任意角的三角函數的定義是高中數學中的核心概念之一,它不僅是學習三角函數章節的關鍵,而且是初中銳角三角函數知識的延伸,同時也為學習平面向量和解析幾何等高級數學內容打下了基礎.在教學中,大多數教師傾向于直接將銳角三角函數推廣至任意角的三角函數.這種從特殊到一般的推廣方法看似自然流暢,然而,從實際反饋來看,學生遇到第一象限角時能夠輕松地解決問題,但在面對其他象限角時就不知所措.究其原因之一是,大多數學生將這些概念視為“規定”,并未深入理解其背后的原理.那么,在實際教學中,如何才能讓學生掌握數學概念的本質,提升概念教學實效性呢?筆者認為,通過深入研究學生、教學方法以及教學內容,并從理解性學習的角度出發設計教學活動,能夠揭示概念的本質,激發學生的學習興趣,提升學生的思維品質,進而提高教學質量.
教學過程設計
1.復習舊知,引入新課
問題1在初中階段,我們學習過銳角三角函數的概念.你還記得在直角三角形中,銳角三角函數是如何定義的嗎? 30°. 角的正弦、余弦和正切值分別是什么?
師生活動:教師展示圖1,引導學生進行回顧和表達.隨后,教師板書:
圖1

圖2

設計意圖從學生熟悉的銳角三角函數入手,喚醒學生已有的知識和經驗,為新知的引入做鋪墊.同時,從已學知識出發,讓學生感受到熟悉和親切,這有利于激發學生的學習興趣,增強學生的學習信心.
2.探究新知,形成概念
問題2如圖2所示,若以銳角α的頂點為坐標原點,以角α的始邊為x軸,建立直角坐標系.設點 P(x,y) 是角 α 終邊上一點,點 P 到原點的距離為r.結合已知條件,能否利用點 P 的坐標表示角α的三角函數值?
學生活動:學生結合已有的知識
和經驗構造直角三角形,即過點P作
PM⊥x 軸于 M ,則 
tana=yx
追問1:角 α 的三角函數值與點 P 在終邊上的位置有關嗎?請給出你的理由.
學生活動:學生利用“相似三角形的對應邊成比例\"這一性質推導出“角α的三角函數值與點 P 在終邊上的位置無關”
追問2:如果改變角 α 的大小,那么這組比值是否仍然保持不變?
學生活動:學生通過分析特殊角的三角函數值,發現這組比值會隨著
角α的變化而變化.
問題3在定義域內,任意一個角都有唯一的三角函數值與之對應根據這一對應關系,你想到了什么概念? (學生易于想到函數的概念)
追問1:你認為sin
tana=是函數嗎?若是函數,自變量x 和因變量分別是什么呢?
學生活動:學生結合函數的定義一致認為
x (204號是函數.其中自變量是角 α ,因變量是相應的比值.
追問2:你認為這里的角是指角度還是弧度呢?
師生活動:對于這一問題,學生提出了不同的想法,有的學生認為是角度,有的學生認為是弧度,也有的學生認為兩者均可.教師引導學生思考引入弧度的重要性,以建立角與實數之間的對應關系.
設計意圖銳角三角函數的定義是本節課學習的根基,也是教學的起始點.教師指導學生利用坐標定義銳角三角函數,凸顯三角函數概念的本質,為后續研究任意角的三角函數奠定堅實的基礎.
問題4以上研究是基于角 α 為銳角的情形進行的.如果角 α 是第一象限角,那么它的三角函數值又是什么呢?
師生活動:通過與銳角三角函數的定義相類比,學生認為銳角三角函數的定義同樣適用于第一象限角.在此過程中,有學生提出了一個疑問:若角 α 為 420° ,它是第一象限角,但顯然無法構造直角三角形.在無法構造直角三角形的情況下,如何得到相應的比值呢?教師及時捕捉到這一課堂上的生成性資源,并引導學生回顧如何使用坐標來表示銳角三角函數,從而實現從銳角到第一象限角的推廣.
