深思巧算重推理，追本溯源探本質

[摘要]作為一道導數壓軸大題，2024年數學新高考Ⅰ卷第18題考查了函數與方程、不等式以及含參恒成立等問題，對考生的邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心能力提出了高標準、嚴要求．文章以該題為例，對其進行多維度探究和命題背景的深度挖掘，給出研究此類問題的一般思路和教學建議，以期實現“多思少算，探本求源，研學助考，教考銜接”的目標.

函數作為高中數學5條內容主線之一，是高考數學重點考查的基本內容，與其相關的對稱性問題和含參恒成立問題在高考數學中更是屢見不鮮．從初等視角和高觀點視角厘清此類問題的解題策略和命制背景，不僅有利于拓展學生的數學思維，更能激發學生對數學問題本質的探究意識．因此，本文從多視角、多維度探究2024年數學新高考I卷第18題；與此同時，立足教材，基于學生的最近發展區，對其命題背景進行深度探索和適度拓展，以實現“研學助考，教考銜接”之目的.

真題再現

已知函數 1）

（1）若 ?b=0 ，且 f^′（x）?0 ，求 a 的最小值；（2）證明：曲線 （y=f（x） 是中心對稱圖形；

（3）若 f（x）gt;-2 當且僅當 _{1 求b的取值范圍.}

解題策略

第（1）問是導數恒成立問題，考查復合函數及分式求導、不等式及函數單調性等知識，其求解雖不難，卻為第（2）問的求解奠定了基石，埋下了伏筆.

第（2）問考查學生的數學抽象與數學運算等核心素養，其求解過程可采用待定系數法直觀證明，也可先猜后證，優化運算；可立足對稱的定義和性質求解，還可回歸教材，基于常見的奇函數模型，利用平移構造新函數來證明；甚至可以基于方程和導數，從高觀點視角求解．下面從3條主線，給出第（2）問\"多思少算”優化解題的3種解題策略，其思維導圖如圖1所示.

策略1待定系數，直觀證明

視角1設 f（x） 圖象的對稱中心為 （s，t） ，則 f（s+x）+f（s-x）=2t 又 f（s+ 1）x²=2t ，所以 即 所以t=a.曲線 （y=f（x） 是中心對稱圖形，其對稱中心為 （1，a）

評注待定系數法是求解未知量的常用方法，在中學數學里的應用廣泛，其思維起點低，學生容易理解掌握．不足之處在于其運算量大，因此有必要“多思少算”，優化解題過程.考慮到 f（x） 在（0，2）上連續，若 f（x） 有對稱中 ∴ ，則對稱中心的橫坐標為函數定義域的中間值．又 f（1）=a ，可大膽猜想其圖象的對稱中心為 （1，a） ，所以只需證明 f（x）+f（2-x）=2a.

優解1由

2a ，由此得證.

策略2回歸定義，巧用性質

視角2設 P（m，n） 為 f（x） 圖象上任意一點，其關于 （1，a） 的對稱點為Q（2-m，2a-n） .由 f（m）=n 得 am+b（m-1）3=n，又f（2-m）=l2m（20 ，所以Q點也在函數 f（x） （202的圖象上．由P的任意性可知 ，f（x） 的圖象關于點 （1，a） 中心對稱.

圖1

評注此法是證明函數對稱性的一般方法，具有普適性．它基于函數對稱的定義，由點及線，從點的對稱推導出曲線的對稱，運用時需對函數圖象的對稱性有本質理解．不過，其解題計算較為煩瑣，因此同樣有必要秉持“多思少算”的原則，注重推理“化繁為簡”．具體可考慮平移函數，轉化為奇偶函數的對稱性問題來解決.

優解2因為 bx³+a 令， ，易知g（x） 為奇函數，則 f（x+1） 關于 （0，a） 對稱．由平移關系可知 f（x） 關于點（1， 中心對稱，得證.

評注函數奇偶性與函數圖象之間的關系是高中數學的重要內容.若能通過平移將復雜函數轉化為奇函數或偶函數，便可反推該函數圖象的對稱性；而要探究這一問題的本源，則需要對函數奇偶性有本質的理解與認識.

