對“建構一連通\"教育形態的研究

傳統意義上的數學教學，教師往往將大量課堂時間用于新知的識記，導致學生對新知的理解呈現碎片化狀態.隨著新課改的深入推進，指向“建構一連通\"的教學模式應運而生．這種教學模式不僅引導學生主動建構基礎知識與基本技能，還注重不同知識結構元素之間的關聯，這是發展學生學力的重要途徑.“數列”作為高中數學的基礎內容，與函數、集合等知識存在緊密的內在聯系．注重數列與這些知識的貫通，能夠幫助學生將原本碎片化的數列知識提升為系統的能力素養，使其具備從實際情境中主動發現、提出、分析和解決問題的能力，進而構建新的認知結構，推動數學學科核心素養真正落地.

“建構一連通”的意義

布魯納認為，課堂學習是將學生認知結構中原有的認知進行重新整理與歸納，以揭示事物間的聯系．該理念強調了學科學習的關聯性、整體性與系統性等特征．在這種理念的啟迪下，教師注重數學課堂的建構與連通，能讓學生在探究中發現數學本質，為結構化教學夯實基礎.學生在“建構一連通\"的背景下，逐步學會用發展的眼光觀察世界，從連通的維度體會知識間的內在關系，進而形成良好的思維習慣，為發展核心素養創造條件.

教學過程簡錄

1.連通數列與函數“數列\"本身屬于函數的范疇.在新知授課環節，教師可引導學生結合函數的研究過程，運用類比思想探究數列相關問題.相較于一般函數，數列具有特殊性：其圖象上的點呈離散分布，定義域為正整數集或它的有限子集.關于數列的表示與應用，除了學生熟悉的列表法、圖象法、解析法之外，還可借助遞推公式解決問題，從本質上講，一些具有遞推規律的數學模型能夠用數列來刻畫．為驗證這一觀點，教師設計以下問題，與學生共同探索.

問題1明確數列 {a_n} 為各項都是正數的等比數列，等差數列 {b_n} 的公差非0，同時確定 a₂=b₂，a₈=b₈ ，那么下列選項正確的是（ ）

A a₆gt;b₆ B. a_ss （204號 C. a₄4 （204號 D. a₅=b₅ （2

思路1根據數列 {a_n} 的各項都是正數， {b_n} 的公差非0，可得 ?a₂=b₂gt; 0，a₈=b₈gt;0 ，同時 b₂≠b₈（a₂≠a₈） ，因此 .根據 a+amp;，可得a≤b，當且僅當a=時，等號成立．然而， a₂≠a₈ ，因此 a₅5.

那么，選項A，C正確與否呢？可從基本量法著手分析．設 q（qgt;0） 為數列 {a_n} 的公比， d（d≠0） 為數列 {b_n} 的公差，則 （204號 因為 a₄-b₄=a₂q²-（b₂+2d）= （1-92）2（g2+2）lt;0，所以a ，所以a₆6.

綜上所述，本題的正確選項為B，C.

思路2根據函數和數列之間的聯系，在公差不為0的情況下，關于 n 的等差數列與等比數列的圖象分別在 n=2 與 n=8 的位置相交.通過對圖象的觀察，可以確定無論函數遞增或遞減，均有 a_nn（3?n?7，n∈N^*） ，因此可以確定本題的正確選項為B，C.

評析遇到這一類問題，大部分學生會首選“作差法”來比較大小．這種方法雖然原理易懂，但對計算能力要求較高，需要學生具備較強的代數式變形技能．在實際解題過程中，不少使用這種方法的學生因復雜計算而中途放棄.

從函數圖象與數列特性來分析，運用函數思想處理數列問題可從以下幾個方面入手： ① 將數列的最大項問題轉化為函數的最大值問題進行探究； ② 把數列通項的取值范圍問題轉化為函數的值域問題進行思考；③ 將單調數列或周期數列分別對應為單調函數或周期函數進行分析.簡而言之，通過將函數的概念、性質、圖象等與數列知識有機融合，將兩者緊密關聯、互相轉化，能夠實現知識的“建構一連通”，完善學生的認知結構，提升學生的解題能力，促進學生數學思維的發展.

