2025年高考數學新課標Ⅰ卷第19題解法探究

函數與導數是高中數學的重要內容.2025年高考數學新課標I卷第19題涉及三角函數、導數與單調性、極值最值等知識內容，綜合考查學生的數學運算、邏輯推理等核心素養．本文通過從不同層次與角度剖析此題的解法，探究如何立足學生學情開展教學，促進學生思維發展，提升學生的數學素養.

才能準確求出極值.第(2)問屬于與三角函數相關的不等式問題，針對這類問題，通常可從函數單調性的角度展開分析.第(3)問是存在性與任意性相結合的問題，一般的處理方式是將其轉化為函數最值問題：具體到本題，需要充分運用三角函數的性質深入剖析.

解法2 f^′(x)=-5sinx+5sin5x= 5(sin5x-sinx)=10cos3xsin2x ，所以，當 時， f^′(x)>0，f(x) 單調遞增；當 時 f^′(x)<0，f(x) 單調遞減.所以，在

試題呈現與分析

(2025年高考數學新課標I卷第19題)設函數f(x)=5cosx-cos5x.

(1)求 f(x) 在 上的最大值;(2)給定 θ∈(0，π) ，設 a 為常數，證明：存在 y∈[a-θ，a+θ] ，使得cosy≤cosθ (3)若存在 φ 使得對任意 x ，都有5cosx-cos( (5x+4)≤b ，求b的最小值.

本題第(1)問是常見的函數最值問題，基本解法是先求導得出極值，再與端點值比較大小.此問的難點在于求導后需進行適當的三角變換，

解法探究

1.第(1)問解法探究

解法1 f^′(x)=-5sinx+5sin5x= 5[sin(4x+x)-sinx]=5(sin4xcosx+ cos 4xsinx-sinx)=5[2sin2xcos2xcosx+ (1-2sin²2x)sinx-sinx]=5(4sin cos²xcos2x-2sinxsin²2x)=10sinx(2cos²x? 2sinx).所以，當 時 ，f^′(x)> 0，f(x) 單調遞增；當 時，f^′(x)<0，f(x) 單調遞減．所以，在

解法3令 f^′(x)=-5sinx+5sin5x= 0，可得 5x=x+2kπ 或 5x=(2k+1)π-x ，k∈Z. 又 可得 $x = 0 時 _ { x = \\frac { \\pi } { 6 } }$ 因為 ，所以在

評注對于本問，學生容易想到通過求導計算極值，進而計算最值；但求導之后會發現無法直接判斷導數的正負，此時應當想到利用三角恒等變換變形式子.在進行三角恒等變換時，可供選擇的公式較多．注意到 上， sinx 與cosx均大于等于0，因此可以考慮使導函數中多出現sinx與cosx，提出公因式后判斷各個因式的正負，這是解法1的思路．除此之外，也可以考慮將導函數化為單一三角函數的多項式，再通過換元進行討論．對于部分識記“和差化積”公式的學生，可以利用“和差化積”公式化簡導函數，這是解法2的思路.因為閉區間上的連續可導函數在極值點與端點處取得最值，所以也可以求出所有極值點，比較極值點與端點處的函數值大小后取得最大值，這是解法3的思路.

評注解法1立足余弦函數的性質，通過分類討論，從y的范圍探討cosy與cosθ的關系．解法2的思路與解法1相反，先利用cosy與 cosθ 的關系推導y的范圍，再結合題設條件得出矛盾，相較于解法1，解法2更簡潔，也更具技巧性.

2.第(2)問解法探究

遞增，在 上單調遞減； y= sinx在 上單調遞增，在 上單調遞減．所以，在 [0，2π) 上， 4 所以，對 φ∈[0，2π)，h(x)_max= ，故 b?_P(φ)_min= ，即 b 的最小值為 ：

θ+2kπ ，即 a>2kπ 且 a<2kπ ，矛盾，故假設不成立．所以，原命題成立.

解法2因為5cosx-cos( 5x+φ+ 2π)=5cosx-cos(5x+φ) ，所以只需考慮 φ∈[0，2π) 的情況.

