基于GeoGebra的高中數學探究式教學研究

一、引言

探究式教學強調以學生為中心，通過問題引導、自主探索和合作交流，幫助學生構建知識體系并發展高階思維能力。GeoGebra以其直觀的可視化、動態交互和跨學科整合能力，能夠有效降低數學抽象性帶來的認知障礙，使學生能夠在“做數學”的過程中深化理解，培養數學建模、邏輯推理等核心素養[]。

本文基于GeoGebra軟件，探討了探究式教學在高中數學中的應用價值，分析了GeoGebra與探究式教學的契合點，以期為高中數學教學改革提供可操作的實踐路徑，推動信息技術與數學課程的融合，促進學生數學素養的全面提升。

二、探究式教學在高中數學教學中的應用價值

探究式教學可貫穿于學生數學學習的全過程。在數學抽象維度，學生通過對具體問題情境進行探究，能夠從復雜現象中剝離非本質特征，提煉出函數定義、幾何公理等核心概念。學生的邏輯推理能力也能夠在探究環節中自然生長，學生基于已有知識提出猜想，通過演繹推導驗證假設，可逐步起構建邏輯鏈條3。同時，學生的數學建模素養能夠在真實問題探究中得到強化，學生可將生活中的優化問題、概率問題轉化為數學模型，通過借助函數、方程等工具求解，能夠真實體會到數學的實用價值。

此外，學生的直觀想象能力也能在動態探究中被充分激活，學生可利用圖形變換、軌跡模擬等操作，直觀感知空間幾何關系與函數圖像變化規律，突破抽象思維障礙。學生可持續鍛煉數學運算的準確性與數據分析的合理性，在主動探索中實現數學核心素養的協同發展與全面提升。

三、GeoGebra與高中數學探究式教學的契合點分析

（一）直觀呈現抽象知識

高中數學中有許多抽象的概念和定理，學生理解起來存在一定難度。GeoGebra能夠將這些抽象的知識以直觀、形象的方式呈現出來，幫助學生建立感性認識，加深對知識的理解。例如，在講解函數的單調性時，傳統教學中教師通過板書畫出函數圖像，學生難以直觀感受函數的變化趨勢。而利用GeoGebra，教師可以動態展示函數圖像隨著參數變化而發生的單調性變化，學生能夠清晰地看到函數在不同區間內的上升或下降趨勢，從而輕松理解函數單調性的概念。

對于抽象的幾何定理，如三角形全等的判定定理，GeoGebra可以通過動態演示兩個三角形的重合過程，讓學生直觀地看到滿足判定條件的兩個三角形能夠完全重合，從而深刻理解定理的內涵。

（二）支持動態實驗操作

探究式教學強調學生的親身體驗和實踐操作，GeoGebra支持學生進行動態的數學實驗操作，為學生的探究活動提供了便利。學生可以在GeoGebra中自由地改變圖形的參數、函數的表達式等，觀察圖形或函數的變化情況，進行自主探究[。

例如，在探究圓與直線的位置關系時，學生可以通過拖動直線或改變圓的半徑，觀察直線與圓的交點個數的變化，從而總結出圓與直線位置關系的判定方法。在探究三角函數的圖像性質時，學生可以改變三角函數的振幅、周期、相位等參數，觀察函數圖像的變化，深入理解這些參數對函數圖像的影響。這種動態實驗操作能夠激發學生的探究興趣，讓學生在“做數學”的過程中主動獲取知識。

（三）提供多元表征工具

GeoGebra能夠以圖形、代數、表格、文字等多種方式表征數學知識，為學生提供多元的認知視角。不同的學生有著不同的學習風格和認知方式，多元表征工具能夠滿足學生的個性化需求，幫助其從不同角度理解數學知識。比如，對于函數 y=ax²+bx+c ，GeoGebra可以同時展示其代數表達式、函數圖像和對應的數據表格。學生既可以通過觀察圖像的形狀和變化趨勢，結合代數表達式的系數分析函數的性質，也可以通過表格中的數據驗證函數的規律。此種多元表征的方式能夠有效促進學生對數學知識的深層理解，并以此提高學生的學習效率。

（四）實時反饋探究結果

在探究式教學中，及時的反饋對于學生調整探究方向、提高探究效率至關重要。GeoGebra能夠實時反饋學生的探究結果，當學生改變參數或進行操作時，軟件會立即顯示相應的圖形變化、數據結果等。這種實時反饋能讓學生及時了解自己的探究行為是否正確，是否達到了預期的效果。如果探究結果不符合預期，學生可以及時調整探究策略，重新進行嘗試。如果結果與自己的預期不符，學生可以檢查函數表達式是否正確，或者調整繪圖的范圍等，有效提高數學探究的有效性。

四、基于GeoGebra的高中數學探究式教學模式設計一一以湘教版二次函數為例

（一）教學目標

在湘教版高中數學“二次函數”教學中，教師可通過GeoGebra平臺，讓學生在探究中深化對二次函數圖像與性質的理解。教學目標包括：學生能利用GeoGebra繪制并動態調整二次函數圖像，直觀感受參數a、b、c對圖像形狀和位置的影響；能準確描述二次函數的頂點、對稱軸、開口方向等關鍵特征；并能在實際問題情境中，運用二次函數模型進行簡單的分析和預測，培養其數學建模與直觀想象能力。

（二）教學重難點

教學重點在于引導學生通過GeoGebra的動態演示，深刻理解二次函數圖像的幾何特征及其與代數表達式參數之間的內在聯系，特別是參數a、b、c變化對圖像的影響規律。教學難點則在于如何將學生從直觀感知有效提升到抽象概括，使其能自主歸納出二次函數的性質，并能靈活運用這些性質解決相關問題，避免停留在表面上的“看熱鬧”。