策略3高階觀點，導數先行

為了厘清導數法求函數對稱中心的原理，先給出以下引理：

引理若連續函數 f（x） 二階可導，且關于點 P（m，n） 對稱，則對于 ??f（x） 上任意關于P對稱的兩點A （x₁，y₁） ，B（x₂，y₂） ，有f \"（x₁）=f^′（x₂） 且 f^′′（m）=0. 視角3 1），令 f^′′（m）=0 ，得 m=1 又 f（1+x）+ 2a ，所以 n=a. 將 P（1，a） 代入函數，驗證點 （1，a） 為函數的對稱中心，即曲線 y=f（x） 是中心對稱圖形.

評注以導數為工具，研究函數對稱中心問題，不失為一種新思路.此法雖不常規，卻能通過計算直接求得對稱中心，但須驗證結果．實際上，函數 f（x） 的對稱性與其導函數f^′（x） 有密切聯系：若 f（x） 的圖象是中心對稱圖形，則 f^′（x） 的圖象是軸對稱圖形，反之亦然．因此可以將上述解題過程進行優化.

優解3由 1）²+a 變形得 1）²+a ，易知 f^′（x） 的圖象關于 _x=1 對稱，則可推斷 f（x） 的圖象的對稱中心為 （1，a） ，所以曲線 γ=f（x） 是中 ∴ 對稱圖形.

對于第（3）問，由第（2）問可知，f（x） 的圖象關于 （1，a） 中心對稱．由于 f（x）gt;-2 當且僅當 _{1 成立，則當0 由 f（x） 在（0，2）上連續及極限的局部保號性可知，f（ 1）=a=-2 ．此時可將問題轉化為f（x）gt;-2 在（1，2）上恒成立，此后，既可以導數為工具，立足常規，聚焦通法，運用構造函數、分類討論、參變分離及換元等方法解題；也可基于高等數學背景，借助端點效應、洛必達法則及泰勒展開式解題.以下從初等視角和高階觀點兩個維度提供5種解題視角，其思維導圖如圖2所示.}

策略1立足常規，聚焦通法

視角1由 f（x）gt;-2 在（1，2）上恒（20 （20

成立，可得 在（1，2）

上恒成立．令

則

評注參變分離、構造函數以及分類討論都是求解含參問題的常用方法．本題直接采用參變分離求解較為復雜，而優解1從研究 f（x） 的性質入手，關注到特殊值 f（1）=-2 ，因此希望 f（x） 是增函數，借助必要性探路，得出參數范圍；而優解2則從換元的視角出發，將函數 f（x） 的代數結構化簡，運用分類討論將問題化整為零、各個擊破，最終解決問題.

圖2

策略2高階觀點，降維打擊

令 ，則 h^′（x）= （2x）2（x-4x2+62-4x+1）.令w（x）=x⁴-4x³+6x²-4x+1 ，則 w^′（x）=4x³- 12x²+12x-4，w^′′（x）=12x²-24x+12 ，易知 x∈（1，2） 時， w^′′（x）gt;0 ，則 w^′（x） 在（1，2）上單調遞增，因此 w^′（x）gt;w^′（1）= 0．依次反推可得 g^′（x）lt;0 ，則 g（x） 在（1，2）上單調遞減．又 所以 b?

視角1由已知得 f^′（x）=（x-1）² ，根據端點效應，令 f^′′′（1）=6b+ 4?0 得 2時，f1（x）≥ （20 此時 在（1，2）上單調遞增，所 以 f（x）gt;f（1）=-2 ，滿足題意.接下來 說明充分性，當 時，由策略1知 不滿足題意.綜上可得

0，得 且 2.當b≥ -2時，f‘（x）≥0，f（x）在（1，2）上單調遞增，此時 f（x）≥-2 ，符合題意；當 2時，設δ∈（1，2），則 ，取 當 _xlt;δ 時， 則當 x∈（1，δ） 時，恒有 f^′（x）lt;0 ，不滿足題意．所以b的取值范圍為 優解2令 t=x-1 ，則問題可轉化為 雞在 （0，1） 上恒成立， 點若樓 ?b=0 ，實則 在頭 （0，1） 上單調遞增，此時 g（t）gt;g（0）=0 ，符合題意；若 ?b≠0 ，令 h（t）=-3bt²+3b+2 ，當 h（0）= 3b+2≥0，即b≥ _2時，h（t）gt;0，g'（t）gt;0，此時 g（t）gt;g（0）=0 ，滿足題意；而當 2時，t∈（0，1），使得t∈（0，t）時， h（t）lt;0，g^′（t）lt;0 ，此時 g（t）lt; g（0）=0 ，不滿足題意．綜上所述， b∈ （20

評注此法立足常規思路，運用參變分離求解含參恒成立問題，這是關注數學通性通法的基本要求．該方法需要多次構造函數，并通過求導判斷函數單調性，其難點在于導函數較為復雜，且構造函數時具有較強的靈活性.

