科學引導 合理啟發 發展素養

在核心素養背景下，培養學生的自主探究能力是課堂教學的重要目標之一．問題是驅動學生自主探究的關鍵要素，高質量的問題不僅能引導學生的思維聚焦教學內容，還能啟發學生思考，促使學生在主動探索與合作學習中實現能力提升和素養發展.那么，如何在課堂中科學引導、合理啟發學生呢？研究表明，教師運用恰當的教學手段激發學生的探索欲，能夠調動學生學習的主觀能動性，使其積極主動地投身課堂探索．精心設計問題是實現這一目標的重要途徑，因此，課堂上教師可以問題為抓手，引導學生在觀察中發現問題、提出問題、分析問題與解決問題，切實提升學生的探究意識，發展學生的核心素養.本文以“同角三角函數關系式\"的教學為例，探討如何引導學生探究，進而培養學生的數學學科核心素養.

教學實踐簡錄

1.創設情境，導入主題

師：隨著時間的推移，大家對上學之前的事情還有印象嗎？

生1：我感覺那段時光被遺忘得差不多了.

師：那有沒有什么能想起來的事情呢？

生2：小時候我最愛蕩秋千，每次爸爸都把秋千推得很高.

生3：我喜歡滑滑梯，特別享受從高處滑落的那種刺激感，

生4：我記得和小朋友玩過家家.

.

師：看來，雖然大家遺忘了大部分事情，但對自己最喜歡的事情還是有印象的．現在，我們一起來研究一個與滑梯相關的問題.

（學生興趣盎然）

問題1如圖1所示，小區的游樂場準備安裝一個滑梯供小朋友們娛樂，已知滑梯的長為2.4米，且當tan0=3時，更利于小朋友們滑下來，那么這個滑梯的高需設定為多少米？

圖1

師：想要解決這個問題，首先該怎么處理？

生5：需要將滑梯抽象為簡單的數學圖形.如圖2所示，借助一個 ?RtΔABC 來描述該滑梯．已知 RtΔABC 中的AC=2.4 ∠A=θ ， ∠B 為直角，將 _?AB 的長度設定為 _x，BC 的長度設定為 y ，列

圖2

=2.42 式 tan23由此即可獲得AB，BC x4 的長度.

師：不錯，條理非常清晰，聯立方程組獲得了問題的解．除此之外，還有其他方法可獲得BC的長度嗎？

生6：當下待求的是BC的長度，在已知斜邊AC的長度的條件下，最好從sin0的角度來分析.

師：在明確 的條件下，可否獲得 sinθ 的值呢？這兩個三角函數值之間存在什么關系嗎？

（學生沉默）

師：大家聽過\"蝴蝶效應\"嗎？

生7：我知道，就是遠在南美洲亞馬孫河流域雨林中的蝴蝶扇動幾下翅膀，可能在半個月后引發美國德克薩斯州的龍卷風.

師：太棒了！當下我們要探索的是同一個角的三角函數，它們之間存在什么聯系呢？這就是我們這節課將要探索的主題一同角三角函數關系式.

設計意圖風趣幽默且貼近學生生活的情境，能為課堂注入活力，讓學習更具生命力．正如新課標指出：數學與人類生活和社會發展緊密關聯．以滑梯為例，它是學生熟悉的生活娛樂設施，將其抽象為簡單的三角形模型，既直觀展現數學與生活的緊密關聯，又能通過三角函數研究滑梯高度，使課堂導入兼具趣味性與科學性，這對提升學生的數學學習能力意義重大．而蝴蝶效應的引入，不僅能拓寬學生的知識視野，還能引導學生發現同角三角函數間存在的內在邏輯關系，為后續教學做好鋪墊.

2.提煉猜想，促進探索

師：在正式探索新知之前，大家一起來思考以下幾個問題

問題2填寫表1，并觀察各個三角函數值，猜想它們之間存在的聯系.

生8：我發現其中存在以下幾個特殊規律.

規律1： sin²60^°+cos²60^°=1 sin²45^°+ cos²45^°=1 sin²30^°+cos²30^°=1

表1

規律2： tan45° （204號

師：這兩個規律能帶給你怎樣的啟示呢？嘗試運用代數式來描述這兩個規律.

生9：應用特殊到一般的數學思想，可將以上規律分別描述為 sin²α+ cos²α=1 ，也就是同角的正弦與余弦的平方和為1，同角的正弦與余弦的商為該角的正切

師：總結得很好．大家有沒有思考過，這個規律針對任意角都成立，還是僅僅針對銳角呢？嘗試證明.

設計意圖教師通過循循善誘的教學方式，引導學生從特殊案例入手，歸納推理出同角三角函數的一般性關系．這一過程不僅有效提升了學生的邏輯推理能力，還促使學生在問題驅動下踐行深度學習理念，切實發展了數學抽象素養.

3.證明猜想，活化思維

師：當我們獲得一個猜想之后，接下來需要干什么？生10：驗證這個猜想是否合理師：不錯，這里我們先不著急驗證，大家先來回顧一下，何為任意角的三角函數？生11：如圖3所示， x=cosα，y=sinα ，Y=tana.x

生12：根據勾股定理可知Rt△PMO中 ¹PM²+MO²=PO²=r²=1?sin²α+cos²α=1. （2號結合三角函數的概念，有

師：根據以上分析，可總結出同角三角函數的基本關系是怎樣的？

師：在此基礎上，請大家以小組 為單位進行證明.

生13：它們之間的平方關系與商數關系分別為： sin²α+cos²α=1 ，tanα=sinacosα

設計意圖根據學生認知發展規律與建構主義理論，引導學生關注新舊知識之間的關聯，不僅能幫助學生自主發現由舊知生成新知的方法，還能優化其數學思維，促使學生將新知靈活納入認知體系，構建完整的知識架構.