當 φ=0 時，易知 f(x) 以 2π 為周期，現求 f(x) 的最大值，只需在 [0，2π) 上考慮.

3.第(3)問解法探究解法1設 h(x)=5cosx-cos(5x+

（20 φ) ，記 p(φ)=h(x)_max ，因為對任意 x ，

都有 5cosx-cos(5x+φ)?b ，所以 b?

（20 h(x)_max=p(φ) ，所以存在 φ ，使得 b?

（204號 p(φ) ，則 b?_P(φ)_min. （20令 h^′(x)=-5sinx+5sin(5x+φ)=0， 2

可得 sinx=sin(5x+φ) ，所以 5x+4=x+

2kπ 或 Sx+φ=(2k+1)π-x，k∈Z 當

-+時，h（x）=4cosx；當x=

-+（2+1）\"時，h(x=6co注意到 h(x)=5cosx-cos(5x+φ)↓ 人

2π 為周期，且在 上cosx>0，

在 上cosx<0，為求 h(x)_max ，

只需考慮

時 h(x₀) 的大小.當 時，因為-

，所以此時只需考慮

；當x=

(2h+1)\"時，因為-

0，所以此時只需考慮

（204號因為 y=cosx 在 上單調

解法1 ① 當 a?0 且 a+θ?π ，即a∈[0，π-θ] 時， -θ?a-θ?π-2θ. 因為函數 g(x)=cosx 在 [0，π] 上單調遞減，且 θ?a+θ?π ，所以存在 γ=a+θ∈ [a-θ，a+θ] ，使得cosy≤coso成立.② 當 a-θ?π 且 a+θ>π ，即 a∈(π- θ，π+θ] 時，存在 y=π∈[a-θ，a+θ] ，使得 cosy=-1a∈[0，π] ，命題成立.③ 若 σ_{a∈[-π，0)} ，則 |a|∈(0，π] 因為函數 {g(x)=cosx} 是偶函數，所以存在 θ] ，有 y₀=-y ，使得 cosy=cosy₀?cosθ 成立．所以，對于 a∈[-π，π] ，命題成立.④ 對任意 σ_a∈R ，設 (a=a₀+2kπ，k∈ Z，a₀∈[-π，π] ，因為 g(x)=cosxLLπ 為周期，所以 {cosy|a-θ?y?a+θ}= {cosz∣a₀-θ?z?a₀+θ} ．所以，存在（20 y₀∈[a₀-θ，a₀+θ] ，有 y=y₀+2kπ ，使得（20 cosy=cosy₀?cosθ. 成立.

由第(1)問的解法3可知，在[0，2π) 上 f(x) 的極值點分別為 x=0 P x= 因為 ，所以 f(x)_max=p(0)= ．所以 ：

當 φ≠0 時，由解法1可知， h(x) 的極值點為x=-+ 或 (2k+1)π，k∈Z.因為h(x)的最大值不小于其極值，對于 φ∈(0，2π) ，取（204 k=1 ，可知 h(x) 必有1個極值點 ，此時 h(x₀)=6cosx₀>

綜上所述，存在 y∈[a-θ，a+θ] 使得cosy≤cos0.

解法2假設對任意 y∈[a-θ，a+ θ] ，都有cosy>cos0，那么 -θ+2kπ-θ+2kπ 且 a+θ<

6cos =3√3，所以h(x）max=p(Φ）> ：

由上可知 ，所以 b 的最小值為

解法3對于第(2)問的命題，因為 cos(2π-θ)=cosθ ，當 0<θ<π 時， π< 2π-θ<2π ，由于存在 y∈[a-θ，a+θ] ，使得 cosy?cosθ ，所以存在 y∈[a-θ，a+ θJ?[a-(2π-θ)，a+(2π-θ)] ，使得cosy ?cosθ=cos(2π-θ) ，即對 θ∈(π， 2π )命題成立.又當 θ=π 時，若對任意的 π+2kπ，k∈Z ，都有 a+π] ，則 a-π>π+2kπ 且 a+π<π+2(k+ 1)π ，即 a>2π+2kπ 且 a<2π+2kπ ，矛盾，故存在 y=π+2k₀π∈[a-π，a+π] k₀∈Z ，使得 cosy=cosπ=-1 ，綜上所述，第(2)問的命題對 θ∈(0，2π) 成立.