（三）教學準備

教師需提前熟悉GeoGebra軟件的操作，特別是二次函數圖像繪制、參數動態調整及軌跡跟蹤等功能，并準備好包含引導性問題、探究任務和例題的電子課件或學習單。學生方面，需要確保每臺電腦或平板已安裝或能在線使用GeoGebra，并建議預習二次函數的基本概念。同時，教室具備良好的網絡環境和投影設備，以支持互動展示和個別指導。

（四）教學過程

1.情境創設：GeoGebra導入問題場景

課堂伊始，教師聚焦湘教版教材中“生活中的拋物線”主題，利用GeoGebra構建動態情境：先展示校園籃球場上的投籃動畫——設置虛擬球員站在距籃筐5米處投籃，通過滑動GeoGebra中的“力度”“角度”滑塊，實時演示籃球飛行軌跡的變化（從偏離籃筐到精準入筐）。同時，在軌跡旁標注關鍵數據：投籃高度1.8米、籃筐高度3.05米。

隨后，教師引導學生觀察：“籃球的飛行軌跡是不是一條光滑的曲線？當力度增大時，軌跡的最高點如何變化？”待學生初步感知后，點擊GeoGebra的“顯示函數解析式”功能，屏幕上自動生成軌跡對應的二次函數表達式。教師順勢提問：“這個函數就是我們今天要探究的二次函數 y=ax²+bx+c ，為什么調整投籃參數會改變曲線形狀？參數a、b、 ∣c∣ 各自扮演什么角色？”通過將生活場景與數學知識的關聯，并結合GeoGebra的動態可視化優勢，教師能夠快速激活學生的探究欲望。

2.自主探究：GeoGebra支撐個性探索

為了讓探究活動更具方向性，教師可以向學生推送結構化電子學習單[5。該學習單包含三級探究任務，學生需結合GeoGebra進行分步操作，學習單任務如表1所示。

學生在操作中可隨時使用GeoGebra的“追蹤圖像”功能，保留不同參數下的拋物線軌跡，學生通過對比能夠發現：當a從2變為-2時，圖像瞬間“翻轉”；當b從-3增至3時，對稱軸從 _x=1.5 平移至 _x=-1.5 。教師巡視時，則可以針對“難以捕捉頂點坐標”的問題，指導學生使用“頂點標記”工具，讓 -b/2a ， （4ab-b²）/4a 實時顯示在圖像上，幫助學生更直觀地理解參數變化對圖像的影響。

3.合作研討：GeoGebra成果互動交流

在學生完成自主探究后，教師組織小組合作研討。每個小組利用GeoGebra展示各自探究的成果，比如，某個參數變化時拋物線形狀和位置的變化規律。教師引導學生對比不同小組的發現，并提出問題：“為什么當a=0 時，圖像不再是拋物線？”“ b 和 ∣c∣ 的變化如何影響拋物線的整體位置？”通過小組討論，學生能夠互相啟發，加深對二次函數性質的理解。此時，教師可以鼓勵學生用數學語言描述參數α、b、 ∣c∣ 對圖像的影響，比如：“參數 Δ_a 決定了拋物線的開口方向和寬窄，參數 b 影響對稱軸的位置，參數 ∣c∣ 則決定了拋物線在y軸上的截距。”通過采取這種互動交流的方式，不僅能夠強化學生的理解，還能夠培養學生的合作意識和表達能力，讓學生在團隊協作探究中逐步構建參數與圖像的關聯認知。

表1二次函數參數影響探究任務清單（GeoGebra操作指引）

4.總結提升：GeoGebra驗證知識系統

在匯總各組發現后，教師可以引導學生梳理二次函數核心性質，并用GeoGebra進行動態驗證。

在性質驗證過程中，要求學生輸入函數y=2x²+4x+1 ，并點擊“顯示頂點”“顯示對稱軸”按鈕，屏幕上則自動標注頂點 （-1，1） 和對稱軸 x=-1 ，這與學生推導的頂點公式 -b/2a ， （4ab-b²）/4a 完全吻合。

在變式檢驗過程中，要求學生拖動滑塊將 a 改為 ^-2 圖像開口瞬間向下，頂點變為 （-1，1） ，驗證“ a 符號改變，開口方向相反，頂點縱坐標變化”的規律。

最后在系統梳理的過程中，教師在GeoGebra中創建“性質匯總面板”，將參數影響、圖像特征、數學公式分類陳列，學生通過點擊面板按鈕回顧各知識點關聯，形成完整知識網絡。

5.拓展應用：GeoGebra延伸實踐任務

課程最后，教師布置一個具有挑戰性的拓展任務，例如：“設計一個拋物線形的花壇，要求其最高點離地面2米，寬度為4米，請用GeoGebra畫出其示意圖，并寫出對應的二次函數解析式。”學生需要先根據實際尺寸在GeoGebra中設定坐標系，再根據幾何條件（最高點、寬度）反推二次函數的參數，繪制出符合要求的拋物線。這個任務不僅要求學生靈活運用二次函數的性質，還考驗了他們的逆向思維和數學建模能力。完成后，鼓勵學生通過GeoGebra分享自已的設計成果，教師進行點評，將課堂所學延伸到更廣闊的應用領域。

五、結束語

探究式教學模式作為綜合性的教學方法，在高中數學教學中的應用，能很大程度地減少學生對數學的排斥感，激發學生對數學的學習興趣。基于GeoGebra的高中數學探究式教學，能夠通過情境創設、自主探究、合作研討、總結提升和拓展應用五個環節，引導學生主動參與數學學習過程，有效提高學生的數學學習興趣和能力。

作者單位： 張瑞梅甘肅省靜寧縣第二中學

參考文獻

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