“錯題再生”模式對初中生數學元認知發展的影響

“錯題再生”是一種創新的數學作業模式，通過引導學生聚焦錯題，反思錯因，有效喚醒學生的元認知意識，提升學生認知監控能力和元認知策略水平。在“錯題再生”過程中，學生通過審視具體錯題產生認知沖突，進而養成自我反思的習慣；通過比對錯因發現思維盲區，校準認知偏差；通過評估優化策略提升運用策略解題的靈活性；通過借鑒他人思路拓寬解題視野，在反復實踐中內化元認知策略。

數學作業是實現教學目標的重要環節，對提升學生綜合素養具有不可替代的作用。傳統作業模式存在諸多問題，如注重結果輕視過程、強調機械重復缺乏反思等，難以有效促進學生元認知的發展。“錯題再生”作為一種新型作業形態，聚焦學生在解題過程中的認知反思和策略調控，為優化作業設計、提升學生元認知水平提供了新思路。

一、喚醒元認知意識，內化自我反思習慣

（一）聚焦錯題，引發認知沖突

“錯題再生”通過聚焦學生解題過程中的錯誤和困難，引導學生產生認知沖突，喚醒學生的元認知意識。學生在重新審視錯題時，會認識到原有認知與正確解法之間的矛盾，進而反思錯誤產生的根源。這一過程能使學生從“我不知道自己不知道”走向“我知道自己不知道”，初步覺醒元認知意識。教師應精心設計錯題情境，引導學生主動探尋錯因，在認知沖突中培養自我反思的習慣。

例如，在教學人教版八年級數學上冊第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定時，教師可以設計一道含有隱性條件的證明題作為“錯題再生”的素材：“已知在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'，求證：△ABC≌△A'B'C'。”學生在解題時，可能只注意到題目中所給的兩組對應邊相等的條件，而忽視了一組對應角相等蘊含的信息，面對這樣的錯題，教師引導學生重新審視題目，提出發人深省的問題：“除了兩組對應邊相等，是否還隱含其他的條件？這些條件能否判定兩個三角形全等？”“為什么∠BAC=∠B'A'C'會隱含△ABC和△A'B'C'中其他兩個角也相等這一信息？”教師還可以展示另外一個學生的解題過程，通過標記∠ABC=∠A'B'C'，進而根據內角和定理推出∠ACB=∠A'C'B'，最終依據“AAS”完成全等三角形的判定。通過對比分析，學生逐步領悟到：“原來‘一組對應角相等’這個條件蘊含著‘另外兩組對應角也相等’的信息，是判定全等三角形的關鍵。”“審題時不能只局限于題目明確給出的已知條件，更要學會挖掘題設中隱藏的信息。”學生開始反思自己審題不全面、不善于利用角的性質進行推理論證的問題，在認知沖突中，形成“要帶著懷疑和探究的態度審視題目”“要善于利用三角形的性質進行推理論證”的元認知意識，逐步內化自我反思的習慣。

（二）反思錯因，查找思維漏洞

“錯題再生”著眼于引導學生深入反思錯因，找出思維盲區，內化自我監控習慣，通過對比標準答案，學生能清晰地認識到解題過程中的疏漏之處，進而反思造成錯誤的根本原因，這一過程能幫助學生梳理思路、查缺補漏，養成自我評估、自我調節的習慣。教師應鼓勵學生用元認知的視角審視錯題，引導其剖析錯因，調控認知過程，逐步內化自我監控意識。

例如，在學習人教版八年級數學上冊第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定時，學生在證明題中可能會遇到這樣的錯誤：只看到題目中給出的顯性條件，而忽視了由題設中隱含的條件。面對這樣一道證明兩個直角三角形全等的題目：“在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE，BC=DE，求證：Rt△ABC≌Rt△ADE。”部分學生在證明過程中，可能只注意到了題目中所給的∠BAC=∠DAE和BC=DE這兩個顯性條件，從而得出兩個三角形不全等的錯誤結論。針對這一錯誤，教師引導學生反思：“為什么會漏掉隱含條件？是不是對直角三角形的特征不夠敏感？”“這道題還隱含了哪些條件？我們能否利用直角三角形的特性找出更多的條件？”“當我們只有兩個顯性條件時，是否還需要繼續尋找隱藏的條件？”在教師的引導下，學生開始反思，認識到自己審題不全面、對直角三角形特征把握不夠的問題，從而進一步分析問題，發現題設的“Rt”表明兩個三角形都是直角三角形。因此，學生可以利用直角三角形的特性，找出∠ABC和∠ADE都等于90°這一隱含條件。于是，學生根據“一邊一角”就能判定兩個三角形全等，并總結出“審清已知、利用圖形特征補充隱含條件、靈活選擇判定方法”的認知策略。