圖3

4.完善認知，嚴謹思維

問題3以上所獲得的結論，適用于任意角嗎？有沒有什么限制條件？

學生合作交流之后，得到結論為：對于任意角 α∈R sin²α+cos²α=1 恒成立，但 有限制條件，x cosa因為x≠0，所以α≠π+=，

師：太棒了！由此可進一步完善同角三角函數的基本關系，即對tanα τ=τ sin增加了限制條件 （20

設計意圖數學學科的嚴謹性決定了探索過程必須關注每一個細節，尤其是對結論的探討，更要做到精準無誤．設計此環節，目的體現在兩個方面：其一，引導學生通過合作學習完善結論，使其切實感知數學學科的嚴謹特質；其二，幫助學生深入體會變與不變、有限與無限的辯證關系，在潛移默化中提升數學審美能力，為發展數學學科核心素養奠定基礎.

5.應用公式，發展素養

問題4如果明確 那么cosα與tanα的值分別是多少？

生14：根據前面探索所得的結論，可知 因 （204號

生15：這種解法不對， ，則存在四種對應.

生16：不是的，只存在兩種對應，原因在于 若固定其中兩個三角函數值的符號，則另一個符號也是固定的.

師：有爭論是好事，基于以上分析，究竟該如何規范地解決這道題呢？

學生通過分析，確定 α 可能為第

三或第四象限的角．若 為第三象限

的角，則 ，tanα= ；若 為第

四象限的角，則 .

師：我們在解決這一類問題時，需特別關注角的正弦、余弦函數與正切函數之間的符號關系，必要時可通過分類討論的方法完成解題.

設計意圖深度學習的實現，依賴于將新構建的知識應用于實際問題的解決．選取題干簡潔、思路清晰的問題，能夠有效啟發學生思考，幫助學生深入感知同角三角函數的基本關系，進而提升其舉一反三的能力.此外，這種設計還能在潛移默化中滲透數學分類討論思想，對學生數學運算素養與邏輯推理素養的發展起著積極的促進作用.

問題5證明

學生自主解題，教師加強巡視，并選擇幾種具有代表意義的解題過程進行投影展示

投影1（作差法）： 投影2：

師：這種解法（投影2的解法）是不是有什么條件沒有交代清楚？

生17：此解法在分式的上下同時乘上“sinx+1”，再將 cosx 約掉，需要標明 sinx+1≠0 和cosx eq0.

師：不錯，數學解題過程必須條 理清晰，思路嚴謹.

生18：本題還可以從以下角度進行分析： 1-sin²x=cos²x 1-sinx≠0 ，且cosx≠0. 在 1-sin²x=cos²x 的兩邊同時除以 （1-sinx）cosx ，則

師：非常好，以上三種解法存在什么共性？

生19：不論用哪種方法解題，都緊扣 sin²α+cos²α=1 這個公式進行變形.

設計意圖求解此題的關鍵在于公式 sin²α+cos²α=1 的應用.學生通過獨立思考與合作交流，探索出了不同的解題方法，這不僅凸顯了靈活運用公式對解決實際問題的重要作用，還幫助學生把握了解決此類問題的核心要素，對提升學生的邏輯推理能力具有重要意義.

6.總結提煉，完善體系

師：本節課的教學，給你們帶來了什么啟迪與收獲？

生20：從知識層面來看，我理解了同角三角函數的關系式，并掌握了相應的應用方法；從數學思想方法來說，我領悟了分類討論思想.

生21：我還體會到了數學學科的嚴謹性和科學性．我們在探索數學問題時一定要一環扣一環，每個步驟都要有理有據.

設計意圖課堂總結具有評價與反思的作用．鼓勵學生自主總結，是對整節課學習活動的進一步梳理與思考，這對培養學生的數學思維能力和抽象概括能力具有重要意義.

教學思考

1.科學引導是課堂教學的基礎學生是課堂的主體，而教師的課堂引導不可或缺．教師的科學引導如同大海上的燈塔，能為學生指明學習方向.本節課，教師從學生感興趣的生活情境出發，結合學生已有的認知經驗設計問題，順利將學生的思維引入同角三角函數關系式的探究中．在新知探索過程中，教師順應學生的思維，由淺入深地引導，促使學生不斷優化思維，為新知建構夯實基礎.

2.合理啟發是課堂教學的關鍵

問題是數學的心臟．利用問題啟發學生思考，能夠將課堂推向高潮，使學生在探索中形成新知，并在應用中內化知識.本節課，教師通過問題串聯整節課，學生的思維在問題啟發下逐步深人發展.學生不僅對同角三角函數關系式有了深刻理解，還獲得了靈活應用的能力．由此可見，合理啟發是課堂教學的關鍵.

3.發展素養是課堂教學的目標

新課標背景下的高中數學教學與傳統數學教學存在顯著差異．傳統數學教學以基礎知識與技能的掌握程度作為評價標準，而新課標要求課堂教學需將核心素養的發展作為主要目標[1.在本節課教學中，教師不僅關注學生對新知的建構與應用情況，還著重關注學生在課堂中的數學抽象、概括總結、邏輯推理、數學運算等素養的發展狀況.

總之，科學引導與合理啟發不僅充分體現“生本\"理念，還能促進深度學習，為發展核心素養奠定基礎．因此，教師在課前、課中與課后都應密切關注學生的知識掌握程度，以發展數學學科核心素養為導向，設計合理問題對學生進行科學引導，這是提升學生學習能力的根本途徑.

參考文獻：

[1」張炳峰，錢建良.用問題提升素養以引導發展能力一“同角三角函數關系式\"課堂實錄與反思[J].中學數學月刊，2021（8）：23-25.