思考與分析，可進一步提升學生思維的靈活性，培養其變通的解題能力，這是促進學生思維進階的重要途徑.本節課中，教師在與學生共同探討問題5后，通過設計變式，有效增強了學生的數學應用能力，為思維進階奠定了基礎.

總之，當前基于核心素養發展的問題解決策略研究仍處于探索階段.在此背景下，教師需以充分的耐心深入了解學情，依據學生的實際認知水平和學習需求，科學設計與組織教學活動，從而助力每一位學生在課堂學習中逐步培養長期可持續發展的能力.

參考文獻：

[1］張紫茵．“兩角差的余弦公式\"教學設計[J].中國數學教育，2023（8）：43-48.

[2］黃國穩.2024年全國新高考適應性測試三角函數試題分析及備考建議[J].廣西教育，2024（8）： ^78-81+86.