問題2已知 a_n=n²+λn（n∈N^*） 為數列 {a_n} 的通項公式，如果數列 {a_n} 具備單調遞增的趨勢，那么實數 λ 的取值范圍是什么？

思路1根據數列 {a_n} 單調遞增的條件，可確定 a_nn+1 必然成立，也就是 n²+λnlt;（n+1）²+λ（n+1） .經整理，確定 λgt;-2n? -1必然成立．因為 ，所以 λgt;-3.

思路2根據 ，可知 為其對稱軸．根據數列 {a_n} 單調遞增，且 n?1 的條件，可確定- 是成立的.經解答，可得λ?-2.

評析第一種解題思路是從數列單調性的概念著手，獲得了正確結論；第二種解題思路是從二次函數的單調性著手，卻得到了錯誤結論．深入剖析第二種解法出錯的原因，發現是因為學生沒有注意到數列的特殊性．實際上，從函數單調性的角度分析和解決數列單調性相關問題是一種有效的思路，但不能忽視數列單調性的特殊性，這是正確解題的關鍵所在．從圖象的角度來看，由于數列的圖象是對應函數的圖象上的離散點，因此數列的單調性與對應函數的單調性不一定完全相同．在研究數列{a_n} 的單調性時，重點在于分析 與a_n+1 的大小，而區間上的性質可以暫時忽略.本題僅需保證 ?a₂gt;a₁ ，結合二次函數的性質，僅需確定數列圖象的對稱軸處于直線 的左側即可，因此 ，解得 λgt;-3.

設計意圖將數列與函數進行深度比較，不僅能讓學生學會從函數的視角理解數列的特點，還能進一步揭示數列的本質．學生通過在離散現象中發現連續現象，從而進一步豐富對函數的認識，獲得從函數視角觀察與思考數列相關問題的能力，起到發散思維的作用，實現知識的連通，為發展核心素養奠定基礎.

2.連通數列與集合

數列是按一定順序排列的一列數.在表示形式上，數列雖然也使用大括號（如 {a_n} ），這與集合的表示符號相似，但它并不是集合，因為數列的項與項之間存在確定的排列規律，且允許出現重復的項；而集合中的元素具有無序性和互異性，即同一集合內每個元素僅出現一次，元素位置可任意調換，這與數列中項的有序性形成鮮明對比．為幫助學生深入理解數列與集合的本質差異，在課堂教學中，可通過以下問題進行引導分析.

問題3已知集合 A={x∣x=4n-3 ，n∈N^*} B={x|x=3^n-1，n∈N^*} ，將集合A∪B 內的各個元素由小到大排列，可以組成新的數列 {a_n} ，那么 a₂ 是多少？數列 {a_n} 的前50項與 的值分別是多少？

師生共同分析，獲得數列 {a_n} 的前

50項分別是1，3，5，9，13，17，21， 27+3=4590 （過程略）.

評析將集合作為探索數列的背景，主要是為了考查學生對數列概念、通項公式、前 n 項和公式等知識的理解，同時強化學生對集合元素無序性與互異性的認知．在解題過程中，項的重復性是核心考量因素，而從函數視角分析數列，不僅能簡化解題步驟，還能幫助學生構建知識體系間的聯系，實現思維的融會貫通.