優解1由已知得 f（x）=（x-1）² ，且 f（1）=-2 ，令 ?f^′（x）?

視角2由策略1知問題等價于

m 1++bt2-2tgt;0在（0，1）上恒成立，由

泰勒展開式可得

，所以

，此時由

bt³ 可得 中

評注上述視角立足高等數學背景，從高觀點視角求解問題．無論是端點效應，還是泰勒展開式，均基于學生已學過基本初等函數及其四則運算的導函數這一學情，介紹相關知識和結論，這些方法并非空中樓閣、無根之木，而是基于學生最近發展區的有益拓展，可作為拓寬學生視野的新方法和新思路，從而使不同的學生在數學上得到不同的發展.

命題背景與推廣

2024年新高考I卷第18題三問連環，環環相扣，層次分明，由易到難，前一問都為后一問做了鋪墊.第（1）問實際上是恒成立問題，只需參變分離，用函數單調性即可解決;第（2）問考查的是函數的對稱性問題，方法和題型皆源于教材；第（3）問除了考查經典的含參恒成立問題外，其命題背景還涉及高觀點視角下的端點效應、洛必達法則以及泰勒展開式.

1.函數圖象的對稱性

實際上，2024年新高考I卷第18題的第（2）問為函數圖象的中心對稱問題，其意立足教材，又跳出教材，實現命題創新，是對稱性問題的經典之作.其題源如下：

背景12019年人教A版高中數學必修第一冊習題3.2第13題：

我們知道，函數 ?y=f（x） 的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數 y=f（x） 為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數 ?y=f（x） 的圖象關于點 P（a，b） 成中 ∴ 對稱圖形的充要條件是函數 y=f（x+a）-b 為奇函數.

（1）求函數 f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心；

（2）類比上述推廣結論，寫出“函數 y=f（x） 圖象關于 y 軸成軸對稱圖形的充要條件是函數 y=f（x） 為偶函數”的一個推廣結論.

作為高中數學的核心內容，函數及其相關性質的考題在高考數學中屢見不鮮.厘清函數奇偶性、周期性及對稱性問題之間的聯系，對于學生學好函數至關重要．因此，結合教材和高中生的最近發展區，現給出以下拓展結論.

結論1若 f（x） 關于直線 x=a 和 x=b 對稱，則 f（x） 為周期函數，且周期 T= 2|a-b| ：

結論2若 f（x） 關于點 （a，0） 和（b，0）對稱，則 f（x） 為周期函數，且周期T=2|a-b| ：

結論3若 f（x） 關于直線 x=a ，點（b，0） 對稱，則 f（x） 為周期函數，且周期 T=4|a-b| ：

2.必要性探路—端點效應模型

含參不等式恒成立問題涉及的知識點多、題目綜合性強、思維起點高，因此參數的范圍往往不易確定.為此，解題時常利用命題成立的必要性來“探路”，再論證其充分性，其中“端點效應\"常被用于求解此類恒成立問題，其具體模型如下：

背景2若 ?x∈[a，b]，f（x，m）?0， 且 f（a）=0 ，則必然 ?x₀∈（a，b） ，使得f（x） 在 [a，x₀] 上單調遞增，從而當 x∈ [a，x₀] 時 ，f^′（x）?0 成立．特別地，有f'（a）?0 的必要條件，由此可求參數ψ_m 的范圍，然后驗證這一范圍的充分性即可，即所謂的端點效應模型.

事實上，第（3）問的命題背景也涉及端點效應問題，具體解法可參看策略2.誠然，運用端點效應模型解題能夠降低學生的思維起點，有時能起到事半功倍之效.然而，用該模型求得的參數范圍僅是命題成立的必要條件．所以，若只是簡單地照搬端點效應來解題，有時會南轅北轍、適得其反，得到錯誤結論.

