整體教學視域下高中數學初高銜接的教學路徑

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將“初高銜接\"視作課程標準實施中的關鍵問題，并專門設置“預備知識\"以幫助學生完成由初中到高中數學學習的過渡.《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“加強學段銜接\"是其修訂后的主要變化之一，并要求“了解高中階段學生特點和學科特點，為學生進一步學習做好準備”可見，數學初高銜接是深化課程改革、確保課程理念落地的關鍵.

然而，數學初高銜接的有效落實情況卻不容樂觀．每年都有許多優秀初中生不適應高中數學的教學與學習模式，導致數學成績下滑，甚至有少數學生失去學習數學的信心[2]課程標準作為深化課程改革的指導性文件，已為該問題的解決提供了思路：教師應“整體設計，分步實施\"“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養階段性和連續性發展\"[3].其中，“整體”一詞多次出現，既反映了初高銜接斷裂的原因—整體觀的缺失，也指明了解決問題的路徑—整體教學.

那么，整體教學為何可以解決初高銜接問題？又該如何解決？深刻理解這兩個問題，是實現高中數學初高有效銜接的關鍵

整體教學解決初高銜接的適切性分析

1.整體教學的理念闡釋

整體教學是整體主義思維方式在教學中的應用，也是對整體教育理念的落實，強調“具觀\"與\"通觀\"的辯證統一關系[4].

整體教學視域下，數學知識不是孤立的“點”，而是圍繞基本命題及統一的概念體系被組織、被建構的，是相互聯系的“整體”[5].因此，要跳出具體的教學內容和課時限制，從更宏觀的范圍、以長程的視角進行分析思考，探尋知識點間的關聯，即明確概念、命題的生成邏輯，或是挖掘它們背后的一般觀念、上位概念，從而構建整體的知識結構．面對某一數學知識點時，應將其置于知識結構中審視，一方面跨越性地梳理其來龍去脈及隱藏于脈絡中的內在聯系；另一方面剖析內容的編排意圖，以此強化對數學本質的理解.

在整體教學視域下，學生是集認知、情感、品格等多種要素于一體的完整個體，其發展應是各方面的全面發展.因此，需明確學生的已有認知是新知內化的基礎，學生的全面參與是新舊認知建立聯系的前提．唯有如此，學生才能獲取知識的心理意義，形成新的認知結構，生成并發展能力素養，進而不斷迭代階段性成果，實現認知結構和能力素養的連續性、整體性發展.

在整體教學視域下，教學對象、教學內容、教學目標、教學活動、教學評價等要素，不僅各自構成結構完善的小整體，它們之間還相互關聯、相互作用、相互協調，共同構成了教學系統這一復雜的大整體.因此，教師要在理解知識和學習整體性的基礎上，聚焦具體教學內容，選擇契合知識內生規律、利于學生意義建構的方式，設計與實施教學評一體化的教學，搭建起知識結構向認知結構轉化的橋梁.

2.整體教學運用于初高銜接的適切性

整體教學強調：數學知識能按照某種規則獲得聯結，呈現為有中心的、結構化的體系；學生要基于已有認知建構新知，實現整體發展：教師要選擇契合知識內生規律和學生認知需求的方式，促進知識結構和認知結構的統一.實際上，這也是初高銜接的關注點：初高數學知識并非割裂存在，而是有著顯性或隱性的關聯，需加以整合；學生的高中數學學習要以初中階段所得為基礎，才能實現知識、技能、態度等方面的提升；教師要采取銜接式的教學手段，建立初高數學知識間的聯系，使學生的認知連貫．可見，整體教學和初高銜接都格外關注三個方面：教學內容、學生認知、教學方式.

整體教學與初高銜接的共性，奠定了二者相互借鑒的基礎.相對而言，初高銜接更側重于縱向，即初中知識節點與高中新節點間建立起實質性、非人為的聯系，而整體教學凸顯立體性特征，要求基于縱、橫兩個維度觀察事物屬性[6，大單元教學即為一例．因此，整體教學可以為解決初高銜接問題提供更廣闊的視角和先進的理論指導.

具體說來，在整體教學視域下，教師分析初高數學教材有“道\"可循，不僅能找尋知識點間縱向的邏輯依存關系，還能關注知識點在高中單元中的地位與作用，避免銜接教學“片面化”.在整體教學視域下，教師容易找到學情分析的抓手、把握學生的最近發展區，有助于學生打破無法主動建構知識意義的困境，實現認知節點的聯結和素養的進階，避免銜接教學“碎片化”.在整體教學視域下，教師登高望遠，便于明確教學的系統性及其實施的前提與方式，有助于推進初高銜接的教學評一體化

整體教學解決初高銜接的路徑分析

課堂教學遵從“為何學”“學什么”“如何學\"以及“學得怎樣\"四個環環緊扣、邏輯一貫的問題鏈展開[7]，初高銜接教學亦是如此.在整體教學視域下，高中數學初高銜接教學需基于整體性理念，剖析教材和學生實際，明確“為何學\"與“學什么”；進而確定教學目標、設計并組織教學活動，解答“如何學”;最后通過教學評價判斷\"學得怎樣”．下文將從教材、學情、教學目標、教學活動、教學評價等五個方面，構建整體框架并闡述具體實施路徑.