二、提升認知監控能力，優化解題策略

（一）比對錯因，校準認知偏差

“錯題再生”為學生提供了比對錯因、查找偏差的機會，能有效提升其認知監控能力。學生在比對他人解法的過程中，能發現自身思路的偏頗之處，進而校準認知偏差，這一過程幫助學生及時調整解題方向，避免錯誤的延續和擴大。教師應引導學生多角度比對錯因，鼓勵其主動尋找問題癥結，及時修正偏誤，以優化解題過程。

例如，在探索人教版八年級數學上冊第十三章軸對稱13.2畫軸對稱圖形時，學生在判斷圖形對稱性時，可能只關注了部分特征，得出片面結論。教師展示幾個同學的分析角度，引導學生比對反思，小明是從對稱軸的角度思考的，他通過觀察發現，這個圖形可以被一條直線平分為兩部分，且分割后的兩部分經平移后可以完全重合，因此得出該圖形有對稱軸，是軸對稱圖形。而小華是從對應點的角度入手的，他發現圖形上存在兩兩對應、關于對稱軸對稱的點，且對應點的連線垂直平分對稱軸，由此判斷該圖形是軸對稱圖形，而學生自己在解題時，可能只觀察到圖形關于對稱軸平分這一特征，而忽視了對應點的特征，因此得出了不完整的判斷，通過與他人視角的比對，學生發現自己的分析存在局限性，陷入了以偏概全的認知誤區，進而反思。

（二）調整策略，修正解題路徑

“錯題再生”著眼于引導學生主動調整策略，修正解題路徑，形成動態優化問題解決過程的能力。學生在反思錯因的基礎上，對原有解題策略進行評估，篩選出效率低下、邏輯混亂的部分，進而調整優化解題方案，這一過程能增強學生策略運用的靈活性，提升其應對錯誤的能力。教師應鼓勵學生多角度審視解題策略，引導其主動調控認知資源，形成動態修正解題路徑的意識。

例如，在解決人教版八年級數學上冊第十三章軸對稱13.2畫軸對稱圖形的復雜圖形問題時，學生常常會套用某一種對稱性判斷方法，當這一策略失效時，便無從下手。面對一個不規則的多邊形圖形，讓學生判斷它是否為軸對稱圖形，學生直接套用了“轉一轉看是否能完全重合”的策略，當發現圖形無法通過平移重合時，就簡單地認為它不是軸對稱圖形。對此，教師引導學生評估這一策略的局限性：“這個方法對規則圖形適用，但對不規則圖形就可能失效，如果圖形不規則、有凹凸，還能用平移和重合的方法嗎？”“套用這種單一的判斷方法是否足夠靈活？還有沒有其他的判定方法？”學生經過反思，認識到機械套用判定方法難以應對復雜情境，并且單一策略本身也存在局限性。學生嘗試從其他角度思考，如觀察是否存在兩兩對應的點、對應點的連線是否垂直平分對稱軸等，重新審視圖形的對稱特征，同時，學生還嘗試運用分類討論的思想，將不規則圖形轉化為幾個規則部分，分別判斷每個部分的對稱性，再綜合各部分的分析結果，作出整體的判斷。通過多角度審視、多元化思考，學生調整優化了解題策略，由“機械套用定式”轉變為“因圖制宜、靈活選擇判斷方法”，增強了策略運用的靈活性。“錯題再生”鍛煉了學生策略評估、動態調控的意識，引導其關注認知過程，形成對策略優劣的敏感度，習慣于動態修正解題路徑，最終提升解決問題的能力。