由解法2可知，當 φ=0 時， p(0)= 對 φ∈(0，2π) ，當 三時， ，由第(2)問的結論可知，存在 5x₀+φ∈ 有 cos(5x₀+φ)? 此時h（x）=cosxo- 所以 ．所以 6的最小值為 ：

評注解法1延續了第(1)問解法3中求極值點的思路，結合函數圖象可直觀看出極值大小．解法2是對解法1的優化，即不具體比較極值，而是結合第(1)問的結果估計極值，相較于解法1，計算量大幅減小．解法3利用了第(2)問的結論，不過第(2)問的結論限制在 θ∈(0，π) 上，在應用時需要說明該結論在 θ∈(0，2π) 上也成立．若在解決第(2)問時采用的是分類討論的解法1，這一說明是必要的；

若采用的是反證的解法2，由于在證明過程中未對0的范圍作要求，所以該結論對任意0成立是顯然的.

總結與反思

1.重視基礎，突出數學本質

2025年高考數學新課標I卷第19題與以往的導數壓軸題相比有較大創新，主要體現為：在具體形式上，突破了以往以指數函數、對數函數、冪函數為背景設置函數導數試題的模式；在考查內容上，加強了必修模塊與選修模塊的聯系，著重考查學生數學知識體系的構建程度，對學生在面對具體問題時綜合運用所學知識的能力提出了較高要求.

對于本題第(1)問的三種解法，部分學生可能會產生是否需要記憶“和差化積\"公式的疑問．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂)對這一部分內容的要求為：能推導出“和差化積\"公式，但不要求記憶[1.教師在教學中應當立足課程標準，以課程目標和核心素養為指引，避免超綱教學[2．相較于解法1，解法2的計算量確實更小，但如果教師在教學中過多強調公式、結論的記憶，不僅會增加學生的學習負擔，實際上也不利于學生數學素養的培養.就本題而言，第(1)問解法3的思路更能體現求函數最值的數學本質，計算也不復雜，且這一思路能夠應用于第(3)問的解答.在教學中，教師可以通過對比解法1與解法3，著重強調求函數最值的基本思路，引導學生“多想少算”，提高學生思維的靈活性，培養學生分析問題與解決問題的能力.

2.多解教學，提升數學素養

多解探究是培養學生數學素養的重要方式，在教學中，教師應當保留一定的學時用于引導學生分析、探究不同的解題思路[3]．2025年高考數學新課標I卷第19題的三個小問層層遞進，每一問在解法上也呈現出不同層次，且三個小問的多種解法之間存在思維上的遞進關系，尤其適用于多解教學.

第(1)問的解法1屬于常規的三角恒等變換，對大部分學生而言，這是自然能夠想到的思路；解法3則突出了求函數最值的本質，巧妙規避了判斷導函數正負的工作，大幅減少了計算量.通過對比這兩種解法，有助于提高學生綜合運用所學知識解決問題的能力，讓學生在解題時更加靈活多變.

第(2)問的兩種解法體現了兩種看待問題的角度.解法1運用分類討論思想，從自變量的范圍出發討論余弦值的大小；解法2則另辟蹊徑，從余弦值的大小出發反推自變量的大小，進而導出矛盾，極大地簡化了解題過程.在教學過程中，講解完解法1后，引導學生從相反角度思考問題，能夠有效培養學生的逆向思維，提升學生分析和解決問題的能力，

第(3)問的解法2是對解法1的優化.在教學中，當學生按照一般求最值的思路完成本題后，教師可通過提示學生結合自變量的范圍估計余弦的取值范圍，引導學生改進已有解法，以此加強對學生思維的訓練，培養學生“多想少算\"的解題意識

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部教育考試院.優化試卷結構設計，突出思維能力考查—2024年高考數學全國卷試題評析[J].中國考試，2024(7)：79-85.

[3]程建新，余文．回歸教材探原點，多思少算提素養—以2024年全國數學高考新課標I卷第18題為例[J].中學教研（數學），2024（8）：41-44.