1.整體框架

在整體教學視域下開展高中數學初高銜接教學，不僅要從縱向角度明確初中與高中知識間的關系，還要從橫向角度立足高中單元分析具體課時.

數學知識結構蘊含于數學教材之中.教材分析要求聚焦內容主題，深入研究高中和初中教材，找尋二者的區別和聯系，并綜合初高中數學知識結構，挖掘圍繞銜接知識展開的整體知識結構.

學生的已有認知結構由高中數學知識結構的已學部分和初中數學知識結構內化而成，其能力水平也在學習過程中獲得發展.這二者是學生學習的基礎，也是學情分析的重要抓手.

教學目標是教學活動實施的方向和預期結果，教學目標設計的實質就是對學生認知結構和能力水平的初始狀態、最終狀態及轉變過程進行簡要刻畫.

教學活動設計要求基于整體知識結構和學情重構教學邏輯，以此引導學生內化數學知識、實現認知節點的聯結，進而發展與提升能力水平.

“評\"要與“教\"和\"學\"保持一致，因此教學評價要重視學生內化高中數學知識、銜接初高認知節點、發展能力素養的過程和結果，從而側面反映和評價教師所實施的教學活動的效果，以及教學目標的達成情況.

總之，在整體教學的視域下，需要縱橫交錯探析教材，挖掘數學知識結構；精準全面分析學情，明確學生認知基礎；依據教材和學情的分析結果，確定教學目標、設計教學活動，促進學生認知節點的建立和聯結、能力水平的發展與提升，并開展針對性的教學評價.由此，形成了整體教學視域下高中數學初高銜接教學的整體框架（如圖1所示）.

2.具體路徑

以上框架僅是整體教學視域下高中數學初高銜接教學的藍圖，其中五個關鍵環節的具體實施路徑仍需進一步展開，并結合具體教學內容進行具體分析.

“直線與圓的位置關系”是初中數學和高中數學共有的教學內容，它是蘇科版九年級上冊第二章\"對稱圖形—圓\"的第五節，也是蘇教版選擇性必修一第二章“圓與方程\"的第二節.初中階段通過觀察直線和圓的相對運動，從“形\"的角度揭示了直線與圓的三種位置關系及兩種直觀判斷方法；高中階段則運用直線和圓的方程研究二者的位置關系，突出從“數”的角度處理幾何問題的解析幾何思想．可見，它是初高數學教學銜接的重要內容.以下即以其為例，從單元整體和初高銜接兩個維度，探討具體的分析路徑.

（1）教材分析：縱橫交錯挖掘知識結構

數學學習的內容并非只有顯性呈現在教材中的散落知識點，還包括隱藏于其后的邏輯線索和數學思想方法等.在整體教學視域下，應以初高中數學教材為分析對象，聚焦具體內容主題，從縱向的初高銜接、橫向的高中單元視角出發，交錯剖析數學知識、找出關聯，進而挖掘出圍繞中心展開的知識結構.

教材分析的具體路徑為：縱向上，在初高銜接的視角下，分析初高中知識間的顯性和隱性關聯，從而明確銜接知識的生長基礎；橫向上，在高中單元的視角下分析具體內容，既要微觀審視其細節，也要宏觀把握其在章節中的位置和作用，進而找到蘊含其中的數學知識點及彼此間的邏輯依存關系，明確知識的數學本質

聚焦“直線與圓的位置關系”，縱橫交錯探析教材： ① 縱向上，初中該內容明確了直線與圓的三種位置關系和兩種直觀判斷方法，這恰為高中教材的背景材料，是初高中知識的顯性聯系；初中該內容滲透著數形結合思想方法，高中解析幾何思想方法正是對此的深化，這是初高中知識的隱性聯系. ② 橫向上，高中該內容旨在利用“直線和圓的方程\"研究“直線與圓的位置關系”，強調基于“點到直線的距離公式”“直線和圓的方程組求解”，從代數的角度去處理幾何問題它承接了直線與方程、圓的方程的教學，為后續圓與圓的位置關系、圓錐曲線與方程的探索提供了思路，解析幾何的思想方法在其中起到“穿針引線\"的作用．可見，其數學本質是以“圓”為載體對平面解析幾何問題的繼續研究.