問題5如果角 α 位于其他象限,那么我們之前研究得到的結論是否仍然成立呢?
師生活動:教師鼓勵學生合作探究,并展示他們的思考過程.若角 α 為任意角,在角 α 的終邊上任選一點P(x,y) ,可以觀察到角 α 的三角函數值與點 P 在終邊上的位置無關,而是與角 α 的終邊相關.因此,無論是銳角三角函數還是任意角三角函數,都是以角為自變量(其中角的單位為弧度),以比值為因變量的函數.
設計意圖引導學生通過觀察、比較、交流,理解它們之間的一一對應關系,此時引出三角函數的定義自然水到渠成了.
問題6根據三角函數的定義,你能否給出它們的定義域?
學生活動:根據三角函數的定義以及分式的意義,確定正弦函數和余弦函數的定義域為R,正切函數的定義域為 
問題7根據三角函數的定義,你能確定在各個象限中三角函數值的正負嗎?
學生活動:根據三角函數的定義,學生得知,三角函數值的正負決定于角的終邊所處的象限
設計意圖深入研究函數,自然需要探討函數的定義域—沿著知識發展的脈絡,引導學生自主進行探究.這不僅讓學生充分感受到數學知識間的內在聯系,而且有助于深化對知識的理解,促進能力的發展與提升.另外,在此過程中,教師通過設計啟發性問題,激發學生去發現和探索,從而彰顯學生的主體地位和價值.
問題8根據三角函數的定義,你能給出
等軸線角的三角函數值嗎?
學生活動:教師預留時間讓學生動手畫、動腦想,并使用表格進行歸納和總結.
設計意圖鑒于學生在練習中錯誤頻發的現狀,教師指導學生利用表格進行歸納和總結,以加深理解并有效預防錯誤,同時培養深入思考的能力.
3.應用舉例,理解概念
例題若角 α 的終邊經過點P(4,-3) ,求角α的正弦、余弦和正切值
師生活動:學生獨立完成解題,教師隨后展示學生的解題過程,并引導學生總結和規范解題步驟
設計意圖通過練習,熟記三角函數的定義,充分揭示問題的本質,并歸納解題步驟.
變式題1:若角 α 的終邊經過點 P(4a,-3a)(a≠0) ,求角 α 的正弦、余 弦、正切值.
變式題2:若角 α 的終邊落在直線y=3x 上,求角α的正弦、余弦和正切值.
師生活動:這兩道變式題的本質是相同的,解題時都需要對角 α 進行分類討論.但是,由于不少學生缺乏分類意識,這導致了錯誤的發生.面對學生的錯誤,教師沒有直接指正,而是引導學生經歷析錯、糾錯等過程,以此建立正確的解題思維,提高解題準確率.
設計意圖教師依據學生的認知發展規律,通過創設“低起點、小坡度”的問題引導學生思考,調動學生參與課堂的積極性和主動性,培養思維的嚴謹性,提高學生分析和解決問題的能力.
4.課堂小結,布置作業
(略)
教學思考
眾所周知,概念具有高度的抽象性.為了使學生能夠全面且深入地理解概念,教師應當更新教學理念,將概念的形成過程交還給學生,讓學生在做中學、學中思.當然,在此過程中,教師應充分發揮課堂教學的主導作用,結合教學內容和實際學情精心創設問題,促使學生在問題的驅動下經歷概念的形成和發展過程,以此幫助學生積累豐富的活動經驗,加深對數學本質的認識,培養學生數學抽象和歸納概括能力,提高學生的綜合能力與綜合素養.
在高中數學概念教學中,教師應摒棄傳統的“填鴨式\"教學方法,給予學生充足的時間和空間去思考和探索,從而激發學生的思維活力,活躍課堂氛圍,以此優化課堂教學效果,提升課堂教學質量,促進學生綜合能力和綜合素養的發展.