問題4集合 A={x∣x=2k-1，k∈ N^*} Φ^*}Φ_{，B={x∣x=8k-8，k∈N^*}} ，從集合A內提取 m 個元素（不重復），將這些元素的和記作S；再從集合B內提出 n 個元素（不重復），將它們的和記作 T. 明確S+T?967 ，那么 2n+m 的最大值是多少？

思路想要取得 2n+m 的最大值，需研究在 S+T?967 的條件下相加的項最多、相加的項最小的情況，因此需分別到兩個集合內提取最小元素，并將這些元素按照由小到大的順序排列．從集合A內提取的 ψ_m 個元素可形成首項為1，公差為2的等差數列；從集合B內提出的 n 個元素可形成首項為0，公差為8的等差數列．因此， S= 4n²-4n 所以， m²+4n²-4n≤967. 通過配方可得 （2n-1）²+m²≤968 ，基本不等式可得 因此（2n+m-1）2 經整理，得2n+m-1?44 ，也就是 2n+m?45 當且僅當m=2n-1=22，即n=23， 等號成立．但 m=22 與條件不相符.在探索 2n+m=44 時，取得 n=11 m=22 ，與條件相符．由此明確44為2n+m 的最大值.

評析在集合的背景下引導學生對數列的定義、等差數列的前 項和公式等展開探索分析，不僅實現了知識的有機融合，幫助學生構建完整的解題思路框架，還促使學生主動發現知識間的內在關系，實現知識與方法的連通，有效提升了學生的數學解題能力．此外，本題還可以從解析幾何與三角函數等維度進行探究.

設計意圖建立數列與集合的連通，主要是為了進一步夯實學生的知識基礎，促使學生主動實現知識的建構與遷移，為培養學生的數學邏輯推理、空間想象、抽象概括等能力創造有利條件.

思考與感悟

1.建立知識間的關聯是揭示數學本質的基礎

新課標關于數列部分的教學要求是引導學生感受數列與函數的異同，通過學習體會數學的整體性特征.這一要求不僅強調了數列與函數之間存在著緊密聯系，還明確指出需運用整體觀念觀察和思考問題，通過不同知識的連通構建完整的認知結構.在本節課中，教師依據新課標要求，分別探究了數列與函數、集合的關聯，引導學生在解決不同問題的過程中，深入體會數列是一種特殊的函數.學生認識到函數具備的性質數列同樣具有，并且數列是對應函數的局部體現．這些新認知促使學生重新審視自身原有的認知結構，進一步理解數列是刻畫具有遞推規律事物的基本數學模型.這一教學實踐不僅凸顯了指向“建構一連通\"的教育新形態是促進深度學習的有效途徑之一，還對揭示數學本質具有重要意義.

2.促進認知的連通是提升探究能力的途徑

《教育大辭典》將人的認知解釋為在意識水平上對表象與思想的加工.從建構主義理論視角來看，人的認知發展是一個循序漸進的過程，新認知的形成往往建立在原有認知經驗的基礎之上．新課標背景下的數學教學，不僅是知識與方法的傳授，更重要的是促進學生認知水平的提升與思維能力的發展，而這些正是推動學生數學學科核心素養發展的基石．在本節課中，盡管探索的核心問題數量有限，但每個問題都充分關注學生已有的認知經驗與新知識之間的聯系，引導學生主動構建新舊知識的關系，實現認知的連通，培養學生良好的探究能力，為發展數學學科核心素養奠定堅實基礎

3.“建構一連通\"是教育的新樣態

在萬物互聯的時代背景下，人類的教育理念正經歷著深刻變革．中國基礎教育領域尤為顯著，傳統以“教\"為中心的教學模式，曾受固化教育理念影響，在新課改浪潮沖擊下，逐步被多元化的創新教學手段所取代.盡管新型教學理念層出不窮，但其內核始終圍繞“以學生為中心\"展開.其中，“建構一連通\"教育模式以其創新性與時代適應性脫穎而出，不僅契合教育高質量發展的核心訴求，更為數學教學實踐提供了兼具理論深度與實踐價值的方法論支撐，因而具有極高的推廣價值與研究意義，

綜上所述，構建“建構一連通\"教育形態，既是順應時代發展的必然選擇，也是新時代賦予教育工作者的重要使命，對于全面提升學生綜合素養與核心能力具有不可替代的現實意義.