（2）學情分析：雙向追溯已有認知

學生的已有認知結構是新知內化的基礎，現有能力水平則會起到制約作用.因此，在整體教學視域下，二者構成了學情分析的主要內容.聚焦具體內容主題，前者由高中已學內容和初中銜接內容內化而成，所以學情分析要橫縱雙向追溯學生對相關知識點的掌握程度；后者實則是多種子能力的綜合表現，且子能力的發展程度未必相同，所以分析學情時也要兼顧能力的\"寬度”（種類）和\"深度”.

學情分析要采用理論結合實際的方式進行，以達成對學生已有認知的精準把握：一方面，要采取文本分析法，透過初高中數學課標和教材等文本材料，了解兩個階段下相同主題內容對學生的認知要求；另一方面，要采取實證分析法，通過觀察、談話或測試，了解學生的現實起點和認知需求.

聚焦“直線與圓的位置關系”，雙向追溯學生已有認知：縱向上的兩種直觀判斷方法和數形結合思想，橫向上的點到直線的距離公式、圓和直線的方程、直線的交點求解等內容，以及解析幾何的方法，是高中“直線與圓的位置關系\"的主要生長基礎；直觀想象、數學運算、邏輯推理是主要的能力基礎.

明確學情分析的內容后，需采取理論結合實際的方式把握學生的實際水平： ① 學生在初中從幾何直觀角度、運用運動觀點即可理解三種位置關系，掌握兩種判斷方法，并體會數形結合思想，因此相關認知較為穩固，容易被激活； ② 高中相關知識為學生不久前習得，解析幾何思想方法也初步滲透其中，所以認知較為清晰，但靈活遷移度存疑，這是因為他們對解析幾何研究問題的一般思路和方法理解尚不深入.對于幾種能力“深度\"的度量，則需要教師在平時進行實證分析.

（3）教學目標：二維視角的分解與統一

整體教學視域下高中數學初高銜接課的教學目標，需要兼顧教學內容在高中單元和初高銜接中的地位與作用，實現兩個維度目標的統一.因此，整體教學目標的設計路徑如下：

首先，分解二維視角，分別設計目標：

① 確定高中大單元，基于單元整體設計教學目標，再細化得到具體內容的課時目標；

② 關注銜接內容承載的教育作用，明確初中階段鋪墊的認知基礎及其與高中階段認知要求的差異，設計以進階為特征的初高銜接目標.

其次，依照“起點一路徑—終點”的邏輯，統一二維視角的目標：

① 學生的已有認知是教學的“起點”，涵蓋初中相關知識內容和高中已學知識內容；

② 以教學內容為載體、教學路徑為指引延伸起點，過程受學生能力水平制約．“教學路徑\"的建立，是綜合考慮教材和學情后的教學邏輯重構；

③ 學生抵達“終點\"時，能夠順利整合新舊知識并內化形成認知結構，其能力素養螺旋上升至新水平.

以下依據上述路徑，設計整體教學視域下“直線與圓的位置關系\"的教學目標：

高中單元視角： ① “圓與方程\"的單元目標是：以“圓\"為載體，體會和掌握解析幾何研究問題的方法，即建立點與坐標、線與方程的對應關系，用代數方法研究幾何問題，用幾何眼光處理代數問題：類比直線的研究，實踐和感悟解析方法研究“圓\"的思路，即在平面直角坐標系中建立方程，再運用方程研究幾何性質和位置關系. ② 細化得到“直線與圓的位置關系\"的課時目標：根據給定直線和圓的方程，利用解析方法判斷二者的位置關系，探索解析幾何研究問題的方法和思路.

初高銜接視角： ① 初高“直線與圓的位置關系\"的差異體現在：高中強調從代數角度研究位置關系，且對數學思想方法、核心素養提出新要求② 該內容的初高銜接目標為：理解并依據直線和圓的方程，結合距離公式和方程組解的幾何意義，從代數角度判斷直線與圓的位置關系，深化數形結合思想，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養.

統一二維視角目標，可得整體教學目標為：回顧初中的直觀判斷方法，類比直線的研究，理解并依據直線、圓的方程，結合對距離公式和方程組解的幾何意義的理解，能從代數角度判斷二者的位置關系；進一步探索并感悟解析幾何研究問題的方法和思路，體會數學的通性通法，發展遷移能力，深化數形結合思想，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養.

（4）活動設計：問題“鏈\"接初高知識

問題是數學的心臟，數學教學活動要以問題為中心，以解決問題為驅動，引導學生逐步探索和理解知識、實現認知發展．“問題鏈”是教學活動的常用設計，是教師根據教學目標和學習情況，將教材知識轉化為具有層次性和系統性的一組教學問題序列；其設計的一般流程是設計主干問題，并圍繞其鋪設目標一致的序列化子問題[8].