3.泰勒展開式與洛必達法則

泰勒展開式能將函數，尤其是復雜函數，表示為簡單的多項式或無窮級數的形式，這樣一來，只需對自變量進行有限次的加減乘除運算，就能求出該函數的函數值及任意階導數，由于泰勒展開式能保持原函數的性質不變，因此可以借助泰勒展開式來研究原函數的性質，例如命題背景3.

背景32019人教A版高中數學必修第一冊復習參考題5第26題：

英國數學家泰勒發現了如下公式：

x x5

sinx=3！ 5！ 7！x x6

cosx=1- 十2！ 4！ 6！

其中n！ =1×2×3×4×…×n

這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性．比如，用前三項計算cos0.3，就得到cos0.3～1- 0.9553375.

命題背景3引導學生初步認識到可以利用多項式函數來逼近正弦函數和余弦函數．由于學生尚未學習微積分，此時還不明白相關公式的由來，但他們在高三已經學過基本初等函數及其四則運算，且復合函數可以進行高階求導，因此可引出如下定理：

定理設函數 f（x） 在 處有 階導數，則存在 x₀ 的某鄰域，使得 f（x）= ，稱上式為 f（x） 在 x=x₀ 處的 n 階泰勒公式（其中 0！=1，R_n（x）=o（（x-x₀）ⁿ））

第（3）問的命題背景之一便是泰勒展開式，只需適當換元，再用泰勒展開式即可得出 b 的范圍.

教學啟示

針對新高考、新課標及新教材背景下的函數內容，筆者談一談本題的解題啟示和函數內容的教學建議.

1.回歸課標、重視教材，做好 教考銜接

近年來，新高考以“立德樹人、服務選才、引導教學\"為命題原則，越發注重主干知識和重要原理、方法的考查，強調回歸課標，重視教材，在函數等主干知識的掌握上下功夫，在數學學科本質的理解上下功夫，避免超綱學、超量學，助力減輕學生學業負擔[1].例如，2024年新高考數學I卷第7題即是源于教材的例題，其答案在教材中清晰可見；除此之外，2024年新高考數學I卷第8題、第10題、第18題等都能在教材中找到它們的“影子”．由此可見，“回歸課標，重視教材，做好教考銜接\"既是高考數學備考的“風向標\"和\"指揮棒”，也是教師教學提效增質的“放大器\"及學生學習減負的“變壓器”

2.注重通法、拓展視野，探索 數學本質

教學方法林林總總，適合學生的才是好方法.注重通式通法和一般規律，就是要讓學生做一題、會一類、通一法，將數學思想方法從熟悉的情境過渡到關聯甚至綜合的情境中，體現數學規律的一般性，進而凸顯數學的本質[2].適當拓展學生的視野，是激發其學習潛能和學習興趣的重要手段．比如在日常教學中，可結合教材內容，適當開展大中銜接，基于學生的最近發展區，講解一些高觀點下的解題原理、思路和方法.這不僅能拓展學生的視野，還能揭開數學神秘的面紗，助力他們探索數學的本質.

3．沉淀思想、提升素養，落實立德樹人

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數學家華羅庚強調的是數形結合的重要性，而函數正是“數”與“形\"的天然優良載體．研究數學問題，得到結果并非最終目的，在解題過程中沉淀思想、提升數學核心素養才是關鍵.研究函數問題，不可避免地要從“數\"與\"形\"兩種視角展開，將數學語言和數量關系的抽象性與幾何圖形的直觀性有機結合，從而達到“以形馭數，以數解形”的目的．此外，研究函數問題，還要重視數形結合、分類討論及化歸等思想的運用，既要在思想方法的領悟、創新思維的形成、探究應用意識的培養上下功夫，更要注重學生數學學科核心素養的養成，彰顯數學育人功能，助力考試改革，促進學生全面發展，落實立德樹人根本任務.

參考文獻：

[1］甘志國．“立德樹人、服務選才、引導教學”是2024年高考數學北京卷的鮮明特色[J]．中學數學雜志，2024（7）：62-65.

[2］鄧莉莉.關注幾何通性實現教法遷移落實整體教學—以\"圓的基本性質\"為例[J].中學教研（數學），2024（3）：9-13.