三、豐富元認知策略，拓展問題解決途徑

（一）借鑒他人思路，開闊解題視野

“錯題再生”為學生提供了借鑒他人解題思路、拓寬解題視野的機會。學生通過比對他人的解法，能發現不同于自身的思考角度和解題策略，進而吸收并內化為自己的認知資源。這一過程能幫助學生突破思維定式，使其學會站在更高維度審視問題、解決問題。教師應鼓勵學生廣泛借鑒他人經驗，引導其主動整合不同視角，在交流碰撞中實現認知升華。

例如，在探索人教版八年級數學上冊第十七章勾股定理17.1勾股定理的多元應用時，學生容易受限于“直角三角形”的典型情境，難以觸類旁通。面對一道在正方形中利用勾股定理求邊長的問題，很多學生往往會感到無從下手，因為題目并沒有明確給出直角三角形。此時，教師引導學生分析其他同學的解題思路，啟發他們換個角度思考：是不是可以在正方形中找到或構造出直角三角形？學生甲利用正方形的特性，通過連接頂點和中點，巧妙地構造出直角三角形，并利用勾股定理列方程求解。學生乙則另辟蹊徑，將正方形對角線視為直角三角形的斜邊，通過勾股定理探索正方形邊長與對角線的關系，劃歸為常見的“1：”比例關系，從而巧妙地求出邊長。通過比對分析，學生發現了自己在運用勾股定理時存在思維定式，往往局限于顯而易見的直角三角形，缺乏變通創新意識。學生通過學習他人的解題經驗，掌握了構造輔助線、轉化圖形、創設條件等多種元認知策略，開闊了運用勾股定理解決問題的思路，“錯題再生”引導學生主動吸收他人智慧，整合多元思路，在“借鑒—吸收—創新”的循環中實現認知升華，內化為自身的元認知策略，形成開闊的問題解決視野。

（二）嘗試多元方法，熟練運用策略

“錯題再生”突出引導學生嘗試多種解題方法，在反復實踐中內化元認知策略，提升運用策略解決問題的熟練度。學生在修正錯題的過程中，有意識地嘗試多元化解題方法，通過比較不同策略的優劣，選擇最優化的解題路徑。在嘗試的過程中，學生能加深對元認知策略的理解，增強運用策略的靈活性，進而形成熟練解決問題的能力。教師應鼓勵學生勇于嘗試，引導其主動評估、優選策略，增強運用意識。

例如，在人教版八年級數學上冊第十七章勾股定理17.1勾股定理的綜合應用題中，學生初次解題時，常常只能想到一種解題方法，且不能熟練運用。面對一道復合計算問題：“如在邊長為1的正方形ABCD中，連接BD，在BD上有一動點P，連接PC并延長交AD于E，若PE⊥BD，問PE的長為多少？”學生往往只能想到一種解決方法：“先利用勾股定理求出BD的長度，進而再求PE的長度。”但當解題過程中出現障礙時，學生常常不知如何繼續深入解題。教師引導學生在“錯題再生”時，嘗試采用多元化的解題策略，梳理分析他人的多樣化解法，使其發現新思路。有的同學先利用全等三角形求出BP與PD的比例關系，進而利用勾股定理列方程求解；有的同學則先通過相似三角形求出AB與AD的比例關系，再利用勾股定理探索PE與BD的關系；還有的同學巧用轉化的思想，利用勾股定理將題目轉化為一個常見的典型問題“正方形內接圓”，從而化難為簡。學生嘗試運用不同的策略解題，在比較分析的基礎上，選擇了相似三角形結合勾股定理這一最優方法。通過反復實踐、評估策略的過程，學生加深了對“轉化”“探索”“嵌套”等元認知策略的理解，并能根據題目特點靈活選用恰當的策略，提升了綜合運用勾股定理解決復雜問題的能力。

四、結語

“錯題再生”是一種富有創新性的作業模式，通過聚焦學生解題過程中的認知反思和策略運用，能有效提升學生的元認知水平。在“錯題再生”的過程中，學生喚醒了元認知意識，提升了認知監控能力，豐富了元認知策略，形成了積極運用元認知解決問題的思維品質。這對培養學生的數學核心素養，提高解決問題的能力具有重要意義。