整體教學視域下初高銜接課的教學活動，要以整體教學目標為指引，以“整體規劃、分步實施\"為原則綜合設計，具體路徑為：

主干問題以核心知識為中心，從學生已有認知結構出發，指向新認知結構的生成，目的是實現初高知識的銜接和單元知識的整體發展．從問題的構成角度來看，主干問題給定的條件是學生已知的，存在的限制或障礙是初高知識節點的斷裂處，要達到的目標狀態是知識節點按照新規則獲得聯結.

由于主干問題難以一蹴而就地解決，因此要設置梯度性的子問題，子問題的題干蘊含初高數學知識點，設問旨在建立知識點的聯系，體現縱橫聯合的特征．每個子問題隱含著相應的認知水平要求，不同子問題間存在著認知水平差異，解決子問題的過程就是不斷發生認知沖突、內化新知、建立認知節點聯系、實現認知結構整體化發展的過程.

以問題鏈設計“直線與圓的位置關系\"的教學活動，那么主干問題就是“如何根據直線與圓的方程去判斷直線與圓的位置關系？\"以此搭建初高知識結構的橋梁.進一步地，設置子問題1：“如何判斷直線與圓的位置關系？\"激活已有認知，使認知節點生長延伸.子問題2：“如何根據方程確定判斷法中的d和r？\"該問題旨在建立高中解析幾何知識（直線和圓的方程、距離公式等）與初中直觀判斷法之間的聯系，助力學生初步完成初高階段“直線與圓的位置關系\"認知節點的聯結.子問題3：“如何根據方程確定判斷法中的交點個數？”此問題通過進一步構建直線和圓的方程、直線交點求解方法與直線和圓位置關系之間的聯系，推動學生實現對相關知識認知的整體建構.

（5）教學評價：銜接知識點的結構量化

教學評價是數學教學活動的重要組成部分，以教學目標的達成為重要依據，具有診斷、反饋、修正、改進等功能．書面測試、口頭測驗、課堂表現、作業等都是重要的評價方式.

整體教學視域下的初高銜接教學導向學生的整體發展，因此教學評價首先就要考查學生整體學習的成效，測評其是否將初高數學知識聯結內化為整體認知結構，并達到能力水平新要求.學生頭腦中認知結構的發展情況難以檢測，而比格斯的SOLO分類理論認為，學生在應答問題時所表現出來的學習成果結構是可測的，并按照個體在能力、思維操作、一致性與收斂方面的特點，劃分出前結構、單點結構、多點結構、關聯結構、抽象擴展結構等5個遞升的層次水平[9].

因此，可以基于SOLO分類理論評價學生對“直線與圓的位置關系”的整體學習成效，通過學生在面對問題時的具體表現來反映其達到的結構水平：

① 前結構水平：學生獲取的只是零散的信息碎片（直線、圓、方程、位置關系等），無法建立幾何與代數的聯系，不理解數學意義，也弄不清問題意義；

② 單點結構水平：學生能了解部分數學概念（直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關系等），但對題干理解不全面；

③ 多點結構水平：學生能理解多個數學概念的內涵，但無法建立起聯系，面對問題無從下手；

④ 關聯結構水平：學生理解并建立了多個數學概念之間的聯系，能分析問題并找到線索，從而初步處理問題；

⑤ 抽象擴展結構水平：學生理解了所學內容的數學本質，即解析幾何的思想方法，并能順利遷移解決新問題，如圓與圓的位置關系、直線與其他曲線的位置關系.

綜上，SOLO分類理論可為評價整體教學視域下的高中數學初高銜接教學提供量性工具．教學中應以其為基石，結合具體教學內容轉化應用，從而反映學生整體學習和教師整體教學的成效，促進學與教質量的提升.

可見，整體教學確實為數學初高銜接提供了重要的理論指導.整體教學視域下高中數學初高銜接教學的整體框架和具體路徑，要求全面分析教材和學情、整體設計教學目標和教學活動、開展與教和學一致的教學評價，支持初高知識的整體性建構、學生學習的整體性進階，并為教師提供了可行的操作方式，確實可以解決數學初高銜接的問題.

參考文獻：

[1」中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

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[4］王海青.論整體主義教學[J].全球教育展望，2019，48（4）：34-44.

[5］朱先東.指向深度學習的數學整體性教學設計[J].數學教育學報，2019，28（5）：33-36.

[6]劉文艷.整體性數學思維方式下的單元教學一以\"三角函數的概念”教學為例[J].數學教學通訊，2024（30）：20-22.

[7］陳靜，吳曉紅.教學邏輯的問題鏈表達及實現路徑一基于《用數對確定位置》一課的分析[J].教育視界，2020（23）：9-13.

[8］朱曉祥.指向深度理解的問題鏈教學設計研究[J].數學通報，2024，63（2）：20-24.

[9]約翰B.彼格斯，凱文F.科利斯.學習質量評價：SOLO分類理論（可觀察的學習成果結構）[M].高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010.